1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(十九)数学归纳法(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1.(2015吉林高二检测)用数学归纳法证明“2 nn2+1 对于 nn 0的自然数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取( )A.2 B.3 C.5 D.6【解析】选 C.当 n 取 1，2，3，4 时 2nn2+1 不成立，当 n=5 时，25=3252+1=26，所以第一个能使 2nn2+1 成立的 n 值为 5.2.凸 n 边形有 f(n)条对角线，则
2、凸(n+1)边形的对角线的条数 f(n+1)为( )A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2【解析】选 C.方法一：验证，f(4)=2，f(5)=5.即 f(5)=f(4)+3.所以 f(n+1)=f(n)+n-1.方法二：凸(n+1)边形比凸 n 边形多出一个顶点，就多出 n-1 条对角线，故 f(n+1)=f(n)+n-1.3.(2015烟台高二检测)用数学归纳法证明 1+2+3+n2= ，则当 n=k+1时左端应在 n=k 的基础上加上( )A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2【解析】选 D.当 n=k 时，
3、左端=1+2+3+k 2，当 n=k+1 时，左端=1+2+3+k 2+(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2，故当 n=k+1 时，左端应在 n=k 的基础上加上(k 2+1)+(k2+2)+(k+1)2.【误区警示】本题易错在不能理清由 k 到 k+1 时首尾项数变化规律.4.用数学归纳法证明等式 1+2+3+(n+3)= (nN *)，验证 n=1时，左边应取的项是( )A.1 B.1+2C.1+2+3 D.1+2+3+4【解析】选 D.等式左边的数是从 1 加到 n+3.当 n=1 时，n+3=4，故此时左边的数为从 1 加到 4.5.(2015合肥高二检测)某个与正整数有关的命题：
4、如果当 n=k(kN *)时命题成立，则可以推出当 n=k+1 时该命题也成立.现已知 n=5 时命题不成立，那么可以推得( )A.当 n=4 时命题不成立B.当 n=6 时命题不成立C.当 n=4 时命题成立来源:gkstk.ComD.当 n=6 时命题成立来源:学优高考网 gkstk【解析】选 A.因为当 n=k(kN *)时命题成立，则可以推出当 n=k+1 时该命题也成立，所以假设当 n=4 时命题成立，那么 n=5 时命题也成立，这与已知矛盾，所以当 n=4 时命题不成立.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6.数列a n中，已知 a1=2，a n+1= (nN *)，依次计算
5、出 a2，a 3，a 4后，归纳、猜测得出 an的表达式为 .【解析】a 1=2，a 2= ，a 3= ，a 4= ，猜测 an= .答案：a n=7.(2015长春高二检测)已知 f(n)=1+ + + (nN *)，证明不等式 f(2n)时，f(2 k+1)比 f(2k)多的项数是 项.【解析】f(2 k)=1+ + + ，f(2 k+1)=1+ + + + + +因此，f(2 k+1)比 f(2k)多了 2k项.答案：2 k8.(2015邯郸高二检测)用数学归纳法证明 + + - .假设n=k 时，不等式成立，则当 n=k+1 时，应推证的目标不等式是 .【解析】观察不等式中各项的分母变
6、化知，n=k+1 时， + + + + - .答案： + + + + -三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9.(2015青岛高二检测)请观察以下三个式子：13= ；13+24= ；13+24+35= ，归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之.【解题指南】观察所给等式，注意等式的左边与右边的特征，得到猜想，然后利用数学归纳法的证明标准，验证 n=1 时成立，假设 n=k 时成立，证明 n=k+1时等式也成立即可.【解析】由于所给的等式的左边，是两两自然数的积再求和的形式，右边是一个分式，分母是 6，分子是三个自然数的积，注意自然数与序号之间的关系，所以，猜想：13+24+35+n(n+
7、2)=证明：(1)当 n=1 时，左边=3，右边=3，等式成立.(2)假设当 n=k(k1，kN *)时，等式成立，即 13+24+35+k(k+2)=那么，当 n=k+1 时，13+24+35+k(k+2)+(k+1)(k+3)= +(k+1)(k+3)= (2k2+7k+6k+18)= (2k2+13k+18)=就是说，当 n=k+1 时等式也成立.综上所述，对任何 nN *都成立.【拓展延伸】数学归纳法的主要应用利用数学归纳法证明的命题范围比较广泛，可以涵盖代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题等，所涉及的题型主要有以下几个方面：(1)已知数列的递推公式，求通项或前 n 项
8、和.(2)由一些恒等式、不等式改编的探究性问题，求使命题成立的参数的值或范围.(3)猜想并证明对正整数 n 都成立的一般性命题.10.(2015南京高二检测)已知数列a n满足 Sn+an=2n+1.(1)写出 a1，a 2，a 3，并推测 an的表达式.(2)用数学归纳法证明所得的结论.【解题指南】(1)利用 Sn=a1+a2+an，且 Sn+an=2n+1，代入 n=1，2，3，得a1，a 2，a 3，从而猜想 an.(2)应用数学归纳法证明时，要利用 n=k 的假设去推证 n=k+1 时成立.【解析】(1)将 n=1，2，3 分别代入可得 a1= ，a 2= ，a 3= ，猜想 an=2
9、- .(2)由(1)得 n=1 时，命题成立；假设 n=k 时，命题成立，即 ak=2- ，那么当 n=k+1 时，a 1+a2+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1，且 a1+a2+ak=2k+1-ak，所以 2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3，所以 2ak+1=2+2- ，a k+1=2- ，即当 n=k+1 时，命题也成立.根据得，对一切 nN *，a n=2- 都成立.来源:gkstk.Com【延伸探究】若本题中，a 1=- ，a n=Sn+ +2(n2).试计算 S1，S 2，S 3，S 4的值.猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法证明.【解析】当 n2 时，
10、a n=Sn-Sn-1=Sn+ +2.所以 Sn=- (n2).则有：S 1=a1=- ，S2=- =- ，S3=- =- ，S4=- =- ，由此猜想：S n=- (nN *).用数学归纳法证明：来源:gkstk.Com当 n=1 时，S 1=- =a1，猜想成立.假设 n=k(kN *)猜想成立，即 Sk=- 成立，那么 n=k+1 时，S k+1=- =-=- =- .即 n=k+1 时猜想成立.由可知，对任意自然数 n，猜想结论均成立.【拓展延伸】数学归纳法与归纳猜想的综合应用“归纳猜想证明”是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，此种方法在解探索性问题、存在性问题时起着重要的作
11、用，特别是在数列中求an，S n时更是应用频繁.来源:学优高考网(20 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1.设 f(n)=1+ + + (nN *)，那么 f(n+1)-f(n)等于( )A. B. +C. + D. + +【解析】选 D.因为 f(n)=1+ + + ，因为 f(n+1)=1+ + + + + + ，所以 f(n+1)-f(n)= + .【补偿训练】用数学归纳法证明不等式 + + 的过程中，由 n=k 推导 n=k+1 时，不等式的左边增加的式子是 .【解析】不等式的左边增加的式子是 + -= ，故填 .答案：2.(2015安康高二检测)用数学归纳法
12、证明“5 n-2n能被 3 整除”的第二步中，n=k+1 时，为了使用假设，应将 5k+1-2k+1变形为( )A.(5k-2k)+45k-2kB.5(5k-2k)+32kC.(5-2)(5k-2k)D.2(5k-2k)-35k【解析】选 B.5k+1-2k+1=5k5-2k2=5k5-2k5+2k5-2k2=5(5k-2k)+32k.二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3.用数学归纳法证明 34n+1+52n+1(nN *)能被 8 整除时，当 n=k+1 时，3 4(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为 .【解题指南】先构造出 n=k 时的整体形式是变形的关键.【解析】3 4(k
13、+1)+1+52(k+1)+1=8134k+1+2552k+1=5634k+1+25(34k+1+52k+1).答案：563 4k+1+25(34k+1+52k+1)4.用数学归纳法证明：+ + = ；当推证当 n=k+1 等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 .【解析】当 n=k+1 时，+ + += +故只需证明 += 即可.答案： + =三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)5.(2015南宁高二检测)用数学归纳法证明下面的等式12-22+32-42+(-1)n-1n2=(-1)n-1 .【证明】(1)当 n=1 时，左边=1 2=1，右边=(-1) 0 =1，所以原等式成
14、立.(2)假设 n=k(kN *，k1)时，等式成立，即有 12-22+32-42+(-1)k-1k2=(-1)k-1 .那么，当 n=k+1 时，则有12-22+32-42+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1 +(-1)k(k+1)2=(-1)k -k+2(k+1)=(-1)k ，所以 n=k+1 时，等式也成立，由(1)(2)得对任意 nN *有12-22+32-42+(-1)n-1n2=(-1)n-1 .6.(2015济南高二检测)已知当 nN *时，S n=1- + - + - ，T n=+ + + .(1)求 S1，S 2，及 T1，T 2.(2)猜想 Sn与 Tn的大小关系，并用数学归纳法证明.【解析】(1)S 1=1- = ，S 2=1- + - = ，T1= = ，T 2= + = .(2)猜想：S n=Tn(nN *)即：1- + - + - = + + + (nN *)下面用数学归纳法证明n=1 时，已证 S1=T1；假设 n=k 时，S k=Tk(k1，kN *)，即：1- + - + - = + + + .则 Sk+1=Sk+ - =Tk+ -= + + + + -
