1、第七章 微分方程第一节 微分方程的基本概念1 指出下列各微分方程式的阶数1） 356()40xyx2） 27()yde2设 .1）验证 是方程 的解.2）求参数 ， 使得它12(xyce40y1c2满足初始条件 ， .0)()1y1） 2221xxxycece 22244x222144xxxcece 1xxycece2221()x21()0x是方程 的解y40y2） (0)11()cy22021xxeec所求满足初始条件的函数为 。y第二节 可能离变量的微分方程1 求下列微分方程的通解。1） 2ln0xy解：原式可化为 2ln0dyxx分离变量，得 2两端积分，得 1lnlxyc从而（ 为任意
2、常数）11lnln1lnxxxcyeece2） sinos0xd解：原式可化为 csiy分离变量，得 osindyx两端积分，得 ciyx得 =1lnsetalnscotln11ltaln2ta2cxx1ctta2cyx（ 为常数）tntse2 求下列微分方程满足所给实始条件的特解。1） ，2yxe0|1解： d分离变量，得 2xyed两端积分，得 y（ 为常数） 21yxec即 （ 为常数）准 ， 代入通解 0x1y102ec解得 2ce特解为 ln()xye2） ，si1)cos0dxyd(4解方程可化为： cos12inxdye两端积分 sixy即 1lnsil(2)yec（ 为常数）x
3、c代入上式(0)4y032since第三节 齐次方程1.求下列齐次方程的通解1） 3232()()0xydyxd解： （1）3232(1)x令 （2）ydyuux把（2）代入（1） ，得 223-1dux两端积分，得 d21lnlnuxc2llyx2） 3(ln)dyx解： （1）x令 yu（2）dyux把（2）代入（1） ，得 3lndxu3lnu两端积分 dux（ 为常数）1llnc2. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解。1) ,tanyx()解： （1）dyx令 yux（2）d把（2）代入（1） 即 tanduxtandux即 lnsilclsilc把 代入上式，得 ,xyli1得
4、lsi1c特解为 nlnsiyx2） 0(1)2(1),|1xyyx xedd解：设 2(), 1(1)xyuxeeuyd,xy即有 2(1)udeuy变量分离后，得 ()udye两端积分，得 (2)udedy1lnlnuc（ 为常数）(2)ye（ 为常数）xc代入 得2ye0,12xyc特解为 ye第四节 一阶线性微分方程1求下列微分方程的通解。1） sincoxye解对应齐次方程 cos0dyx即 ，lnsiycsinxye常数变易法 ixuesinsin(co)xddue代入原方程，得 sisixxeu于是得所求通解为 coscossinxdxdyeesinxec2） (6)20x解：
5、ydyx即 312xy是一阶非齐次方程 3dyx，ln3xc3常数就易法 （1）3uy3dxdy312uxdyc代入（1）式，得通解（ 为任意常数）33()2xycyc2 求微分方程 ，满足条件 的特解。sind|1x解：11ixdxyeec(sin)(os)cxx由 ，得 |1y1故特解为 (cs)x5求下列微分方程的通解。1）4 32xyy解：原式变为 423dxy（1）11233yx令 代入（1） ，得3z4123dyxx123()dyxx即为 z变成了一阶线性微分方程 2233()dxdxzeec23427ln3()x即 12337yc2） (ln)xx解：原式变为 （1）lndyxy
6、令 ，则 uxu代入（1）式，得2dxylndxuln()c，把 代入cxuey即 y1cxe第五节 全微分方程1. 判断下列方程中哪些是全微分方程.1） 20yyedxd是 yyPQe1()ldux2） 20yyedxd不是 2yPQ3）2430xxddy是 446PQxy2.求解下列微分方程.1）23xddy解：原方程可划简为 230xxy两边同乘以 ，得21230xxdyd223PQ， 在 xoy 平面的上半平面 处总成立3xy3xy0y为积分因子。取21M0,1M12301,xyuyddC21C2xy2） 20dxd解：方程两边同乘以 得21y20ydxx即2y因此 为原方程的一个积分
7、因子，并且原方程的通解为21xCy3） 222210xy解：原方程为 20dxydx2Pxy2QxPQ方程通解为 00,xyuddC22201xy331第六节 可降阶的高阶微分方程1. 求下列各微分方程的通解.1） xye解：连续积分两次 xd= 21eC21xydx3126xe1,为 任 意 常 数31226xeCx2） xyy解：令 P1dx则原式化为 22xP即 d令 .则Puxxd则 2x2u积分 lnln1cpcx2xy22112lnyCcC22112lxx3） y令 ，P1122dx1arctnxCPy112talncosxdxC2. 求下列各微分方程满足所有条件的通解.1） ，
8、，301xy10x解：令 ，yPdy原方程为 积分3即21Cy21Cy代入上式得110xx 12y即21y21dyx积分得 22xC时， ，得1xy得特解 21x即 （舍去 ，因为 ）y2yx1xy2） ， ，2xe00x解：令 ， 此为一阶线性微分方程.yP2de解得 ，由于 ，得 ，2214xxeC01xy134C2238xxyeC代入上式得0xy 254238xe3） ，1y01y解：令 ，P22dx11lnCP12xe，得 ，即 ，01y10C1dyx2xC由 得 2yx第七节 高阶线性微分方程1. 验证 及 都是方程 的解，写出该方程21xye2xe240yxy的通解.解： ，21x
9、 221xxye22ye22234xe22321164xxeyy22220xee是方程的解.1y同理可证 也是原方程的解.且 .故与是线性的.221xye常 数所以方程的通解为 22211xxxyCeCe2. 验证 ， 是方程 的解， 是方程31yx22350y3ln9y的解，写出微分方程的 通解.25lnx 225lxx解： ， ，31y41x3120yx， ，2 故 为齐次方程的解.234511350xyyxx 1y同理 故 为齐次方程的解.2 222与 线性无关612yx常 数 1y2是非齐次方程的一个特解.所以非齐次方程的通解为3251231ln9xyCyC12,C为 任 意 常 数1
10、） 02y解：特征方程 1r有两个不相等实数根 3,4方程的通解为 xxecy212） 096解：特征方程为 962r有两相等实数 321方程的通解为 （ ）xxecey32c213） 06解：特征方程为 12r有一对共轭复根 irir321、方程的通解为 xceyxsno34） 0245解：特征方程为345rr 0123r它的根 032154方程的通解为 xcexcyx5423215） 04y解特征方程为 0101224 rr有一对 2 重根 i2,xDxcysinos2116） ， .03y10,y解：对应的特征方程为22r2,1r所求通解为xxecy第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程1
11、.求微分方程的通解：1） xey182,xpm 2,4r设xecY241xeby109,0bxey通解 xxxec192412） y28,xpm,421r设xecY241xeby10解得 365,10bxexy2所求通解为 xxx ecy22241 53613） e21,2xpm2r设ceY21xebxy210解得 2,80bb得特解 xexy12所求通解为 xx ec23421 184） eyxsin0,1lP1nw22r是特征方程的根i1ixceYxsno2设 bayi00解得 ,21特解 xeycos所求通解为 xexcos21sin212.设函数 连续，且满足 ，求 .xfdtftf0
12、xf解： =dtxtfe00两边对 求导，得x xxftffe0即 (1)xdtfef0上式两边对 求导，得 xfex即 xefxf由题设 10再由(1)式得 10f设 ，则 求满足初始条件 的特解xyxey1,00xxy(3)e(3)式为 型 xmP)(1,)(m(3)式对应的齐次方程为(4)0y它们特征方程为 12r解得 iri2,齐次方程(4)的通解为 xcYsino21由于 不是特征方程的根.可设xeay0xeay0代入(3)式 xx0解得 21axey(3)式的通解为 xec21sino21把 代入上式.0xy1= 21c解得 xecxy21sino22xecxy21ossin212
13、把 代入上式0x1= 12c解得 于是所求 xexfysinco2第九章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念1. 求定义域(1)(x,y) ；1xye(2)2k ；Zk,+22(3)(x,y,z) .219xyz2.求极限(1) ;20lim()xy(2)0 ;(3) ;20sinl0()xyxye(4) .20sicolm2xy3.判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值(1)沿直线 y=kx 趋于点（0，0）时， ,不存在;2201limxk(2)沿直线 y=0,极限为 1；沿曲线 y= ,极限为 0，不存在 ;(3) .极限为 0 .222210xyxyxy4.因当 时，0
14、,22.xyy所以 ，故连续.0lim(,)(0,)xyff第二节 偏导数1. 求下列函数的偏导数(1) ; 2x(1+xy);2(1).(1)xyy(2)yzcos(xyz)+2xy ; xzcos(xyz)+ ;2(3) , .2()1xy2()1xy2. .63. .21().1yxy4. 122222 22ln()ln(),.,(),()()zxxyyzxxyy5.2020201sin,lm(,)()1sin0li(,)lmxyxyxyfff xf yA因 为所 以 连 续 .（ ， ） ， 不 存 在 ， .第三节 全微分1. 求下列函数的全微分解：(1) 22221()()1zdx
15、dyxxyyxdd.(2) 1lnlyzyzyzuudxdxd.2.解：32220 33 22(0,)0 0332322 0,(),0lim(,)(,)(,)li1lim1xyx yx yxyxyxfff fyxxz.所 以 连 续 .两 个 偏 导 数 都 存 在 ， 为 22 32220 01(,)li li 0,.()yxyxyxxxy A当 沿 时 ， 故 不 可 微第四节 多元复合函数的求导法则1.解： 3223522 22 221 (1) (1)456)1(2)1() (1)(3) ()lnvvdzuvwxuvxxxyd xxzuzdufugxx.2.解：(1) 2lnarctn2
16、2 21(tln)()uuvxyxyzz veeevuuuxuv.2lnarctn221(tln)uuvzzyevvxv.(2) ()(1)()ufxyzyzxyufxyzz3. 解： 1212.zzzfabfftxyt， ， ，所 以 ， 4. 解： 2222 2()()()4zfxyxfyzxfyxy第五节 隐函数的求导公式1.解：令 (,)sin()01cos()xzyzFzxyzxy2. .解：令 22222(0,1)2(,)10()|xzFzxzxz3.证明： 11 2212().xzccabaybzCxy所 以4.（1）解：方程两边对 y 求导，得：246026421624(2)(
17、62)1(1)dzxyydzxydzyzxyzyzxdz（2） 12 12()(1)uuvfxfx xvggvyx 121 12 1221 2 121 2221()ufffvgygxxuffuvyfgfxgffgvyxfguyvyff11 222xfuvygfg5.证明：xtdyfd0ytFFxtdtyxttFd由， xtf代入，得 ()(1)yxxttttyxttyxxtxtxyFddffFffdFf第六节 多元函数微分学的几何应用1解：切向量 ),cos,sin(=btatT、切线： ,ztytax。 。 i法平面： .0)()(cs)(s 。 zby在任一点 处，00zyx、是定数，21
18、,cosbaT，所以交成定角。2解： 令 , , 0ln,.zyxzyxF1),1(xxF,1),(yy).1,0(nFz切平面方程为： (x-1)-(z-1)=0,即 x-z=0法线方程为： .01yzx3. 证明：令 0),( azyxzyF。x21,。 yzFy),(,21),(。 zxz切平面： .0)(1)()( 。 zyx即 ,。 zayxa截距和为zyx)( 。第七节 方向导数与梯度1 . 解： ,12 5214,le，.()yxyxlz 4+=+5=2.解： ,()()123,12342le.xyzyzuyxul 124cosscos 3.解： grad,22xz31,u| u
19、 | . ngrad1572312第八节 多元函数的极值1 解：令 0xyaxyf得驻点： 3,0, , ,yxf2xf yxayf22当 时，只有驻点 ,不取极值;0a0当 时，在 点， , ，无极值 ;, aBCA, 02aA在 点， , ，无极值.同理，在 点,a,220,a无极值.在 点, 取极大值 .3a,3,BCA ,09422AaAC2732.解：令,0824xyz得驻点 ,64.32684642, f在边界上，当 时， ,取最大值 16，最小值 ；0yxyz0当 时, ,取最大值 17，最小值 ;,131z当 时, ,取最大值 最小值 ;10,xyxz42,03当 时, 取最大
20、值 17，最小值 16 ;216所以在该区域上的最大值为 ，最小值为 .33.解：点 到三直线的距离的平方和为：yx, 22216, yxf,225令,0162542yxyfx解得唯一驻点 ， 故所求点为： .16,85,84解：设椭圆上的点的坐标为 ， 到原点的距离的平方为：zyx,22d距离的平方的最值点也是距离的最值点，令：1, 222 zyxzyxzyxzyF由 02zFyyx解得， x代入：12zy解出： ,23xz88 16坐标是可能的两个极值点，由题意：距离的最大值和最小值一定存在，最值一定是极值，可能取极值的点只有 个，23592312 d所以最长距离为 ，最短距离为 .59第
21、九章 综合题1.解:矩形的对角线为: 2yxuyxyxu 22当 时, 1.0,5.,86 05.)1.805.6(812u所以矩形的对角线约减少 5 厘米.2.解:因为 ,且222sin)(0yxyxlim2)0,(,yxyx所以 ,.所以函数在 点连续),(01i)(lim22)0,( fyx ,01sinlim),(),(li),( 200 xxfff xxx同理可得 ,所以函数在 点偏导数存在.,yf ,在 点,函数增量与全微分的差为:)( 222 1sin1sin)()0,(),0(, yxyxyfxff yx,所以函数在 点可微.1sinlm20),(3.(1)解: xyyxyvu
22、xvzuxz 22cosinsin.co1 yvy isi 22(2)解: 2121 fyexfyefxfz x21ffyx4.解: yxeffxz.cos.31133)(21231312 coscossin )(cs.( fxefexffef fexfyyxyx yx )ini(co 2322 fffffyxz yyxy5 证明: , 2.1.yuxsu 21.).(yuxt所以 222 )3()()( xyt 2222 )()413()41( yuxyuyuuxu 又因为 )3.21.()(222 xyxs 21.).(.)3.(222 yuyuuut 所以 222222 43441yux
23、 xyxts 6证明：因为 , yzxyzx FF所以 1.yx7证明： ， ， ，ut.x22uty2xy所以， 22xyut8 （1）解：方程两边对 x 求导，得： 132dxzy所以， ，zyxzdxy2321zyz23（2）解：方程两边对 x 求导，得：，1302xuyv所以， ，xyvuyx23293 xyvuxy2229331同理可得： ，xyvu2xyv239解：设曲线的参数方程为 ，切向量为：)(yz )2,(,1(adzT原方程两边对 y 求导，得： aydxz22解得： ， 。xadyzay切向量为： )1,20()2,10(),1()2,( aT切线方程为： 12zayx
24、法平面方程为： 02:,0)2()(2zyazy即10证明： ， ，221)()(.xcFaxbFxaxFy1. axFz12在任一点 的切平面的法向量为：,0zy 201020120),( ,)()(,(0 FaxFaxzcaxybFnzyxzyz切平面方程为： )()()()( 201020120 xzxyFxzcaxb点(a,b,c)满足平面方程，所以曲面上任一点的切平面通过点(a,b,c)。11解：令 1),(22zyzyF),(022),(0xFnzyzx12解： 的参数方程为：12bax ,sin,cotbyta4)2,(tbap对 应相应的切向量为： ),2()4s,sin(b20,),co,(),(22 abe逆时针旋转 得内法线得方向向量为：),()2cos(),cs( 22ban 所求方向导数为： ababayzbxzpp )(2)(2.)(2. )(|)(| 22222 13.解:令 )34,(0),(4,)(0,:,0)4( 舍舍解 得 驻 点xyxyz
