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衍生金融工具复习.docx

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资源描述

1、付息票债券的远期价格偏高时的套利机会市场情况一年后交割的附息票债券远期合约的价格为 930 美元。债券的即期价格为 900 美元。预期债券在 6 个月后 12 个月后各支付 40 美元的利息。6 个月期和 12 个月期的无风险利率分别为 9%和 10%。套利机会远期价格偏高,套利者可以:1. 即期借 900 美元,买入一份债券。2. 卖空一份债券的远期合约。在即期所借 900 美元中,其中 38.24 美元以 9%的年利率借入 6 个月,另外 861.76 美元以 10%的年利率借入一年。首次利息支付 40 美元正好用来偿还 6 个月期 38.24 美元贷款的本金和利息。一年之后,收到了第二次

2、利息 40 美元,根据远期合约条款卖出债券收到930 美元。861.76 美元的贷款到期共需偿还本金和利息 952.39 美元。该策略净盈利为:409352.17.操作 t0t 1t卖空 F 930TS买入 B9044借入 0.50.95944ee00.9510.e合计 76付息票债券的远期价格偏低时的套利机会市场情况一年后交割的附息票债券远期合约的价格为 905 美元。债券的即期价格为 900 美元。预期债券在 6 个月后 12 个月后分别支付利息 40 美元。6 个月期和 12 个月期的无风险利率分别为 9%和 10%。套利机会远期价格偏低,套利者可以:3. 卖出一份债券。4. 签署一年后

3、购买一份债券的远期合约。卖出债券得到 900 美元,其中 38.24 美元作 6 个月无风险投资,另外 861.76 美元作一年无风险投资。此策略在 6 个月和 12 个月后分别产生 40 美元和 952.39 美元的现金流入。前面 40 美元用来支付 6 个月后的债券利息;后面 952.39 美元中 40 美元用来支付一年后的债券利息,905 美元用来根据远期合约条款购回债券,即期出售债券而远期将该债券购回的策略所产生的净收益为: 952.340957.3比简单的持有一年该债券的收益更多。操作 0t0.5t1t买入 F 905TS卖空 B944存银行 0.50.95944ee00.9510.

4、e合计 763.5 一种股票预计在两个月后会每股支付 1 美元红利,5 个月后再支付一次。股票价格为 50 美元,无风险利率为 8%(对任何到期日连续复利计息) 。一位投资者刚刚持有这种股票的 6 个月远期合约的空头寸。 (a)远期价格为多少?远期合约的初始价值为多少?(b)3 个月后,股票价格为 48 美元,无风险利率不变。远期价格和远期合约空头头寸的价值为多少?(a ) 股票分配股息的现值为: 250.80.81121 .94Iee远期价格: 0.85.1rtFSIe因为投资者刚刚持有该头寸,所以远期合约初始价值 ,且f1KF(b)3 个月后, 股票分配股息的现值为:20.812.96Ie

5、远期价格: 230.812248.9647.96rtFSIee远期合约空头头寸价值: 230.81225.rtfFKe5.31 一家银行向企业客户提供两种选择:一种是按 11%的利率借入现金,另一种是以2%利率借入黄金(当借入黄金时,必须以黄金形式支付利息,因此,如果今天借入 100 盎司,在 1 年后必须偿还 102 盎司黄金) 。无风险利率为每年 9.25%,贮存费为每年 0.5%。讨论同现金贷款利率相比,借入黄金的利率是太高还是太低?这里两种贷款的利率均为每年复利一次,无风险利率和贮存费用利率均为连续复利。设黄金价格为 1000 美元/盎司,并且这个客户想借入的资金为 1000000 美

6、元。该客户既可以直接借入 1000000 美元现金,也可以借入 1000 盎司黄金。如果直接借入现金,则到期需偿还 10000001.11=1110000 美元。如果借入 1000 盎司黄金,到期需偿还 1020 盎司黄金。由于 , ,根据教材公式,可得远期价格为:9.25%r0.u0.925.110.4ruTFSee 通过在远期市场买入 1020 盎司黄金,该企业客户可以锁定借入黄金的到期偿还额为: 2.46很明显,直接借入现金要优于借入黄金(11244601110000) 。计算结果表明,借入黄金的利率过高。那么多高的利率是合理的呢?假定 R 是借入黄金的利率,那么到期该企业客户需偿还黄金

7、数为 1000(1+R)盎司,根据上面的远期价格,则借款成本为:10102.40.68%R因此借入黄金的利率比合理利率高出 1.31 个百分点。老师课上做法: 1%r0.925.21021.4%0uTFSer e所以应该选择直接借入现金。3.10 瑞士和美国按连续复利计息的两个月期的年利率分别为 3%和 8%。瑞士法郎的即期价格为 0.65 美元。两个月后交割的期货合约的期货价格为 0.66 美元。问存在什么样的套利机会?理论上期货价格: 10.8365.54Fe所以实际的期货价格被高估,套利者可以通过借入美元买入瑞士法郎同时卖出瑞士法郎期货合约进行套利。3.11、一家公司持有价值为 2000

8、 万美元、 的股票组合。该公司想利用标普 500=1.2期货来对冲风险。股指期货的当前水平是 1080,每一份期货合约是关于 250 美元乘股指。什么样的对冲可以使风险最小化?公司怎么做才可以将组合的 值降低到 0.6?应卖空的合约数量 01.28.95AFVN近似为整数,应卖空的合约数为 89 份。如果欲将组合的 值降低到 0.6,应卖空的合约数为前者的一半,即应卖空 44 份合约。3.12 假定今天是 7 月 16 日,一家公司持有价值 1 亿美元的股票组合,组合的 ,=1.2这家公司希望用 CME 的 12 月标普 500 股指期货组合在 7 月 16 日至 11 月 16 日之间变化的

9、由 1.2 变成 0.5.当前股指期货价格为 1000,每一份期货合约的规模是 250 美元与股指的乘积。 (a)公司应做什么样的交易?(b)假如公司改变初衷而想将投资组合的 由 1.2增加到 1.5,公司应持有什么样的头寸?(a)公司应卖出的期货合约的数量: *10.25280AFVN(b)公司应买入的期货合约的数量:*10.521205AFVN3.13、标准普尔指数=200,股票组合的价值=204 万美元,无风险年利率=10%,指数红利收益率=4%,股票组合的 =1.5.假设利用 4 个月有效期的标准普尔 500 指数期货合约对冲股票组合在未来 3 个月的风险。一份指数期货合约的价值等于指

10、数乘以 500 美元。则目前的期货价格应该为: 0.14322.0rqTFSee于是期货合约价格 美元。由50.=V241.3FSN假设指数在 3 个月内变为 180,期货的价格为:0.142880.9rqTSee卖空股票指数期货合约可获利 美元34.180.9534710在股票指数上的损失为 10%,指数每年支付 4%的股利,即每 3 个月为 1%。如果将股利考虑在内,投资者在 3 个月内获得的指数收益为9%。无风险利率大约为每 3 个月 2.5%。由组合的 =1.5。得到股票组合的期望收益率为: 2.5%1.92.5%14.7在 3 个月末,股票组合的价值(包含股利)为:美元040.473

11、0套期保值者的头寸期望值(包含在指数期货上的盈利):美元1739+1=286当一个变量增加而其他变量保持不变时,对于股票期权价格的影响变量 欧式看涨 欧式看跌 美式看涨 美式看跌当前股票价格 执行价格 时间期限 ? ? 波动率 无风险利率 股息数量 期权价格的上限与下限期权类型 上下限无股息股票美式看涨 00max,rTSXeCS无股息股票欧式看涨 00max,rTSXecS无股息股票美式看跌 P无股息股票欧式看跌 0a,rTrTee欧式看涨看跌平价关系 0rcXpS美式期权看涨看跌关系 0 rTSCPe考虑股息欧式看涨期权下限 0max,rD考虑股息欧式看跌期权下限 0rTXeS支付股息平价

12、关系 rcp考虑股息时的 应为贴现值欧式看跌看涨期权不满足平价关系时的套利机会相对看跌期权价格而言看涨期权价格太低市场情况某投资者刚刚获得如下股票欧式期权的报价,股票价格为 31 美元,3 个月期无风险利率为年利率 10%,看涨期权和看跌期权的执行价格都是 30 美元,3 个月后到期。欧式看涨期权价格:3 美元欧式看跌期权价格:2.25 美元策略1、购买看涨期权2、出售看跌期权3、卖空一股股票结果这个策略给出的初试现金流为:31-3+2.25=30.25 美元。将这笔资金按无风险利率投资 3 个月,3 个月末本息为: 美元。3 个月末,有如下两种可能性:310%2.5.e1、如果股票价格大于

13、30 美元,投资者执行看涨期权。即按照 30 美元价格购买一份股票,平仓空头,获利 31.02-30=1.02 美元。2、如果股票价格小于 30 美元,该投资者的对手执行看跌期权。即投资者按照 30 美元的价格购买一份股票,平仓空头,获利 31.02-30=1.02 美元。操作 0ttT买入看涨 3max30,S卖出看跌 2.5inT卖空股票 31TS存入银行 0.2531.02合计1、 .2、;T.S6、执行价格为 20 美元,3 个月后到期的欧式看涨期权和欧式看跌期权,售价都为 3 美元。无风险年利率为 10%,股票现价为 19 美元,预计 1 个月后发放红利 1 美元。说明投资者存在什么

14、样的套利机会?根据看涨期权平价关系: 0.1/20.1250394.0rTpcDXeSee这个值高于 3 美元,说明看跌期权被低估。套利方法:买入看跌期权和股票,同时卖出看涨期权。8.8、一个无红利支付股票的美式看涨期权的价格为 4 美元。股票价格为 31 美元,执行价格为 30 美元,3 个月后到期。无风险利率为 8%。请推出相同股票、相同执行价格、相同到期日的美式看跌期权的价格上下限。美式看跌看涨期权存在如下关系: 00rTSXCPSXe在本题中: 38%12314即: 2.P8.6、执行价格为 30 美元,6 个月后到期的欧式看涨期权的价格为 2 美元。标的股票价格为29 美元,2 个月

15、后和 5 个月后分红利 0.5 美元。期限结构为水平,无风险利率为 10%。执行价格为 30 美元,6 个月后到期的欧式看跌期权的价格为多少?根据看涨看跌期权平价关系: 0rTcXeDpS移项得: 0rTp在本题中: 250.10.10.51 2239.1pee9.3 假设执行价格为 30 美元和 35 美元的看跌期权成本分别为 4 美元和 7 美元,怎样用期权构造牛市价差期权和熊市价差期权?作出表格说明这两个期权的收益和盈亏状况可以通过购买执行价格为 30 美元的看跌期权和卖出执行价格为 35 美元的看跌期权构建牛市差价,该策略初始现金流为 3 美元,收益和盈亏如下表所示:股票价格 TS收益

16、 盈亏35030T35TS2TSS可以通过卖出执行价格为 30 美元的看跌期权和买入执行价格为 35 美元的看跌期权构建熊市差价,该策略初始成本为 3 元,收益和盈亏如下表:股票价格 TS收益 盈亏35T03035TS2TSTS9.4、三个同一股票上具有同样期限的看跌期权执行价格分别为 55 美元、60 美元和 65 美元,这 3 种期权的市场价格分别为 3 美元、5 美元和 8 美元。解释如何构造蝶式差价。用表来说明这一策略的盈利形式。股票在什么价位时,这一交易策略会导致亏损。蝶式差价的构造方法为:购买一份执行价格为 55 美元的看跌期权,购买一份执行价格为 65 美元的看跌期权,同时卖出两

17、份执行价格为 60 美元的看跌期权。初始成本为 3+8-25=1 美元。该交易策略的损益情况如表所示:股票价格 TS收益 盈亏65T01065TS64TSTS 5501当最后的股票价格大于 64 或者小于 56 美元时,蝶式差价交易策略会导致损失10.1、某个股票现价为 50 美元,已知两个月后,股票的价格为 53 美元或者 48 美元。无风险年利率为 10%(连续复利) 。请用无套利原理说明,执行价格为 49 美元的 2 个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少?方法一(无套利原理):2 个月结束的时候,期权的价值为 4 美元(如果股价为 53 美元)或者 0 美元(如果股价为 48 美元) 。

18、考虑一份资产组合的构成: 单位股票和一份看:中期权的空头。两个月后组合的价值或者为 或者为 。如果:48:53=0.即资产组合的价值为 。因此对组合来说,其收益是无风38.40.or险的。组合的现值为: ,其中 为期权的价值。5ff因为组合必须以无风险的利率盈利所以: 20.10.838.42.3fef方法二(风险中性):直接利用公式: rTudfpff其中:rTedpu有题意20.15348.961.0,.960.58153ep所以2.2.fe10.9、某个股票的现价为 25 美元。已知两个月后,股价变为 23 美元或者 27 美元。无风险年利率 10%(连续复利) 。设 为 2 个月后股票

19、价格。在这时收益为 的期权的价值为多TS2TS少?方法一(无套利原理):2 个月结束的时候,金融工具的价值为 529 美元(如果股价为 23 美元 2323)或者 729 美元(如果股价为 27 美元 2727) 。考虑一份资产组合的构成: 单位股票和一份看涨期权的空头。两个月后组合的价值或者为 或者为: 279:。如果:35927-9=3520:即资产组合的价值为 。因此对组合来说,其收益6109or是无风险的。组合的现值为: ,其中 为期权的价值。5ff因为组合必须以无风险的利率盈利所以: 20.12639.fef方法二(风险中性):直接利用公式: rTudfpff其中:rTedpu有题意

20、20.12723.91.08,.90.65558ep所以 美元.2.67+.653.fe 10.5、某个股票现价为 50 美元。有连续 2 个时间步,每个时间步的步长为 3 个月,每个单步二叉树的股价或者上涨 6%或者下跌 5%。无风险利率年利率为 5%(连续复利) 。执行价格为 51 美元,有效期为 6 个月的欧式看涨期权的价值为多少?风险中性概率公式可得: 0.5312.90.5681%,5rtedpudu:二叉树图如上所示对于最高的末端节点(两个向上的复合) ,期权收益为 56.18-51=5.18 美元,而在其他情况中的收益为零。因此,期权的价值为: 22 0.561221.895.1

21、63rtuuddfepfpffe :10.6、考虑 10.5 中的情况,执行价格为 51 美元,有效期为 6 个月的欧式看跌期权的价值为多少?证明欧式看涨期权和看跌期权满足看涨看跌期权平价关系。如果看跌期权是美式期权,在树图上的任何节点,提前执行期权是否会更优惠?二叉树图:(1 )处于中间的末端节点,将会得到收益为 51-50.35=0.65 美元,处于最下面的末端节点,将会得到的收益为 51-45.125=5.875 美元。因此期权的价值为:22 20.56121.890.56891.0.658710.56891.376rtuuddfepfpff :(2 )看跌-看涨期权平价关系: 0rTc

22、XeS看跌期权加上股票价格的值为: 1.37651.376看涨期权加上执行价格的现值为: 0.2. .e二者相等,从而验证了看跌-看涨期权平价关系。(3 )为了检验是否值得提前执行该期权,应该比较从立即执行中得到的每个节点的收入计算出来的期权的值。在节点 C,立即执行的收益为 51-47.5=3.5 美元。因为这个值大于2.8664 美元,期权应该在这个节点执行,而不在节点 A 或者节点 B 执行。也就是说,在价格树的任意节点上,提前执行并不一定是最优的。11.1、目前股票价格为 50 美元,假设该股票的期望收益率为 18%,波动率为 30%。两年内此种股票价格的概率分布是什么?计算该分布的均

23、值和标准差(95%的置信区间) 。在本题中, ,未来两年股票价格 符合对数正态分布:05,.18,0.3STS2.9lnl5.18,0.3T :即: ln4.18,0TS:股票价格的均值: ()0.1820()57.6TtTESee股票价格的标准差: 2 22()()()()20.18.302151.83TttTttSe e 在给定 95%的置信度下, 的置信区间为:lnS即:4.18960.42,8.960423.,01股票价格 在 95%的置信度下的置信区间是: 即:TS.5.e28.510.4,11.2、股票当前的价格为 50 美元,假定其收益率期望为 15%,波动率为 25%。在两年内的股票收益率(连续复利)的概率分布是什么?在本题中, ,根据公式 可得 2 年期连续复利0.15,.22,xT:的回报率的概率分布是: 即 ,预期的价值20.5.,T0.1875,.3

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