2016高中数学 第三章 直线与方程课件（打包8套）新人教A版必修2.zip

第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率自主预习课堂探究自主预习1.理解直线的倾斜角与斜率的概念 .2.掌握倾斜角与斜率的对应关系 .3.掌握过两点的直线的斜率公式 .课标要求知识梳理1.直线的倾斜角(1)直线 l的倾斜角的定义当直线 l与 x轴相交时 ,我们取 x轴作为基准 , 正向与直线 l 方向之间所成的角 α 叫做直线 l的倾斜角 .(2)倾斜角的范围 :当直线 l与 x轴 时 ,我们规定它的倾斜角为 0°. 因此 ,直线的倾斜角 α 的取值范围为 .x轴 向上平行或重合0°≤α0时 ,α 的范围是 ;当 k0时 ,α 的范围是 . 题后反思 (1)根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图 ,则直线向上的方向与 x轴的正方向所成的角 ,即为直线的倾斜角 .(2)直线的斜率 k随倾斜角 α 增大时的变化情况 :① 当 0°≤α90° 时 ,随 α 的增大 ,k在 [0,+∞) 范围内增大 ;② 当 90°α180° 时 ,随 α 的增大 ,k在 (-∞,0) 范围内增大 .斜率公式的应用题型二【 教师备用 】斜率公式与两点顺序有关吗 ?与 x轴或 y轴平行时 ,斜率公式适用吗 ?题后反思 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是 “ x1≠x 2”, 即直线不与 x轴垂直 ,因为当直线与 x轴垂直时 ,斜率是不存在的 ;(2)斜率公式与两点 P1,P2的先后顺序无关 ,也就是说公式中的 x1与 x2,y1与 y2可以同时交换位置 .即时训练 2-1:设 A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直线 AC的斜率等于直线 BC的斜率的 3倍 ,求实数 m的值 .【备用例 2】 求经过 A(m,3),B(1,2)两点的直线的斜率 ,并指出倾斜角 α的取值范围 .直线的斜率的应用题型三【 例 3】 已知直线 l过点 P(-1,2),且与以 A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交 ,求直线 l的斜率的取值范围 .题后 反思 探究直线过定点旋转求直线的倾斜角或斜率的范围时 ,一般按以下规律求解 .直线绕定点由与 x轴平行 (或重合 )位置按逆时针方向旋转到与 y轴平行 (或重合 )时 ,斜率由 0逐渐增大到 +∞; 按顺时针方向时 ,斜率由 0逐渐减小到 -∞. 这种方法既可定性分析倾斜角与斜率的关系 ,也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围 .【 备用例 3】 已知三点 A(0,-1),B(1,2),C(2,5).求证 :三点在同一直线上 .3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 自主预习课堂探究自主预习1.理解两条直线平行或垂直的条件 .2.会利用斜率判断两条直线平行或垂直 .课标要求知识梳理设 两条不重合的直 线 l1、 l2的斜率分 别为 k1、 k2,若 l1∥l 2,则 k1 k2;反之 ,若 k1=k2,则 l1 l2.特 别 地 ,若两条不重合的直 线 的斜率不存在 ,则这两条直 线 也平行 .1.两条直线平行的判定2.两条直线垂直的判定如果两条直 线 都有斜率 ,且它 们 互相垂直 ,那么它 们 的斜率之 积 等于 ;反之 ,如果它 们 的斜率之 积 等于 ,那么它 们 互相垂直 ,即 ⇒l1⊥l 2,l1⊥l 2⇒ .=∥-1-1 k1k2=-1k1k2=-1自我检测BC B 已知直 线 l1,l2的斜率分 别为 k1,k2,且 k1=2,l1⊥l 2,则k2= . 4.(两直线垂直关系 )答案 :2课堂探究两条直线的平行关系题型一【 教师备用 】1.两条直线平行其倾斜角什么关系 ?反之呢 ?提示 :两条直线平行其倾斜角相等 ;反之不成立 .2.有人说 :两条直线平行 ,斜率一定相等 .这种说法对吗 ?提示 :不对 ,若两直线平行 ,只有在它们都存在斜率时 ,斜率相等 ,若两直线都垂直于 x轴 ,虽然它们平行 ,但斜率都不存在 .根据下列 给 定的条件 ,判断直 线 l1与直 线 l2是否平行 .(1)l1经过 点 A(2,1),B(-3,5),l2经过 点 C(3,-3),D(8,-7);(2)l1经过 点 E(0,1),F(-2,-1),l2经过 点 G(3,4),H(2,3);(3)l1的 倾 斜角 为 60°,l 2经过 点 M(1, ),N(-2,-2);(4)l1平行于 y轴 ,l2经过 点 P(0,-2),Q(0,5).【 例 1】题后反思 判断两条不重合直线是否平行的步骤两条直线的垂直关系题型二【 教师备用 】如果两条直线垂直 ,则它们的斜率的积一定等于 -1吗 ?提示 :不一定 .若两条直线的斜率都存在 ,它们垂直时斜率之积是 -1,但若两条直线它们的斜率一个是 0,另一个不存在时 ,两条直线也互相垂直 ,但斜率的积不为 -1.【 例 2】 已知 △ ABC三个顶点坐标分别为 A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率 .题后反思 使用斜率公式解决两直线垂直问题的步骤(1)首先查看所给两点的横坐标是否相等 ,若相等 ,则直线的斜率不存在 ,若不相等 ,则将点的坐标代入斜率公式 .(2)求值 :计算斜率的值 ,进行判断 .尤其是点的坐标中含有参数时 ,应用斜率公式要对参数进行讨论 .总之 ,l1与 l2一个斜率为 0,另一个斜率不存在时 ,l1⊥l 2;l1与 l2斜率都存在时,满足 k1· k2=-1.已知直 线 l1经过 点 A(3,a),B(a-2,-3),直 线 l2经过 点 C(2,3),D(-1,a-2),如果 l1⊥l 2,则 a= . 即时训练 2-1:答案 :5或 -6直线平行与垂直关系的应用 题型三【 例 3】 已知长方形 ABCD的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点 D的坐标 .题后 反思 利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率 ,特别是含参数的问题 ,必须要分类讨论 ;其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解 .即时训练 3-1:已知平行四边形 ABCD的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点 D的坐标为 . 【 备用例 2】 已知 A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点 ,若顺次连接A,B,C,D四点 ,试判定图形 ABCD的形状 .【 备用例 3】 如图所示 ,P是正方形 ABCD的对角线 BD上一点 ,四边形 PECF是矩形 ,求证 :PA⊥EF.3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程自主预习课堂探究自主预习1.了解直线的点斜式方程的推导过程 .2.掌握直线的点斜式方程并会应用 .3.掌握直线的斜截式方程 ,了解截距的概念 .课标要求知识梳理1.直线的点斜式方程(1)定 义 :如 图 所示 ,直 线 l过 定点 P(x0,y0),斜率 为 k,则 把方程 y-y0=k(x-x0)叫做直 线 l的点斜式方程 ,简 称点斜式 .(2)说 明 :如 图 所示 ,过 定点 P(x0,y0),倾 斜角是 90° 的直 线 没有点斜式 ,其方程 为 x-x0=0,或 .x=x02.直线的斜截式方程(1)定义 :如图所示 ,直线 l的斜率为 k,且与 y轴的交点为 (0,b),则方程 叫做直线 l的斜截式方程 ,简称斜截式 .y=kx+b(2)说明 :一条直线与 y轴的交点 (0,b)的纵坐标 b叫做直线在 y轴上的 .倾斜角是 的直线没有斜截式方程 .截距直角自我检测1.(直线的点斜式方程 )直线 l的点斜式方程是 y-2=3(x+1),则直线 l的斜率是 ( )(A)2 (B)-1 (C)3 (D)-32.(直线的点斜式方程 )过点 P(-2,0),斜率为 3的直线方程是 ( )(A)y=3x-2 (B)y=3x+2 (C)y=3(x-2) (D)y=3(x+2)3.(直线的斜截式方程 )直线 y=2x-4在 y轴上的截距为 ( )(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)44.(直线的斜截式方程 )在 y轴上的截距为 2,且与直线 y=-3x-4平行的直线的斜截式方程为 . 答案 :y=-3x+2CDC若直 线 l1:y=(2a-1)x+3与直 线 l2:y=4x-3垂直,则 a= . 5.(两直线平行或垂直关系 )课堂探究直线的点斜式方程题型一【 教师备用 】使用直线的点斜式方程有什么条件 ?提示 :点斜式方程使用的前提条件是直线的斜率存在 ,因此点斜式方程不能表示与 x轴垂直的直线 ,过点 P(x1,y1),且与 x轴垂直的直线方程可写成 x=x1.【例 1】 根据下列条件写出直线的方程 .(1)经过点 A(-1,4),倾斜角为 135°;(2)经过点 B(1,-2),且与 y轴平行 ;(3)经过点 C(-1,2),且与 x轴平行 .解 : (1)因为倾斜角为 135°, 所以 k=tan 135°=-1,所以直线方程为 y-4=-(x+1),即 x+y-3=0.(2)因为直线与 y轴平行 ,所以倾斜角为 90°,所以直线的斜率不存在 ,所以直线方程为 x=1.(3)因为直线与 x轴平行 ,所以倾斜角为 0°, 所以 y=2.题后反思 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标 ,均可用直线方程的点斜式表示 ,直线方程的点斜式 ,应在直线斜率存在的条件下使用 .当直线的斜率不存在时 ,直线方程为 x=x0.即时训练 1-1:根据条件写出下列直线的点斜式方程 .(1)经过点 A(-1,4),倾斜角为 60°;(2)经过点 B(4,2),倾斜角为 90°;(3)经过原点 ,倾斜角为 60°;(4)经过点 D(-1,1),与 x轴平行 .【 思维激活 】 已知 △ ABC中 ,A(1,-4),B(2,6),C(-2,0),AD⊥BC 于 D,求直线 AD的方程 .【 备用例 1】 已知直线 l过点 A(2,1),且斜率与直线 y-1=4x-3的斜率互为负倒数 ,求直线 l的方程 .【 备用例 2】 直线 l经过点 P(-5,-4),且 l与坐标轴围成的三角形的面积为 5,试求 l的方程 .直线的斜截式方程题型二【 教师备用 】1.直线的斜截式方程与一次函数有何关系 ?提示 :当 k≠0 时 ,斜截式方程 y=kx+b是一次函数的形式 ;而一次函数 y=kx+b中 ,k是直线的斜率 ,常数 b是直线在 y轴上的截距 ,一次函数表示直线 ,但是有些直线的方程不一定能写成一次函数的形式 .2.截距与距离有何区别 ?提示 :截距与距离是两个不同的概念 ,截距 b可以大于等于或小于 0,而距离只能是非负的实数 .题后反思 直线的斜截式方程的求解策略(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在 y轴上的截距 ,代入方程即可 .(2)当斜率和截距未知时 ,可结合已知条件 ,先求出斜率和截距 ,再写出直线的斜截式方程 .(1)倾斜角为 30°, 在 y轴上的截距是 -3的直线的斜截式方程为 ; (2)直线 l1与直线 l2:y=3x+1平行 ,又直线 l1过点 (3,5),则直线 l1的方程为 . 即时训练 2-1:平行与垂直的应用 题型三【 例 3】 当 a为何值时 ,(1)两直线 y=ax-2与 y=(a+2)x+1互相垂直 ?(2)两直线 y=-x+4a与 y=(a2-2)x+4互相平行 ?题后 反思 设直线 l1和 l2的斜率 k1,k2都存在 ,其方程分别为 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,那么 ① l1∥l 2⇔k1=k2且 b1≠b 2;②k 1=k2且 b1=b2⇔两条直线重合 ;③l 1⊥l 2⇔k1· k2=-1.即时训练 3-1:已知直线 l过点 A(2,-3).(1)若 l与直线 y=-2x+5平行 ,求其方程 ;(2)若 l与直线 y=-2x+5垂直 ,求其方程 .3.2.2 直线的两点式方程自主预习课堂探究自主预习1.了解直线方程的两点式的推导过程 .2.会利用两点式求直线的方程 .3.掌握直线方程的截距式 ,并会应用 .课标要求知识梳理(2)说明 :与坐标轴垂直的直线没有两点式方程 .(2)说明 :一条直线与 x轴的交点 (a,0)的横坐标 a叫做直线在 x轴上的截距 .与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式 .自我检测B A B 4.(中点坐标公式 )若已知 A(1,2)及 AB中点 (2,3),则 B点的坐标是 . 答案 :(3,4)5.(直线两点式方程 )经过点 A(3,2),B(4,3)的直线方程是 . 答案 :x-y-1=0课堂探究直线的两点式方程题型一【 教师备用 】1.直线的两点式方程运用条件是什么 ?提示 :当直线斜率不存在 (x1=x2)或斜率为零 (y1=y2)时 ,不能用两点式表示 .提示 :前者不能表示垂直于坐标轴的直线 ,后者适用于过任意已知两点的直线 .【例 1】 已知 △ ABC三个顶点坐标 A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求三角形三条边所在的直线方程 .题后反思 求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标 ,求过这两点的直线方程时 ,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件 :两点的连线不垂直于坐标轴 ,若满足 ,则考虑用两点式求方程 .(2)由于减法的顺序性 ,一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误 .在记忆和使用两点式方程时 ,必须注意坐标的对应关系 .即时训练 1-1:三角形的三个顶点是 A(-1,0),B(3,-1),C(1,3),求三角形三边所在直线的方程 .直线的截距式方程题型二【 教师备用 】1.直线的截距式方程适用的条件是什么 ?提示 :截距存在且不为零 ,过原点的直线 ,与坐标轴垂直的直线都不能用截距式方程表示 .提示 :都不是 .截距式方程的特点有两个 ,一是中间必须用 “ +” 号连接 ,二是等号右边为 1.题后反思 利用截距式求直线方程的策略(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交 ,则可考虑选用截距式求直线方程,用待定系数法确定其系数即可 ;(2)选用截距式求直线方程时 ,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直 .如果题中出现直线在两坐标轴上的 “ 截距相等 ”“ 截距互为相反数 ” 等条件时 ,采用截距式求直线方程 ,要注意考虑 “ 零截距 ”的情况 .即时训练 2-1:已知直线 l与 x轴、 y轴分别交于 A,B两点且线段 AB的中点为 P(4,1),求直线 l的方程 .【思维激活】 (2015日照一中月考 )过 A(1,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条 . 解析 :一条是截距为 0,一条是截距相等 (不为 0),一条是截距互为相反数(不为 0)共三条 .答案 :3【备用例 1】 (2015青岛一中联考 )已知直线 l在 x轴上的截距比在 y轴上的截距大 1,且过定点 (6,-2),求直线 l的方程 .【备用例 2】 求过点 A(4,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线 l的方程 .直线方程的应用题型三题后 反思即时训练 3-1:一条直线经过点 A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1,则此直线的方程为 . 答案 :2x+y+2=0或 x+2y-2=03.2.3 直线的一般式方程 自主预习课堂探究自主预习1.了解二元一次方程与直线的对应关系 .2.掌握直线方程的一般式 .3.能根据所给条件求直线方程 ,并能在几种形式间相互转化 .课标要求知识梳理直线的一般式方程(1)定义 :关于 x,y的二元一次方程 (其中 A,B不同时为 0)叫做直线的一般式方程 ,简称一般式 .(2)适用范围 :平面直角坐标系中 ,任何一条直线都可用一般式表示 .Ax+By+C=0(4)二元一次方程与直线的关系 :二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标 .这个方程的全体解组成的集合 ,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合 ,这些点的集合就组成了一条直线 .二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的 .自我检测A B B 4.(一般式的应用 )直线 x+y+1=0在 y轴上的截距为 . 答案 :-15.(求直线的一般式方程 )过点 P(1,2),且斜率与直线 y=-2x+3的斜率相等的直线方程为 . 答案 :2x+y-4=0课堂探究求直线的一般式方程题型一【 教师备用 】直线的一般式方程的理解1.当 A=0或 B=0或 C=0时 ,方程 Ax+By+C=0分别表示什么样的直线 ?2.在什么条件下 ,一般式方程可以转化为斜截式、点斜式或截距式方程 ?题后反思 根据已知条件求直线方程的策略 :在求直线方程时 ,设一般式方程并不简单 ,常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程 ,一般选用规律为 :(1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时 ,选用点斜式 ;(2)已知直线的斜率和在 y轴上的截距时 ,选用斜截式 ;(3)已知直线上两点坐标时 ,选用两点式 .(4)已知直线在 x轴 ,y轴上的截距时 ,选用截距式 .利用直线一般式方程解决平行、垂直问题题型二(1)已知直 线 l1:2x+(m+1)y+4=0与直 线 l2:mx+3y-2=0平行 ,求 m的 值 .(2)当 a为 何 值时 ,直 线 l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直 线 l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直 ?【 例 2】题后反思 所给直线方程是一般式 ,且直线斜率可能不存在时 ,利用l1⊥l 2⇔A1A2+B1B2=0和 l1∥l 2⇔A1B2-A2B1=0且 A1C2-A2C1≠0( 或 B1C2-B2C1≠0) 来判定两条直线是否垂直或平行 ,避免了讨论斜率是否存在的情况 ,比用斜率来判定更简便 .已知两直 线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当 m为 何 值时,直 线 l1∥l 2?l1⊥l 2?即时训练 2-1:【备用例 1】 已知直线 l的方程为 3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线 l′的方程 :(1)过点 (-1,3),且与 l平行 ;(2)过点 (-1,3),且与 l垂直 .解 : (1)由 l′ 与 l平行 ,可设 l′ 的方程为 3x+4y+m=0.将点 (-1,3)代入上式得 m=-9.所以所求直线的方程为 3x+4y-9=0.(2)由 l′ 与 l垂直 ,可设 l′ 的方程为 4x-3y+n=0.将 (-1,3)代入上式得 n=13.所以所求直线的方程为 4x-3y+13=0.直线的一般式方程的应用题型三【 例 3】 设直线 l的方程为 (a+1)x+y+2-a=0(a∈ R).(1)若 l在两坐标轴上的截距互为相反数 ,求 l的方程 ;(2)若 l不经过第二象限 ,求实数 a的取值范围 .题后 反思 (1)已知直线的方程可确定其斜率、截距 ,从而可解决与斜率、截距有关的问题 .(2)已知直线的大致位置 ,可确定斜率、截距的范围 (或符号 ),从而可建立不等式求解参数的范围 ,反之若已知斜率、截距的范围 (或符号 )也可确定直线的大致位置 .即时训练 3-1:求平行于直线 2x-y+3=0,且与两坐标轴围成的直角三角形面积为 9的直线方程 .【备用例 2】 已知直线 l:5ax-5y-a+3=0.(1)求证 :不论 a为何值 ,直线 l总经过第一象限 ;(2)为使直线不经过第二象限 ,求 a的取值范围 .3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离自主预习课堂探究自主预习1.了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系 .2.会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标 .3.掌握两点间距离公式并能灵活应用 .课标要求知识梳理自我检测C 2.(由斜率确定两直线位置关系 )与直线 2x-y-3=0相交的直线的方程是 ( )(A)4x-2y-6=0 (B)y=2x(C)y=2x+5 (D)y=-2x+33.(两点间的距离 )已知点 P(3,2),Q(-1,2),则 P、 Q两点之间的距离为 ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4DD4.(两直线的交点 )直线 y=x+2与直线 y=-x+2a的交点在 x轴上 ,则 a= . 答案 : -1答案 : -2或 6课堂探究两条直线的交点问题 题型一【 教师备用 】两直线相交的条件1.同一平面直角坐标系中两条直线的位置关系有几种情况 ?提示 :有三种 :平行、相交、重合 .2.已知直 线 l1,l2的方程分 别 是 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断两条直 线 的位置关系 ?题后反思 (1)解本题有两种方法 :一是采用常规方法 ,先通过解方程组求出两直线交点 ,再根据平行关系求出斜率 ,由点斜式写出直线方程 ;二是设出过两直线交点的方程 ,再根据平行条件待定系数求解 .(2)过两条相交直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可设为 A1x+B1y+C1+λ(A 2x+B2y+C2)=0(不含直线 l2).即时训练 1-1:求过两直线 x-2y+4=0和 x+y-2=0的交点 ,且分别满足下列条件的直线 l的方程(1)直线 l与直线 3x-4y+1=0平行 ;(2)直线 l与直线 5x+3y-6=0垂直 .【 备用例 1】 求证 :不论 m为何实数 ,直线 (m-1)x+(2m-1)y=m-5都过某一定点 .两点间距离公式的应用 题型二【 例 2】 已知 △ ABC的三个顶点坐标是 A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).(1)判断 △ ABC的形状 .(2)求 △ ABC的面积 .题后反思 (1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时 ,设出所求点的坐标 ,利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解 .(2)利用两点间距离公式可以判定三角形的形状 .从三边长入手 ,如果边长相等则可能是等腰或等边三角形 ,如果满足勾股定理则是直角三角形 .【备用例 2】 △ABC 中 ,D是 BC边上的一点 (D与 B,C不重合 ),且 |AB|2=|AD|2+|BD||DC|.求证 :△ABC 为等腰三角形 .证明 :作 AO⊥BC, 垂足为 O,以 BC所在的直线为 x轴 ,OA所在的直线为 y轴 ,建立如图所示的平面直角坐标系 .设 A(0,h),B(b,0),C(c,0),D(d,0).已知 |AB|2=|AD|2+|BD||DC|,则由两点间距离公式得b2+h2=d2+h2+(d-b)(c-d),化简 ,得 -(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).因为点 D与点 B,C不重合 ,所以 d-b≠0,故 -b-d=c-d,即 -b=c.所以 |OB|=|OC|,于是 |AB|=|AC|,即 △ ABC为等腰三角形 .对称问题题型三【 例 3】 光线通过点 A(2,3),在直线 l:x+y+1=0上反射 ,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程 .题后 反思 (1)光线的反射问题、角的平分线问题以及在某定直线取点 ,使它与两定点距离之和最小问题均属于点关于直线对称问题 .解决这类问题的方法是设对称点坐标 ,由 “ 垂直 ” 和 “ 平分 ” 列方程解得 .(3)求直线关于 l对称的直线方程 ,可转化为求直线上的点关于 l的对称点的问题解决 .即时训练 3-1:(2015蚌埠一中月考 )若点 A(1,3)关于直线 y=kx+b的对称点 B(-2,1),则 k+b= . 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离 自主预习课堂探究自主预习1.掌握点到直线的距离公式 .2.能用公式求点到直线的距离 .3.会求两条平行直线间的距离 .课标要求知识梳理自我检测D B B 4.(两平行线间的距离 )直线 y=2x与直线 y=2x+5间的距离是 . 答案 :3或 -1课堂探究点到直线的距离题型一【 教师备用 】1.点到直线的距离公式中的直线方程一定为一般式吗 ?提示 :公式中直线方程必须为一般式 ,如果不是 ,必须先将方程化为一般式方程 ,再利用公式求距离 .2.点到直线的距离公式对于 A=0,B≠0 或 A≠0,B=0 或 P点在直线 l上的情况是否适用 ?提示 :适用 .(2)因为直线 y=6与 y轴垂直 ,所以点 P到它的距离 d=|-2-6|=8.(3)因为直线 x=4与 x轴垂直 ,所以点 P到它的距离 d=|3-4|=1.题后反思 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式 ,若给出其他形式应化为一般式 .(2)点 P在直线 l上时 ,点到直线的距离为 0,公式仍然适用 .(3)直线方程 Ax+By+C=0中 ,A=0或 B=0公式也成立 ,但由于直线是特殊直线 (与坐标轴垂直 ),故也可用数形结合求解 .即时训练 1-1:(2015江西广昌一中月考 )已知点 A(3,4),B(6,m)到直线 3x+4y-7=0的距离相等 ,则实数 m= . 两条平行直线间的距离题型二答案 : (1)D (2)x-y-1=0或 x-y+3=0题后反思 求两平行线间距离一般有两种方法 :(1)转化法 :将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离 .由于这种求法与点的选择无关 ,因此 ,选点时 ,常选取一个特殊点 ,如直线与坐标轴的交点等 ,以便于运算 .距离公式的综合应用 题型三【 例 3】 求经过点 P(1,2),且使 A(2,3),B(0,-5)到它的距离相等的直线 l的方程 .题后 反思 解这类题目常用的方法是待定系数法 ,即根据题意设出方程 ,然后由题意列方程求参数 .也可以应用平面几何的有关知识 ,判断直线 l的特征 ,然后由已知条件写出 l的方程 .即时训练 3-1:(2015宝鸡园丁中学 )直线 l经过点 P(2,-5),且到点 A(3,-2)和 B(-1,6)的距离之比为 1∶2, 求直线 l的方程 .【 备用例 3】 在 △ ABC中 ,A(1,0),B(0,-2),点 C在抛物线 y=x2上 ,求 △ ABC面积的最小值 .章末总结 网络建构主题串讲网络建构网络点拨1.一种关系 :直线的倾斜角与斜率的关系 .2.五种直线方程 :点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式 .3.两种直线位置关系 :平行与垂直 .4.三种距离 :两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离 .5.两种求直线方程方法 :直接法、待定系数法 .主题串讲一、直线的斜率与倾斜角【 典例 1】 (2015珠海希望之星月考 )已知直线 l过原点 ,点 M,N坐标分别为(3,1),(1,3),则当 l与线段 MN相交时 l的斜率的取值范围是 . 规律方法 直线倾斜角和斜率及其关系关注点 :(1)倾斜角 α 的范围是 0°≤α180°.(2)倾斜角 α 与斜率 k的对应关系 .①α≠90° 时 ,k=tan α;②α=90° 时 ,k不存在 .(3)倾斜角与斜率的单调性问题 .当直线 l的倾斜角为 α∈[0°,90°) 时 ,直线 l的斜率将随着角度的增大而增大 ;当直线 l的倾斜角 α∈(90°,180°) 时 ,直线 l的斜率将随着角度的增大而减小 .规律方法 巧设直线方程解决问题求直线方程时 ,要根据题目条件灵活选择直线方程的形式 ,并注意其适用范围 :点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线 ,两点式不能表示与坐标轴垂直的直线 ,截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线 ,一般式虽然可以表示任何直线 ,但要注意 A,B不同时为零 ,必要时要对特殊情况进行讨论 .若不做特殊说明 ,求出的直线方程一般化为一般式 .即时训练 2-1:直线 l过点 (1,2)和第一、二、四象限 ,若直线 l在 x轴上的截距与在 y轴上的截距之和为 6,求直线 l的方程 .规律方法 两直线平行与垂直的判定 :(1)两条直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2斜率都存在 ,l1∥l 2⇔k1=k2且b1≠b 2;l1⊥l 2⇔k1· k2=-1,斜率不存在时单独考虑 ,即 k1,k2中有一个为零 ,另一个不存在 ,则两条直线垂直 ,若 k1,k2均不存在 ,则两直线平行 .(2)当两条直线给出一般式时 ,平行与垂直关系利用系数关系解决 .即 l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0.l1∥l 2⇔A1B2-A2B1=0,且 B1C2-B2C1≠0;l 1⊥l 2⇔A1A2+B1B2=0.答案 : -2四、距离问题【 典例 4】 已知点 A(0,2),B(2,0).若点 C在函数 y=x2的图象上 ,则使得 △ ABC的面积为 2的点 C的个数为 ( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1规律方法 点到直线的距离的求解策略 :(1)求点到直线的距离时 ,只需把直线方程化为一般式方程 ,直接应用点到直线的距离公式求解即可 .(2)若已知点到直线的距离求参数时 ,只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可 .