初中数学分类讨论专题.doc

1、1数学思想方法与初中数学教学分类讨论专题数学思想方法在初中数学教学中的重要性在初中数学课程标准的总体目标中，明确地提出了：“通过义务教育阶段的数学学习，学生应能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。新课程把基本的数学思想方法作为基础知识的重要组成部分，在数学课程标准中明确地提出来，这不仅是课程标准体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培养创新思维的重要保证。什么是数学思想方法？数学思想是对数学知识和方法本质的认识，是解决数学问题的根本策略，它直接支配着数学的实践活动；数学方法是解决问题的手段和工具，是解决数学问题时的程序、

2、途径，它是实施数学思想的技术手段。数学思想带有理论性特征，而数学方法具有实践性的特点，数学问题的解决离不开以数学思想为指导，以数学方法为手段。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，数学思想方法揭示了概念、原理、规律的本质，是沟通基础与能力的桥梁。 在初中数学教学中，常见的数学思想有：转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等等；常见的数学方法有：待定系数法、配方法、换元法、分析法、综合法、类比法等等。在初中数学教学中，渗透数学思想方法，可以克服就题论题，死套模式，数学思想方法可以帮助我们加强思路分析，寻求已知和未知的联系，提高分析解决问题的能力，从

3、而使思维品质和能力有所提高。提高学生的数学素质、必须紧紧抓住数学思想方法这一重要环节，因为数学思想方法是提高学生的数学思维能力和数学素养的重要保障。在初中数学教材中集中了大量的优秀例题和习题，它们所体现的数学知识和数学方法固然重要，但其蕴涵的数学思想却更显重要，作为初中数学教师，要善于挖掘例题、习题的潜在功能。在初中数学教学中，教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能

4、力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。因此，在初中数学教学中，教师必须重视对学生进行数学思想方法的渗透与培养。我下面主要对分类讨论思想做一下分析分类讨论思想是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，当被研究的问题包含多种可能的情况不能一概而论时，就要按照可能出现的各种情况进行分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思维方法就是分类讨论思想。2分类思想已渗透到中学数学的各个方面，如概念的定义、定理的证明、法则的推导等，也渗透到问题的具体解决之中，如含有绝对值符号的代数式的处理、根式的化简、图形的讨论等，这些问题若不分类讨论，就会无从着手或顾此失彼，导致错误的发生。比

5、如，在有关绝对值的概念中，当去掉绝对值符号时，便要把绝对值内的字母分大于 0，小于 0，等于 0 三种情况进行讨论；若已知 =3， =2，求 的值。在解这道题时，由 =3，得到 或 ，由 =2，得到或 。因此，对于 的取值，应分四种情况讨论，当 ， 时， 的值为 5；当 ， 时， 的值为 1；当 ， 时， 的值为1；当 ，时， 的值为5，即 的值为 5；1；1；5。在解这个数学问题时，由于它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论。在运用分类讨论思想研究问题时，必须做到“不重、不漏”，而且要按照相同的标准进行讨论，只有掌握了分类讨论思想，在解题时才不会出现漏解的情况。在渗透分类讨

6、论思想的过程中，首要的是分类。教师要培养学生分类的意识，然后才能引导学生在分类的基础上进行讨论。我们仔细分析教材的话应该不难发现，教材对于分类讨论思想的渗透是一直坚持而又明显的。比如在研究相反数、绝对值、有理数的乘法运算的符号法则等都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的；在研究加、减、乘、除四种运算法则时也是按照同号、异号、与零运算这三类分别研究的；而在初中几何教学中，用分类讨论思想进行了角的分类、点和直线的位置关系的分类、两条直线位置关系的分类；在函数教学中将函数图象分为开口方向向上、向下，自变量的增、减来进行研究；在圆的教学中按圆心距与两圆半径之间的大小关系将两圆的位置关系进行了分类

7、。从功能上看，这种分类讨论思想可以避免漏解、错解情况的出现，从学生的思维品质上看，分类讨论思想有利于培养学生的思维严谨性与逻辑性。渗透分类讨论的思想方法，对培养学生全面观察事物、灵活处理问题的能力有积极促进作用。下面我以冀教版九年级数学上册第 27 章第 2 节 “圆周角”的教学为例，谈一谈教学中的一些设计与感受。1教学背景分析本节课是在学生掌握了圆的有关概念、圆的对称性、圆心角等知识的基础上，重点研究圆周角的概念以及圆周角定理，圆周角不仅与圆心角之间关系十分密切，而且在进行角的有关计算、证明角相等、弧相等、弦相等、研究圆内接四边形、判定相似三角形等常见几何问题中具有重要的作用，尤其是利用完全

8、归纳法探索圆周角定理的过程，对培养学生分类讨论、转化等数学思想方法以及从特殊到一般的认知规律具有促进作用。因此，我确定了本节课的教学重点是：圆周角的概念和圆周角定理。我所任教的初三年级学生，从知识上看，已掌握了圆的有关概念、圆的对称性、圆心角等知识，从思维上看，能够比较主动的进行观察、实验、比较、猜想、证明等数学思维活动，这对于本3节课的学习很有帮助，但由于圆周角定理的证明，需要分三种情况进行讨论逐一证明，这对于学生较为生疏，很难把相关知识完整地纳入已有的知识系统，在教学中我力图通过直观展示、动手试验、验证探索圆周角定理，使学生逐步体会分类讨论、转化等数学思想方法以及特殊到一般的认知规律。因此

9、，我确定了本节课的教学难点是：圆周角定理的证明及其应用。根据数学课程标准中关于“圆周角”的教学要求，和对教材、学生的分析，结合我班学生已有的经验和知识基础，我确定了本节课的教学目标： 了解圆周角与圆心角之间的关系，理解圆周角的概念，掌握圆周角定理，能熟练运用圆周角定理进行有关证明和计算； 经历观察、实验、比较、猜想、证明等探索圆周角定理的过程，体会转化、分类讨论的数学思想方法以及从特殊到一般的认识规律； 在合作交流活动中，享受自主探究发现知识的乐趣，在几何图形的运动变化中，感受变化美、动态美，培养学生勇于探索和勤于思考的精神。2教学过程的设计创设情境，导入新课首先从学生已掌握的旧知识出发，提出

10、问题：什么叫圆心角？图 1 中 AOB 的特点是什么？有哪些相关的性质？学生思考后回答，师生共同纠正评价，进一步明确：顶点在圆心的角叫圆心角；在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。然后我用多媒体展示在北京海洋馆里人们通过圆弧形玻璃窗 AB 观看窗内神奇的海底世界的图片，如图 2，同学甲站在圆心 O 的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置 C，同学丙和丁分别站在其他靠墙的位置 D 和 E。在学生理解题意后，向学生提问：你知道哪位同学的观赏角度最好吗？学生结合图形大胆猜想，猜想的结果是否正确，并不给出明确的答案，而是设置一个悬念，并向学生说明：通过今天的学习，我

11、们就可以解 决这个问题，从而引入本节课的课题圆周角。4合作探究，学习新知首先引导学生认识圆周角。提出问题 1：在图 2 中， AOB 的顶点在圆心， AOB 是圆心角； ACB、 ADB 和 AEB 这三个角有什么共同的特征吗？学生独立思考，回答问题后，师生共同纠正评价，明确共同的特征是：角的顶点在圆周上；角的两边都和圆相交。提出问题 2：你能尝试叙述一下“圆周角”的概念吗？学生通过类比回答问题，师生修改、补充、达成共识得到圆周角的概念：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。提出问题 3：圆周角与圆心角的概念有什么区别、联系吗？学生独立思考进行回答，其他学生补充完善后，我利用多媒体课件指出

12、圆周角与圆心角概念之间的区别、联系：图形 角的顶点 角的两边圆心角 AOB 在圆心 两边和圆相交（不必强调）圆周角 ACB 在圆上 两边和圆相交（必须强调）提出问题 4:判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。学生独立思考后回答问题，图（3）（6）（8）中的角是圆周角。及时给予鼓励评价，并由学生总结强调：圆周角的概念中两个特征缺一不可：顶点在圆上；两边和圆相交。顺势引导学生观察图（3）（6）（8）中三个圆周角的位置特征，继续提问：问题 5:圆心与圆周角之间存在几种不同的位置关系？5学生先独立思考，再与同桌交流，借助几何画板，从运动的观点引导学生观察归纳，师生达成共识后明确指出：圆心与圆周

13、角之间存在三种位置关系。圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部。为圆周角定理的分类证明做好铺垫，渗透分类讨论思想。然后我引导学生探究圆周角的性质观察实验，测量比较同学们分成小组，先在学案纸上任意画同一条弧 AB 所对的圆心角和圆周角，再用量角器分别度量出这两个角的大小，填入表格中，并比较它们在度数之间有怎样的关系？参与学生小组活动，对于发现规律的学习小组，给予及时的表扬，并鼓励他们用准确简练的语言，归纳概括提出猜想。对于没有发现规律的小组，引导学生根据圆心与圆周角不同的位置关系，正确画出图形，渗透分类讨论思想，并测量比较圆心角和圆周角度数之间的关系，帮助他们发现规律。提出猜想，直观验

14、证在学生分小组进行观察实验、度量比较、充分讨论的基础上，请小组代表阐述本组合作交流、探究发现的规律，提出猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。适时地利用几何画板进行直观演示，验证学生提出的猜想。拖动点 C，观察到弧 AB 所对的圆周角虽然有无数个，但度量 AOB 和 ACB 的度数后，发现：圆周角 ACB 都等于它所对的圆心角 AOB 的一半。拖动点 A，改变弧 AB 的大小，观察发现上述规律不变，即 ACB= AOB。6推理证明，归纳性质在几何画板直观验证的基础上，让学生分小组进一步对猜想进行推理证明。积极参与学生小组活动，对于能正确书写推理证明过程的学习小组，给予及时的鼓励表扬

15、，并引导学生反思总结：在证明过程中，你运用了哪些数学思想方法？对于证明有困难的学习小组，分三步给予启发引导：第一步：让学生结合图形正确写出已知和求证；第二步：引导学生分三种情况进行讨论。从第一种“圆心在角的一边上”的特殊情况开始，利用“三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质”加以证明；第三步：引导学生把其他两种一般情况“圆心在角的内部或外部”，通过添加直径这条辅助线，转化为第一种“圆心在角的一边上”的特殊情况来解决。给予学生足够多的时间，让学生进行充分的讨论证明，然后请小组代表运用实物投影进行展示交流，和学生共同进行修改、补充和完善，并用多媒体课件展示规范的推理证明过程，最后由学生总结概括得

16、到圆周角定理，老师进行板书。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。已知：在中， 所对的圆周角是 ACB，圆心角是 AOB。求证：证明： 如图 1，圆心 O 在 ACB 的边上 OC =OB， B = C AOB 是 OBC 中 COB 的外角，7 AOB = C+ B AOB = 2 ACB 即 ACB = AOB 如图 2，圆心 O 在 ACB 的内部作直径 CD，利用（1）的结果，有 ACD = AOD ， BCD = BOD ACD + BCD = （ AOD + BOD）即 ACB = AOB 如图 3，圆心 O 在 ACB 的外部作直径 CD，利用（1）的结果，有

17、ACD = AOD ， BCD = BOD BCD - ACD = （ BOD - AOD）即 ACB = AOB 在得到圆周角定理后，请学生结合图形写出推理形式，并由一名同学板演。符号语言：在 o 中， 所对的圆周角是 ACB，圆心角是 AOB，8（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）。在学生对圆周角定理的文字、图形、符号三种语言已有正确认识的基础上，进一步强调：定理的条件：是“一条弧”。定理的结论：为角的有关计算、角相等、弧相等、弦相等的有关证明提供了新的方法和依据。定理的证明过程：使用完全归纳法进行证明，体现了分类讨论、转化等数学思想方法以及从特殊到一般的认知规律。解决问题，反思

18、感悟在正确理解圆周角定理后，继续问学生：你现在能解决引例中提出的问题吗？问题：在北京海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗 AB 观看窗内神奇的海底世界。 如图，同学甲站在圆心 O 的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置 C，同学丙和丁分别站在其他靠墙的位置 D 和 E。你知道哪位同学的观赏角度最好吗？解：因为 ACB、 ADB 和 AEB 是 所对的圆周角， AOB 是 所对的圆心角，所以 ACB ADB AEB AOB。因为的角度越大，观赏角度越佳，所以站在点 O 的位置时观赏角度最好，站在点 C、 D、 E 的位置时观赏效果一样。在解决问题后，引导学生小结，反思感悟到：正确掌握圆周

19、角定理是解决问题的关键。9本阶段通过学生合作交流等活动，探究圆周角的概念和圆周角定理，逐步体会分类讨论、转化等数学思想方法以及特殊到一般的认知规律。应用知识，培养能力首先，安排了第一组练习：“比一比，谁最棒！”如图 1， 是 o 上的一点，如果 35,那么 AOB = ；如图 2， AB、 AC 为 o 的两条弦，延长 CA 到 D，使 AD = AB，如果 ADB = 30，那么 BOC = ；如图 3，已知 A、 C、 B、 D 是上的点，如果 AOB = 100，那么 ACB = ， ADB = ；如图 4， A、 B 是上的两点，如果 AOB=80,C 是 上不与点 A、 B 重合的任

20、一点，那么 ACB = 。图 1 图 2 图 3 图 4第题是由圆周角直接求圆心角，第题是由圆心角直接求圆周角，目的是使学生熟悉掌握圆周角定理；第题需要先利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质确定圆周角后，再求出圆心角，目的是使学生进一步掌握圆周角定理；第题点 C 在劣弧上还是在优弧上不确定，需要分类讨论求解，目的是使学生灵活掌握圆周角定理；以上题目，采用课堂竞赛的形式组织学生完成，由学生独立思考后进行口答，其他学生补充、修改，我及时给予鼓励评价，本阶段通过“比一比，谁最棒”这个练习，激发学生学习积极性，使学生从不同的角度，逐步理解掌握圆周角定理，体会圆周角定理在计算中的重要应用。接着，

21、安排了第二组练习：“试一试，你能行！”10已知：如图， A、 B、 D、 E 为 o 上的四个点，点 E 为 DC 延长线上的一点。求证： BCD+ A=180； ABC+ ADC=180； BCE= A。此题先由学生独立思考，写出证明过程后，再分小组讨论交流，我有针对性地进行巡视。对于言之有理、落笔有据，书写规范的学生给予及时的鼓励表扬，并引导他们用简练的语言，归纳概括圆内接四边形的重要结论。对于暂时没有发现解题思路的学生，我引导学生通过做半径，构造圆心角，使圆周角与同弧所对的圆心角联系起来，从而解决问题。在学生小组讨论交流后，我利用投影有针对性地展示收集到的不同学生的证明过程，并给予评价指

22、导。然后我进一步向学生提问：你知道圆内接四边形有哪些性质吗？在学生充分发言的基础上，师生共同修改完善、归纳总结、达成共识后得到：圆内接四边形的对角互补, 一个外角等于它的内对角。通过这个问题的解决，让学生进一步体会圆周角定理在证明中的重要应用。最后，我安排了第三组练习：“做一做，夺金牌”在 2008 年北京奥运会上，中国选手奋力拼搏，获得 100 枚奖牌，我校数学兴趣小组也要参加北京市的“OM”头脑奥林匹克比赛，比赛用的道具都是老师和同学自己动手制作的。一天，小明找到老师，他想在一块圆形纸板上画八个 45 的角，组成一个美丽的图案（如图），希望可以提供一种比较简单的做法，你能帮助小明想个好办法

23、吗？通过这个问题的解决，让学生进一步感受到圆周角定理在实际生活中的广泛应用，从而激发学生的学习积极性。并进一步体会分类讨论思想。归纳总结，提升认识为了使学生对本节课有一个整体的感知，教师和学生共同回顾了本节课的学习内容和重点。结合学生发言，引导学生进一步从知识与技能、过程与方法等方面进行反思归纳总结。11顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。“观察、实验、比较、分析、归纳、猜想、证明”是探究问题常用的策略；“从特殊到一般”是认识事物常用的数学方法；“分类讨论、转化”是解决问题常用的数学思想。本节课重点研究圆周角的概念以及圆周角定理。主要采取引导发

24、现、合作探究的教学方法。首先，让学生在实际生活中通过直观感受，抽象概括圆周角的特征，以准确的语言明确揭示圆周角的本质，并对圆周角的概念进行比较、辨析，深化理解圆周角的概念，从而逐步体会圆周角与圆心的三种位置关系，渗透分类讨论思想；然后引导学生经历观察、实验、分析、比较、归纳、猜想、证明探索圆周角定理的过程，并借助几何画板的直观演示，增强学生对圆周角定理的感性认识，体会几何图形运动变化中的不变性；通过分情况证明圆周角定理的过程，体会转化、分类讨论、完全归纳法的数学思想方法以及从特殊到一般的认知规律；通过选取由易到难不同层次的练习，从不同的角度，使学生熟练掌握圆周角定理，感受圆周角定理在计算、证明

25、以及实际生活中的广泛应用；通过学生小结，回顾知识，培养学生的归纳概括能力以及善于反思的能力，从而进一步体会数学思想方法是解题的灵魂。在初中数学教学中，通过分类讨论思想的渗透，既能使问题得到解决，又能使学生学会多角度、多方面去分析、解决问题，从而培养学生思维的严密性、全面性。掌握分类思想，有助于学生理解知识，整理知识、消化知识和独立获取知识，使学生学会一种分析问题和处理问题的思想方法，从而提高学生全面观察事物、灵活处理问题的能力。代数类与数与式有关的分类讨论化简：|x-1|+|x-2|解析：当 x1 时，x-1 0，x-2 0， 原式=-(x-1)-(x-2)=-2x+3。当 1x2 时，x-1

26、0，x-20，原式=(x+1)-(x-2)=1当 x2 时， x-10，x-2 0， 原式=(x-1)+(x-2)=2x-3代数式 的所有可能的值有（ ab|）12A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 无数个解析：根据绝对值的意义，需对 a、b 的符号进行讨论。（1）当 时， ，原式等于 3；ab0， 0（2）当 ，原式等于 ；， 时 ， 1（3）当 时， ，原式等于 ；a， a（4）当 时， ，原式等于 。b0， 0因此，代数式所有可能的值为 3、-1，故选 A。点拨：绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要弄清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个

27、数的点与原点的距离。所以只有对初中数学概念的本身有一个全面深刻的理解，才能在解决有关问题时有分类讨论的意识，从而提高分析问题和解决问题的能力。与方程有关的分类讨论3、已知方程 有实数根，求 m 的取值范围。01)2(xmx解析：（1）当 时，即 m=0 时，方程为一元一次方程 x+1=0，有实数根 x=0 1（2）当 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：2，且41-,14)(2即m02m综（1） （2）得， 点拨：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略 的条件）024、 （2011 武汉） a34932无 解 ， 求xax解：去分母，得：1.6,80a3-2-a21)()(x或 者

28、或或由 已 知 ）（13ABC A O A Q猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 68a或函数部分5、已知一次函数 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B ，试在 x 轴上找一3y点 P，使PAB 为等腰三角形。分析：本题中PAB 由于 P 点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。PAB 是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB 。先可以求出 B 点坐标 ，A 点坐()03，标（9，0） 。设 P 点坐标为 ，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方)0(，x程，求出 P 点坐标有四解，分别为 。

29、 （不适合条件的)69()03()9，、，、，、， 解已舍去）总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。6、如图，直线 y=3x+3 交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 B 点，过 A,B 两点的抛物线交 x 轴于另一点 C（3,0）.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使三角形 ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理 由。14说明 从以上各例

30、可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证解析：（1）抛物线解析式的求法：1，三点式；2，顶点式（h,k） ；3，交点式。易得： 2)3,0()3(1 xyBxay在 抛 物 线 上再 结 合 点依题意得 ，抛物线的对称轴为 x=1,设 Q(1，y)0AB以 AQ 为底，则有 AB=QB,及 解得，y=0 或 y=6,又因为点（1,6）在22)(y直线 AB 上( 舍去)，所以此时存在一点 Q(1,0)以 BQ 为底，同理则有

31、AB=AQ,解的 Q(1, ) Q(1, )6以 AB 为底，同理则有 QA=QB,存在点 Q(1,1).综上，共存在四个点分别为：(1,0)、(1,1) 、(1, ) 、(1, )6几何类与等腰三角形有关的分类讨论与角有关的分类讨论已知等腰三角形的一个内角为 75则其顶角为_15与边有关的分类讨论已知等腰三角形的一边等于 5，另一边等于 6，则它的周长等于_.某等腰三角形的两条边长分别为 3cm 和 6cm，则它的周长为（ ）A9cm B12cm C15cm D12cm 或 15cm与高有关的分类讨论1.一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成 35，则此等腰三角形的顶角是_度.等腰三角形一腰上的

32、高与另一腰所成的夹角为 45，这个等腰三角形的顶角是_度.为美化环境，计划在某小区内用 的草皮铺设一块一边长为 10 的等腰三角形绿地，230mm请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.如图，在网格图中找格点 M，使MPQ 为等腰三角形.并画出相应的MPQ 的对称轴.综合应用在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知 A（2，2） ，试在 x 轴上确定点 P，使AOP为等腰三角形，求符合条件的点 P 的坐标A（2，2）yxo直角坐标系中，已知点 P（2，1） ，点 T（t，0）是 x 轴上的一个动点.求点 P 关于原点的对称点 的坐标；（2）当 t 取何值时， TO 是等腰三角形？ PPQ16yxPO

33、T11与圆有关的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解.由于点与圆的位置关系的不确定而分类讨论已知点 P 到O 的最近距离为 3cm，最远距离为 13cm，求 O 的半径.由于点在圆周上位置关系的不确定而分类讨论A、B 是O 上的两点，且 AOB=136o，C 是O 上不与 A、B 重合的任意一点，则ACB 的度数是_.2.O 的半径为 5，弦 ABCD，AB6，CD8，则 AB 和 CD 的距离是（ ）A. 7 B. 8 C. 7 或 1 D. 1由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论 已知横截面直径为 100cm 的圆形下

34、水道，如果水面宽 AB 为 80cm，求下水道中水的最大深度.由于两弦与直径位置关系的不确定而分类讨论 17O 的直径 AB=2，过点 A 有两条弦 AC= ，AD= ，求CAD 的度数.23由于直线与圆的位置的不确定而分类讨论已知在直角坐标系中，半径为 2 的圆的圆心坐标为（3，-3） ，当该圆向上平移 个单位时，它与 轴相切.x如图，直线 与 x 轴，y 轴分别交于点 M，N43y（1）求 M，N 两点的坐标； （2）如果点 P 在坐标轴上，以点 P 为圆心， 为半径的圆与直线 相切，12543yx求点 P 的坐标 .由于圆与圆的位置的不确定而分类讨论已知O 1 与O 2 相切，O 1 的

35、半径为 3 cm，O 2 的半径为 2 cm，则 O1O2 的长是 cm 2.若两圆相切，圆心距是 7，其中一圆的半径为 4，则另一圆的半径为：3 或 11.3 如图，在 84 的方格（每个方格的边长为 1 个单位长）中，A 的半径为 1，B 的半径为 2，将A 由图示位置向右平移 个单位长后，A 与B 相切18A B4 如图，小圆的圆心在原点，半径为 3，大圆的圆心坐标为(a，0)，半径为 5，如果两圆内含，那么 a 的取值范围是_ yx53(a，0)O5. 与直角三角形有关的分类讨论1.如图，RtABC 中，ACB =90，ABC=60，BC=2cm，D 为 BC 的中点，若动点 E以 1

36、cm/s 的速度从 A 点出发，沿着 ABA 的方向运动，设 E 点的运动时间为 t 秒（0t6） ，连接 DE，当BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）A2 B2.5 或 3.5 C3.5 或 4.5 D2 或 3.5 或 4.5与相似三角形有关的分类讨论对应边不确定如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm,BC=6cm.某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿AB 方向以 1cms 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 从 D 点出发沿 DA 方向以N2cms 的速度向 A 点匀速运动，问：是否存在时刻 t，使以 A,.M,N 为顶点的三角形与19ACD 相似？若存在，求 t 的值；若

37、不存在，请说明理由ABCDMN对应角不确定如图 1，A=50 0，B=60 0，一直线 l 与 ABC 的边 AC、AB 边相交于点 D、E 两点，当 ADE 为_度时，ABC 与ADE 相似.图形的位置不确定1. 如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD BC，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EFBC 交CD 于点 FAB4，BC6，B60（1）求点 E 到 BC 的距离；（2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PMEF 交 BC 于点 M，过 M 作 MNAB交折线 ADC 于点 N，连结 PN，设 EPx当点 N 在线段 AD 上时（如图 2） ， PMN 的形状是否发

38、生改变？若不变，求出PMN 的周长；若改变，请说明理由；当点 N 在线段 DC 上时（如图 3） ，是否存在点 P，使 PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由FEA DB C图 2NPMFEA DB C图 3MPNFEA DB C图 1AB CE Dl图 120FEA DB C图 5(备用)FEA DB C图 4(备用)综合类的分类讨论21课下巩固练习一、填空题：已知 AB 是圆的直径，AC 是弦，AB2，AC ，弦 AD1，则CAD 2直角三角形的两条边长分别为 6 和 8,那么这个三角形的外接圆半径等于 . 已知两圆内切，一个圆的半径是 3，圆心

39、距是 2，那么另一个圆的半径是_等腰三角形的一个内角为 70，则其顶角为_在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图 3 中 55 的方格中，作格点 ABC 和OAB 相似(相似比不为 1)，则点 C 的坐标是_.二、选择题：若等腰三角形的一个内角为 500，则其他两个内角为 （ ） A50 0 ，80 o B65 0， 650 C50 0 ，65 0 D50 0，80 0 或 650，65 0若 |3,|2,( )abab且 则A5 或1 B5 或 1; C5 或 1 D5 或1等腰三角形的一边长为 3cm，周长是 13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（

40、）A5cm B.3cm C5cm 或 3cm D不确定若O 的弦 AB 所对的圆心角 AOB=60，则弦 AB 所对的圆周角的度数为（ ）A30 0 B、60 0 C150 0 D30 0 或 1500若O 所在平面内一点 P 到O 上的点的最大距离为 a，最小距离为 b(ab)，则此圆的半径为（ ）A. B. C. 或 D. a+b 或 a-b2ab2ab2ab22二、解答题：在 ABC 中，BAC90，AB AC ，圆 A 的半径为 1，如图所示，若点 O 在2BC 边上运动， （与点 B 和 C 不重合） ，设 BOx，AOC 的面积为 .y（1）求 关于 的函数关系式.yx（2）以点

41、O 为圆心，BO 长为半径作圆 O，求当圆 O 与圆 A 相切时 AOC 的面积.AB CO在直角坐标系 XOY 中，O 为坐标原点，A、B、C 三点的坐标分别为 A（5，0） ，B（0， 4） ，C（1，0） ，点 M 和点 N 在 x 轴上， （点 M 在点 N 的左边）点 N 在原点的右边，作 MPBN，垂足为 P（点 P 在线段 BN 上，且点 P 与点 B 不重合）直线 MP与 y 轴交于点 G，MGBN.（1）求点 M 的坐标.（2）设 ONt，MOG 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围.（3）过点 B 作直线 BK 平行于 x 轴，在直线 B

42、K 上是否存在点 R，使 ORA 为等腰三角形？若存在，请直接写出 R 的坐标；若不存在，请说明理由.如图，以矩形 OABC 的顶点 O 为原点，OA 所在的直线为 x 轴，OC 所在的直线为 y 轴，23建立平面直角坐标系已知 OA3，OC2，点 E 是 AB 的中点，在 OA 上取一点 D，将BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处（1）直接写出点 E、F 的坐标；（2）设顶点为 F 的抛物线交 y 轴正半轴于点 P，且以点 E、F、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的关系式在平面直角坐标系内,已知点 A(2,1),O 为坐标原点.请你在坐标轴上确定点 P,使

43、得 AOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点 P 都找出来,画上实心点,并在旁边标上 P1,P2,Pk,(有 k 个就标到 PK 为止,不必写出画法) 已知 与 是反比例函数 图象上的两个点(1)Am， (23)B， kyx（1）求 的值；k24（2）若点 ，则在反比例函数 图象上是否存在点 ，使得以(10)C， kyxD四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请ABD， ， ，说明理由如图,平面直角坐标系中,直线 AB 与 轴, 轴分别交于 A(3,0),B(0, )两点, ,点 C 为线段xy3AB 上的一动点,过点 C 作 CD 轴于点 D.(1)求直线 AB 的关系式;(2)若 S 梯形 OBCD ,求点 C 的坐标;43(3)在第一象限内是否存在点 P,使得以 P,O,B 为顶点的三角形与OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.二次函数 231yx的图象与 x轴交于 AB、 两点，与 y轴交于点 C.（1）求 ABC 的面积 ；BCxy1O25（2）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使四边形 ACBD为直角梯形？若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由yxBACO