1、1数值线性代数习题解答习题 1求下三角阵的逆矩阵的详细算法。解 设下三角矩阵 L 的逆矩阵为 T我们可以使用待定法，求出矩阵 T 的各列向量。为此我们将 T 按列分块如下：注意到我们只需运用算法 111，逐一求解方程便可求得注意 考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵 T 的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵 L 的逆矩阵 T，前代法）设 为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为 的算法，求解该方程组。解 因 ，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵 T 的逆矩阵 ，依照上题的思想我们很容易得到计算 的算法。于是对该问题我们有如下解
2、题的步骤：（1）计算上三角矩阵 T 的逆矩阵 ，算法如下：算法 1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为）2（2）计算上三角矩阵 。运算量大约为 .（3）用回代法求解方程组： .运算量为 ；（4）用回代法求解方程组： 运算量为 。算法总运算量大约为：证明：如果 是一个 Gauss 变换，则也是一个 Gauss 变换。解 按 Gauss 变换矩阵的定义，易知矩阵 是 Gauss 变换。下面我们只需证明它是 Gauss 变换 的逆矩阵。事实上注意到 ，则显然有 从而有确定一个 Gauss 变换 L，使解 比较比较向量 和 可以发现 Gauss 变换 L 应具有功能：使向量 的第二行加
3、上第一行的 2 倍；使向量 的第三行加上第一行的 2 倍。于是 Gauss 变换如下证明：如果 有三角分解，并且是非奇异的，那么定理112 中的 L 和 U 都是唯一的。3证明 设 ，其中 都是单位下三角阵，都是上三角阵。因为 A 非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。即 ，从而即 A 的 LU 分解是唯一的。设 的定义如下证明 A 有满足 的三角分解。证明 令 是单位下三角阵， 是上三角阵。定义如下容
4、易验证：设 A 对称且 ，并假定经过一步 Gauss 消去之后，A 具有如下形式证明 仍是对称阵。证明 根据 Gauss 变换的属性，显然做矩阵 A 的 LU 分解的第一步中的 Gauss 变换为4其中 ，将 A 分块为那么即 由 A 的对称性， 对称性则是显而易见的。设 是严格对角占优阵，即 A 满足又设经过一步 Gauss 消去后，A 具有如下形式试证：矩阵 仍是严格对角占优阵。由此推断：对于对称的严格对角占优矩阵来说，用 Gauss 消去法和列主元 Gauss 消去法可得得同样的结果。证明 依上题的分析过程易知，题中的于是 主对角线上的元素满足（1）非主对角线上的元素满足由于 A 是严格
5、对角占优的，即 故5从而（2）综合（1）和（2）得即，矩阵 仍是严格对角占优阵。设 有三角分解。指出当把 Gauss 消去法应用于矩阵 时，怎样才能不必存储 L 而解出 Ax=b？需要多少次乘法运算？解 用 Gauss 消去法作 A 的 LU 分解，实际上就是对系数矩阵 A 作了一组初等行变换，将其化为上三角矩阵 U。而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是 ，即如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量 b 上，即有这就是说，方程组 和 是同解方程。而后者是上三角形方程组，可运用本章算法 112 求解。这样我们就不必存储 L，通求解方程组 ，来求解原方程组 。算法如下：（1）用初等变换化 ；（2
6、）利用回代法求解方程组 。该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为10A 是正定阵，如果对 A 执行 Gauss 消去一步产生一个形式为6的矩阵，证明 仍是正定阵。证明 不妨设从而有由于 非奇异，故对 且 ，构造 ，及，则由 A 的正定性有由 x 的任意性知， 正定。11设并且 是非奇异的。矩阵称为是 在 A 中的 Schur 余阵。证明：如果 有三角分解，那么经过 步 Gauss 消去以后，S 正好等于（114）的矩阵证明 因为 有三角分解，所以矩阵 A 可保证前 步 Gauss 消去法可以顺利完成。即有如下单位下三角矩阵使注意到7比较两式便知， ，故有12证明：如果用全主元 Gauss 消去
7、法得到 PAQ=LU，则对任意 有证明 略。13利用列主元 Gauss 消去法给出一种求逆矩阵的实用算法。解 设 A 是非奇异的，则应用列主元 Gauss 消去法可得到这里：P 是置换阵，L 是单位下三角阵，U 是上三角阵。于是，通过求解下列 n 个方程组便可求得于是也就是说，求 A 的逆矩阵，可按下列方案进行：（1）用列主元 Gauss 消去法得到： ；（2）经求解： 得；（3）对 X 进行列置换得： 。14假定已知 的三角分解：A=LU。试设计一个算法来计算的（ i， j）元素。解 求解方程组则 x 的第 i 个分量 就是 的（i,j）元素。15证明：如果 是严格对角占优阵（参见第 8 题
8、），那么A 有三角分解 A=LU 并且证明 仿照第 8 题的证明，容易证明：对于 是严格对角占优阵，经过一步 Gauss 消去后，得到8其中 仍是严格对角占优阵。 A 的三角分解 A=LU 中这样，我们在对 A 进行列主元三角分解时，不需要选择主元，因为每次消元时，主元位置上的元素恰好是列主元。因此，16形如 的矩阵称作 Gauss-Jordan 变换，其中.（1）假定 非奇异，试给出计算其逆矩阵的公式。（2）向量 满足何种条件才能保证存在 使得?（3）给出一种利用 Gauss-Jordan 变换求 的逆矩阵 的算法。并且说明 A 满足何种条件才能保证你的算法能够进行到底。解 为解决本问题，我
9、们引入 Gauss-Jordan 变换的两个性质：性质 1： .事实上，性质 2：Gauss-Jordan 变换 非奇异的充分必要条件是.（1）运用待定法，首先设 的逆矩阵为，则有故应有（2）欲使 ，则应有即9因此， 应满足 ，便可按上述方法得到 使得。（3）设 A 的逆矩阵 ，则应有下面我们给出利用 Gauss-Jordan 变换求解方程组的计算方法。算法如下：假定 A 的各阶主子阵非零，记第 1 步：假若 ，令 ，构造 ，用 左乘 和 ，得到其中第 2 步：假定 ，令，构造 ，用 左乘 和 ，得到其中10照此下去，直到第 n 步：假定 ，构造 ，用 左乘 和 ，得到经上述 n 步，我们得知
10、：故从上面的约化过程可知，要保证算法进行到底，必须保证：我们可以仿照定理 1.1.2 给出下列定理。定理： 的充分必要条件是矩阵 的各阶顺序主子阵非奇异。证明 对于 用归纳法。当 时， ，定理显然成立。假定定理直到 成立，下面只需证明：若 非奇异，则 非奇异的充要条件是 即可。由归纳假定知因此， Gauss-Jordan 约化过程至少可以进行步，即可得到 个 Gauss-Jordan 变换 使（16-1）由此可知 的 阶顺序主子阵有如下形式若将 的 阶顺序主子阵分别记为 ，则由（16-1 ）知11注意到 所以即 非奇异的充要条件是17证明定理 131 中的下三角阵 L 是唯一的。证明 因 A
11、是正定对称矩阵，故其各阶主子式均非零，因此 A 非奇异。为证明 L 的唯一性，不妨设有 和 使那么注意到： 和 是下三角阵， 和 为上三角阵，故它们的逆矩阵也分别是下三角阵和上三角阵。因此， 只能是对角阵，即从而于是得知18证明：如果 A 是一个带宽为 2m+1 的对称正定带状矩阵，则其Chelesky 因子 L 也是带状矩阵。L 的带宽为多少？证明 带宽为 2m+1 的矩阵的认识：当 m=1 时，2m+1=3，该带宽矩阵形为：对 m 为任意一个合适的正整数来说，带宽为 2m+1 的矩阵元素有如下特征：结合这一特征，对于带宽为 2m+1 的对称正定带状矩阵 Ar 的 Colicky分解算法，可
12、改写成下列形式：12从算法不难看出：Colicky 因子 L 是下三角带状矩阵，L 的带宽为m+1.19若 是 A 的 Cholesky 分解，试证 L 的 i 阶顺序主子阵正好是 A 的 i 阶顺序主子阵 的 Cholesky 因子。证明 将 A 和 L 作如下分块其中： 为矩阵 A 和 L 的 i 阶顺序主子阵。 。显然故有 。即 是 的 Colicky 分解。20证明：若 是对称的，而且其前 个顺序主子阵均非奇异，则 A 有唯一的分解式其中 L 是单位下三角矩阵，D 是对角矩阵。证明 先证明存在性。根据定理 112 知，存在单位下三角阵 L 和上三角阵 U，使 A=LU，且 U 的主对角
13、线上元素除 外，其余都不为零。令 ，则有单位上三角阵 使 ，即有又因为 ，则从而根据 L 和 的可逆性知：13该等式左端是一个上三角阵，右端是下三角阵。因此它们等于对角阵。再注意到单位上三角阵的乘积仍是单位上三角阵，单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵。因此两端都等于 D。于是从而有再证唯一性。令 ，故有。左边为下三角阵，右边为上三角阵，故等于对角阵。又因 ，故 。21给出按行计算 Cholesky 因子 L 的详细算法。解 略。22利用改进的平方根法设计一种计算正定对称矩阵的逆的算法。解 算法可分为以下几个步骤：（1）首先利用算法 132 计算出正定矩阵的如下分解其中，L 是单位下三角阵，D
14、是对角阵。（2）求解矩阵方程其解矩阵 .（3）求解矩阵方程其解矩阵（4）求解矩阵方程其解矩阵注意 以上（2）、（3）、（4）步都是求解非常简单的方程组，算法实现起来很容易。23设用平方根法证明 A 是正定的，并给出方程组 的解。解 由 Colicky 分解可得其中14显然，L 是非奇异矩阵。因此，对 .于是所以 是正定的。由方程组 ，解得 ，再由方程组 ，解得24设 是一个正定 Hermite 矩阵，其中证明：矩阵是正定对称的。试给出一种仅用实数运算的算法来求解线性方程组解 既然 是正定的，又对 ，有，且 .且注意到显然 H 正等价于 A、B 正定。对 ，则有由前面的讨论，知道若 H 是正定的
15、，则 A 是正定的，故矩阵 C 是正定的。由于于是求解原复数方程组，等价于求解下列实方程组其矩阵形式为：由（1）得知系数矩阵正定，故该方程可采用平方根算法求解。15习题 22.1 设 是 个正数。证明：由定义的函数 是一个范数。证明 只需验证 满足定义 2.1.1 的三个条件。其中（1 ）和（2），即正定性和齐次性显然成立，下面给出（3）三角不等式的证明。像 2 范数的证明一样，要证明三角不等式，需要用到 Cauchy-Schwartz 不等式欲证明这个不等式，只需证明：对任意的 ，有下列等式成立用数学归纳法证明。当 时，等式显然成立。不妨归纳假设当时，等式仍然成立，即有（E2.1）现在来考虑
16、 时的情形，注意到16至此，我们便证明了前述等式。亦即证明了 Cauchy-Schwartz 不等式。又因为 是 个正数，因此有从而对 ，我们有2.2 证明：当且仅当 和 线性相关且 时，才有.证明 因为对任意的17于是，当且仅当由等式（E2.1）可知， 当且仅当，即，对任意的 ，此式成立不外乎二种情形：或 ；或 ；或 .即 和 线性相关。2.3 证明：如果 是按列分块的，那么证明 因为.2.4 证明：证明 记 ，那么，根据第 3 题的结果我们有根据 Frobenius 范数定义易知，对. 于是2.5 设 是由定义的。证明 是矩阵范数，并且举例说明 不满足矩阵范数的相容性。证明 （1）证明 是
17、矩阵范数。因为18显然 满足矩阵范数定义中的前三条：正定性、齐次性、三角不等式。下面我们证明 还满足“相容性”。对任意 ，记 ，且则 ， ，且（2）一个 不满足矩阵范数的相容性的例子。取 ，则 。于是 ，从而2.6 证明：在 上，当且仅当 是正定矩阵时，函数是一个向量范数。证明 由于 A 是正定矩阵，不妨设 是 A 的特征值， 是其对应的标准正交特征向量，即显然， 是线性无关的。因此， =span . 记 ， ，那么，且对任意 ，总有 使.命题的充分性是很显然的。因为 是 上的向量范数，则由其正定性可知 A 必为正定矩阵。现在我们来证明命题的必要性。即假设 是正定矩阵，则函数满足向量范数定义的
18、三条性质：正定性。由 A 的正定性，正定性显然成立。齐次性。对任意的 ，因为，故有 .19三角不等式。对于任意给定的 ，有 ，使应用习题 2.1 的结果，得即有2.7 设 是 上的一个向量范数，并且设 . 证明：若，则 是 上的一个向量范数。证明 当 时， 当且仅当 是 上的零向量。再由假设 是 上的一个向量范数，于是可证得 满足：正定性。事实上，对任意 ， ，而且当且仅当 .齐次性。事实上，对所有的 和 有，因此 .三角不等式。事实上，对所有的 有，因此有2.8 若 且 ，证明.证明 首先用反证法，证明 的存在性。设 奇异，则有非零解 ，且 ，于是 ，从而 . 这与假设矛盾。20现在来证明命
19、题中的不等式。注意到： ，且故有即2.9 设|.|是由向量范数|.|诱导出的矩阵范数。证明：若 非奇nAR异，则 1minxA证明 因为|.|是向量范数诱导的矩阵范数，故|I|=1，且对和 ，有 于是对 ，有GnRnx|Gnx11| A且当|x|=1 时，有（E2.2）1Ax现在只需证明：存在 且|x|=1，使 即可。根据nR1x算子范数的定义，我们不妨假设 且|y|=1，使 . 再取y1Ay，显然|x|=1 ，且（E2.3）综合(E2.2) 和(E2.3)得2.10 设 是 的 LU 分解。这里 ，设 和分别表示 和 的第 行，验证等式并用它证明解 记21于是注意到： . 则有现在来证明 因
20、为2.11 设（）计算 ；（）选择 ，使得而且 很小，但 却很大；（3）选择 ，使得而且 很小，但 却很大。解 （1）显然从而， 于是22选取： ，则可计算得选取： ，则可计算得.2.12 证明对任意的矩阵范数都有 ，并由此导出证明 由定理 2.1.6（1）可知，对任意矩阵范数都有 ，而 ，于是，从而.2.13 若 和 都是非奇异的，证明.证明 因为所以，根据矩阵范数的相容性可得.2.14 估计连乘 中 的上界.解 假定 那么则由定理 2.3.3，若假定 ，则，23从而.2.15 证明：若 ，则其中证明 由定理 23.2 得以此类推，我们有其中： 令 ，那么再由定理 2.3.3 知2.16 设
21、 ，而且 证明：其中 的元素满足证明 因为由例 2.3.1 的结果我们可以得到其中24再由定理 2.3.3 得令 ，则注意到从而得到其中 .2.17 证明：若 是 维向量，则 ，其中证明 由定理 2.3.2 可知，对一切 ，有下面对 用数学归纳法证明。当 =1 时，命题显然成立。假设当 时，命题仍然成立，即有那么当 时，我们有，其中， 于是 25，从而由介值定理显然存在 ，使即当 时，命题亦成立。习题 3设用正则化方法求对应的问题的解解由定理.1.4 可知, 问题的解就是下列正则化方程组解：即解得：设求对应的问题的全部解解由定理.1.4 可知, 问题的解就是下列正则化方程组解：26经初等行变换
22、得其同解方程组从而即,其中设 ,求一个 Householder 变换 和一个正数使得解 由于 2 范数具有正交不变性, 故 . 于是于是 ,令那么, 可以验证满足该题的要求.4确定 和 使得解由范数具有正交不变性，故27于是从而假定 是一个二维复向量，给出一种算法计算一个如下形式的酉矩阵使得 的第二个分量为零解对于复向量 的范数定义如下：显然，在复数空间中，2 范数仍然保持着正交不变性。即对酉矩阵 Q有根据题意，不妨设 ，从而注意到于是由 ，从而不妨设 ，即28，又因 ，所以.6假定 和 是 中的两个单位向量，给出一种使用 Givens 变换的算法，计算一个正交阵 ，使得解 首先考虑对指定的一
23、个二维非零向量 和一个实数，如何构造 Givens 变换使 。注意 2 范数的正交不变性，则(这里我们假定了 ，稍后对此加以处理)那么，G 应满足即注意 ，则矩阵于是这样，我们便可考虑从 的前两个分量 开始，施以 Givens变换，便其第一个分量变换为 . 然后对 施以 Givens 变换，使其29首分量变换为 ；这样一直继续 次变换，最后使得 变换为几点说明： 为使算法能一步步正常进行，需要首先对单位向量 用一组Givens 变换进行规范化处理，使其成为标准单位向量 .这样在接下来的步的 Givens 变换中就能保证 . 在规范化 后，对其实施正交变换的每一步中，可以通过逐次计算向量 的范数
24、，当其等于 1 时，即可结束算法。因为此时， 和 的剩余分量均以为零。算法总结：算法 1（用 Givens 变换求正交矩阵 使单位向量 满足：）void standard(double *g,double *x,int n)int i,j;for(i=0;i=0;i-)if(xi+1=0)continue;else if(fabs(xi+1)fabs(xi)t=xi/xi+1;s=1.0/sqrt(1.0+t*t);c=s*t;elset=xi+1/xi;c=1.0/sqrt(1.0+t*t);s=c*t;xi=c*xi+s*xi+1;xi+1=0;for(j=0;jn;j+)a=gij;b=
25、gi+1j;gij=c*a+s*b;gi+1j=c*b-s*a;30算法 2（计算 Givens 变换， ，其中 已知）void GetCS(double *g,double *x,double y)double a;a=sqrt(x0*x0+x1*x1-y*y);if(a=0)g0=1;g1=0;elseg0=(x0*y+a*x1)/(x0*x0+x1*x1);g1=(x1*y-a*x0)/(x0*x0+x1*x1);x0=y;x1=a;算法 3（使用 Givens 变换，求正交矩阵 G 使单位向量 满足：）void XtoY(double *g,double *x,double *y,int n)standard(g,x,n);double c,s,t;double cs2;t=0.0;for(int i=0;in-1;i+)GetCS(cs,x+i,yi);for(int j=0;jn;j+)c=gij;s=gi+1j;gij=cs0*c+cs1*s; gi+1j=cs0*s-cs1*c;t+=yi*yi;if(t=1)break;7设 是 中的两个非零向量，给出一种算法来确定一个householder 矩阵 ，使 ，其中解 （1）当 线性相关时， .（2）当 线性无关时，令： ，则
