（新课标）2017版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量与复数题组 文（打包4套）.zip

- 1 -题组层级快练(二十四)1．对于非零向量 a，b， “a＋b＝0”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案 A解析 若 a＋b＝0，则 a＝－b，所以 a∥b；若 a∥b，则 a＝λb，a＋b＝0 不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．2．设 a 是任一向量，e 是单位向量，且 a∥e，则下列表示形式中正确的是( )A．e＝ B．a＝|a|ea|a|C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e答案 D解析 对于 A，当 a＝0 时， 没有意义，错误；a|a|对于 B，C，D 当 a＝0 时，选项 B，C，D 都对；当 a≠0 时，由 a∥e 可知，a 与 e 同向或反向，选 D.3．(2014·新课标全国Ⅰ文)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则＋ ＝( )EB→ FC→ A. B.AD→ 12AD→ C. D.BC→ 12BC→ 答案 A解析 ＋ ＝ ( ＋ )＋ ( ＋ )＝ ( ＋ )＝ ，故选 A.EB→ FC→ 12AB→ CB→ 12AC→ BC→ 12AB→ AC→ AD→ 4．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是( )A. ＝ B. ＋ ＝AB→ DC→ AD→ AB→ AC→ C. － ＝ D. ＋ ＝0AB→ AD→ BD→ AD→ CB→ 答案 C解析 由 － ＝ ＝－ ，故 C 错误．AB→ AD→ DB→ BD→ 5．若 a，b，a＋b 为非零向量，且 a＋b 平分 a 与 b 的夹角，则( )- 2 -A．a＝b B．a＝－bC．|a|＝|b| D．以上都不对答案 C6．(2016·武汉调研测试)如图所示的方格纸中有定点 O，P，Q，E，F，G，H，则 ＋ ＝( OP→ OQ→ )A. B.OH→ OG→ C. D.EO→ FO→ 答案 D解析 在方格纸上作出 ＋ ，如图所示，则容易看出 ＋ ＝ ，故选 D.OP→ OQ→ OP→ OQ→ FO→ 7．(2014·福建文)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则 ＋ ＋ ＋ 等于( )OA→ OB→ OC→ OD→ A. B．2OM→ OM→ C．3 D．4OM→ OM→ 答案 D解析 利用平面向量的平行四边形法则进行加法运算．因为点 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，所以点 M 是 AC 和 BD 的中点．由平行四边形法则知 ＋ ＝2 ， ＋ ＝2 ，故 ＋ ＋ ＋ ＝4 .OA→ OC→ OM→ OB→ OD→ OM→ OA→ OC→ OB→ OD→ OM→ 8．在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB.若 ＝a， ＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CB→ CA→ ＝( )CD→ - 3 -A. a＋ b B. a＋ b13 23 23 13C. a＋ b D. a＋ b35 45 45 35答案 B解析 由内角平分线定理，得 ＝ ＝2.∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝|CA||CB| |AD||DB| CD→ CA→ AD→ CA→ 23AB→ CA→ 23CB→ CA→ 23＋ ＝ a＋ b.CB→ 13CA→ 23 13故 B 正确．9．已知向量 i 与 j 不共线，且 ＝i＋mj， ＝ni＋j，若 A，B，D 三点共线，则实数 m，nAB→ AD→ 应该满足的条件是( )A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1C．mn＝1 D．mn＝－1答案 C解析 由 A，B，D 共线可设 ＝λ ，于是有 i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又 i，j 不共AB→ AD→ 线，因此 即有 mn＝ 1.{λ n＝ 1，λ ＝ m， )10．O 是平面上一定点，A，B，C 是该平面上不共线的三个点，一动点 P 满足： ＝ ＋λ(OP→ OA→ ＋ )，λ∈(0，＋∞)，则直线 AP 一定通过△ABC 的( )AB→ AC→ A．外心 B．内心C．重心 D．垂心答案 C解析 取 BC 中点 D.＝ ＋λ( ＋ )，OP→ OA→ AB→ AC→ － ＝λ( ＋ )，OP→ OA→ AB→ AC→ - 4 -＝2λ .AP→ AD→ ∴A，P，D 三点共线，∴AP 一定通过△ABC 的重心，C 正确．11．在四边形 ABCD 中， ＝a＋2b， ＝－4a－b， ＝－5a－3b，则四边形 ABCD 的形状是AB→ BC→ CD→ ( )A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．以上都不对答案 C解析 由已知 ＝ ＋ ＋ ＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2 .AD→ AB→ BC→ CD→ BC→ ∴ ∥ .又 与 不平行，∴四边形 ABCD 是梯形．AD→ BC→ AB→ CD→ 12．已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A，C)的充要条件是 ＝λ(AP→ ＋ )，则 λ 的取值范围是( )AB→ AD→ A．λ∈(0，1) B．λ∈(－1，0)C．λ∈(0， ) D．λ∈(－ ，0)22 22答案 A解析 如图所示，∵点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A，C)，∴ ＝λ ＝λ( ＋ )．由 与 同向知，λ0.又| || |，AP→ AC→ AB→ AD→ AP→ AC→ AP→ AC→ ∴ ＝λ1，∴λ∈(0，1)．反之亦然．|AP→ ||AC→ |13．如图所示，下列结论不正确的是________．① ＝ a＋ b； ② ＝－ a－ b；PQ→ 32 32 PT→ 32 32③ ＝ a－ b； ④ ＝ a＋b.PS→ 32 12 PR→ 32答案 ②④- 5 -解析 由 a＋b＝ ，知 ＝ a＋ b，①正确；由 ＝ a－ b，从而②错误； ＝ ＋b，故23PQ→ PQ→ 32 32 PT→ 32 32 PS→ PT→ ＝ a－ b，③正确； ＝ ＋2b＝ a＋ b，④错误．故正确的为①③.PS→ 32 12 PR→ PT→ 32 1214.如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点 C 在 AB 上，OC⊥AB，用 和 来表示向量OA→ OB→ ，则 等于________．OC→ OC→ 答案 ＋34OA→ 14OB→ 解析 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝ ＋ .OC→ OA→ AC→ OA→ 14AB→ OA→ 14OB→ OA→ 34OA→ 14OB→ 15．设 a 和 b 是两个不共线的向量，若 ＝2a＋kb， ＝a＋b， ＝2a－b，且 A，B，D 三AB→ CB→ CD→ 点共线，则实数 k 的值等于________．答案 －4解析 ∵A，B，D 三点共线，∴ ∥ .∵ ＝2a＋kb， ＝ ＋ ＝a－2b，∴k＝－4.故填AB→ BD→ AB→ BD→ BC→ CD→ －4.16．已知 O 为△ABC 内一点，且 ＋ ＋2 ＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________．OA→ OC→ OB→ 答案 1∶2解析 如图所示，取 AC 中点 D.∴ ＋ ＝2 .OA→ OC→ OD→ ∴ ＝ .OD→ BO→ ∴O 为 BD 中点，∴面积比为高之比．17．如图所示，已知点 G 是△ABO 的重心．- 6 -(1)求 ＋ ＋ ；GA→ GB→ GO→ (2)若 PQ 过△ABO 的重心 G，且 ＝a， ＝b， ＝ma， ＝nb，求证： ＋ ＝3.OA→ OB→ OP→ OQ→ 1m 1n答案 (1) ＋ ＋ ＝0 (2)略GA→ GB→ GO→ 解析 (1)如图所示，延长 OG 交 AB 于 M 点，则 M 是 AB 的中点．∴ ＋ ＝2 .GA→ GB→ GM→ ∵G 是△ABO 的重心，∴ ＝－2 .GO→ GM→ ∴ ＋ ＋ ＝0.GA→ GB→ GO→ (2)∵M 是 AB 边的中点，∴ ＝ ( ＋ )＝ (a＋b)．OM→ 12OA→ OB→ 12又∵G 是△ABO 的重心，∴ ＝ ＝ (a＋b)．OG→ 23OM→ 13∴ ＝ － ＝ (a＋b)－ma＝( －m)a＋ b.PG→ OG→ OP→ 13 13 13而 ＝ － ＝nb－ma，PQ→ OQ→ OP→ ∵P，G，Q 三点共线，∴有且只有一个实数 λ，使得 ＝λ .PG→ PQ→ ∴( －m)a＋ b＝λnb－λma.13 13∴( －m＋λm)a＋( －λn)b＝0.13 13∵a 与 b 不共线，∴ 消去 λ，得 ＋ ＝3.{13－ m＋ λ m＝ 0，13－ λ n＝ 0. ) 1m 1n- 7 -1．(2016·安徽合肥一模)在梯形 ABCD 中，已知 AB∥CD，AB＝2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点．若 ＝λ ＋μ ，则 λ＋μ＝________．AB→ AM→ AN→ 答案 45解析 连接 MN 并延长交 AB 的延长线于 T，由已知易得 AB＝ AT，45∴ ＝ ＝λ ＋μ ，45AT→ AB→ AM→ AN→ ∵T，M，N 三点共线，∴λ＋μ＝ .452．(2015·新课标全国Ⅱ理)设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数λ＝________．答案 12解析 由于 λa＋b 与 a＋2b 平行，所以存在 μ∈R，使得 λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，因为向量 a，b 不平行，所以 λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得 λ＝μ＝ .12- 1 -题组层级快练(二十五)1．已知 M(3，－2)，N(－5，－1)，且 ＝ ，则 P 点的坐标为( )MP→ 12MN→ A．(－8，1) B．(－1，－ )32C．(1， ) D．(8，－1)32答案 B解析 设 P(x，y)，则 ＝(x－3，y＋2)．MP→ 而 ＝ (－8，1)＝(－4， )，∴ 解得12MN→ 12 12 {x－ 3＝ － 4，y＋ 2＝ 12. ) {x＝ － 1，y＝ － 32.)∴P(－1，－ )．故选 B.322．已知点 A(－1，1)，B(2，y)，向量 a＝(1，2)，若 ∥a，则实数 y 的值为( )AB→ A．5 B．6C．7 D．8答案 C解析 ＝(3，y－1)，a＝(1，2)， ∥a，则 2×3＝1×(y－1)，解得 y＝7，故选 C.AB→ AB→ 3．与直线 3x＋4y＋5＝0 的方向向量共线的一个单位向量是( )A．(3，4) B．(4，－3)C．( ， ) D．( ，－ )35 45 45 35答案 D4．(2015·福建)设 a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若 b⊥c，则实数 k 的值等于( )A．－ B．－32 53C. D.53 32答案 A解析 因为 c＝(1＋k，2＋k)，b·c＝0，所以 1＋k＋2＋k＝0，解得 k＝－ ，故选 A.325．在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，DE 交 AF 于 H，记 ， 分别为AB→ BC→ a，b，则 ＝( )AH→ - 2 -A. a－ b B. a＋ b25 45 25 45C．－ a＋ b D．－ a－ b25 45 25 45答案 B解析 设 ＝λ ， ＝μ .AH→ AF→ DH→ DE→ 而 ＝ ＋ ＝－b＋λ ＝－b＋λ(b＋ a)，DH→ DA→ AH→ AF→ 12＝μ ＝μ(a－ b)．DH→ DE→ 12因此，μ(a－ b)＝－b＋λ(b＋ a)．12 12由于 a，b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得解之得 λ ＝ ，μ＝ .{μ ＝ 12λ ，－ 12μ ＝ － 1＋ λ .) 45 25故 ＝λ ＝λ(b＋ a)＝ a＋ b.故选 B.AH→ AF→ 12 25 456．(2016·湖北襄樊一模)已知 ＝(1，－3)， ＝(2，－1)， ＝(k＋1，k－2)，若OA→ OB→ OC→ A，B，C 三点不能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是( )A．k＝－2 B．k＝12C．k＝1 D．k＝－1答案 C解析 若点 A，B，C 不能构成三角形，则向量 与 共线. 因为 ＝ － ＝(2，－1)AB→ AC→ AB→ OB→ OA→ －(1，－3)＝(1，2)， ＝ － ＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)．所以 1×(k＋1)AC→ OC→ OA→ －2k＝0，解得 k＝1，故选 C.7．已知命题：“若 k1a＋k 2b＝0，则 k1＝k 2＝0”是真命题，则下面对 a，b 的判断正确的是( )A．a 与 b 一定共线 B．a 与 b 一定不共线C．a 与 b 一定垂直 D．a 与 b 中至少有一个为 0- 3 -答案 B解析 由向量共线基本定理易知．8．设向量 a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量 4a，3b－2a，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 c 为( )A．(1，－1) B．(－1，1)C．(－4，6) D．(4，－6)答案 D解析 由题知 4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由4a＋(3b－2a)＋c＝0，知 c＝(4，－6)，选 D.9．(2014·陕西卷理改编)已知向量 a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且 a∥b，则tan(α－ )等于( )π 4A．3 B．－3C. D．－13 13答案 B解析 ∵a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且 a∥b，∴ ＝ ，∴tanα＝－ .sinαcosα 1－ 2 12∴tan(α－ )＝ ＝ ＝－3.π 4 tanα － 11＋ tanα－ 12－ 11－ 1210．如图所示，A，B 分别是射线 OM，ON 上的两点，且 ＝ ， ＝ ，给出下列向量：OA→ 12OM→ OB→ 14ON→ ① ＋2 ； ② ＋ ；③ ＋ ； ④ ＋ ；⑤ － .OA→ OB→ 12OA→ 13OB→ 34OA→ 13OB→ 34OA→ 15OB→ 34OA→ 15OB→ 这些向量中以 O 为起点，终点在阴影区域内的是( )A．①② B．①④C．①③ D．⑤答案 C解析 由向量的平行四边形法则利用尺规作图，可得：终点在阴影区域内的是①③.- 4 -11．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量 ＝a， ＝b，其中 a＝(3，1)，OA→ OB→ b＝(1，3)．若 ＝λa＋μb，且 0≤λ≤μ≤1，则 C 点所有可能的位置区域用阴影表示正OC→ 确的是( )答案 A解析 由题意知 ＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，OC→ 取 λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1，3)，从而选 A.12．已知 A(－3，0)，B(0， )，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC＝30°，3＝λ ＋ ，则实数 λ 的值为________．OC→ OA→ OB→ 答案 1解析 由题意知 ＝(－3，0)， ＝(0， )，则 ＝(－3λ， )．OA→ OB→ 3 OC→ 3由∠AOC＝30°知以 x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为 150°，∴tan150°＝ ，即－ ＝－ ，∴λ＝1.3－ 3λ 33 33λ13．若平面向量 a，b 满足|a＋b|＝1，a＋b 平行于 y 轴，a＝(2，－1)，则 b＝________．答案 (－2，0)或(－2，2)解析 设 b＝(x，y)，则 a＋b＝(x＋2，y－1)．∵|a＋b|＝1，∴(x＋2) 2＋(y－1) 2＝1.又∵a＋b 平行于 y 轴，∴x＝－2，代入上式，得 y＝0 或 2.∴b＝(－2，0)或 b＝(－2，2)．14．已知| |＝1，| |＝ ， · ＝0，点 C 在∠AOB 内，且∠AOC＝30°.设 ＝m ＋nOA→ OB→ 3 OA→ OB→ OC→ OA→ (m，n∈R)，则 ＝________．OB→ mn答案 3- 5 -解析 方法一：如图所示，∵ · ＝0，∴ ⊥ .OA→ OB→ OB→ OA→ 不妨设| |＝2，过 C 作 ⊥ 于 D， ⊥ 于 E，则四边形 ODCE 是矩形．OC→ CD→ OA→ CE→ OB→ ＝ ＋ ＝ ＋ .OC→ OD→ DC→ OD→ OE→ ∵| |＝2，∠COD＝30°，OC→ ∴| |＝1，| |＝ .DC→ OD→ 3又∵| |＝ ，| |＝1，OB→ 3 OA→ 故 ＝ ， ＝ .OD→ 3OA→ OE→ 33OB→ ∴ ＝ ＋ ，此时 m＝ ，n＝ .OC→ 3OA→ 33OB→ 3 33∴ ＝ ＝3.mn 333方法二：由 · ＝0 知△AOB 为直角三角形，以 OA，OB 所在直线分别为 x，y 轴建立平面OA→ OB→ 直角坐标系，则可知 ＝(1，0)， ＝(0， )．又由 ＝m ＋n ，可知 ＝(m， n)，OA→ OB→ 3 OC→ OA→ OB→ OC→ 3故由 tan30°＝ ＝ ，可知 ＝3.3nm 33 mn15．已知 A，B，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝ ， ＝ .AE→ 13AC→ BF→ 13BC→ (1)求 E，F 的坐标；(2)求证： ∥ .EF→ AB→ 答案 (1)E(－ ， )，F( ，0) (2)略13 23 73- 6 -解析 (1)设 E，F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则依题意，得 ＝(2，2)，AC→ ＝(－2，3)， ＝(4，－1)．BC→ AB→ ∴ ＝ ＝( ， )， ＝ ＝(－ ，1)．AE→ 13AC→ 23 23 BF→ 13BC→ 23∴ ＝(x 1，y 1)－(－1，0)＝( ， )，AE→ 23 23＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝(－ ，1)．BF→ 23∴(x 1，y 1)＝( ， )＋(－1，0)＝(－ ， )，23 23 13 23(x2，y 2)＝(－ ，1)＋(3，－1)＝( ，0)．23 73∴E 的坐标为(－ ， )，F 的坐标为( ，0)．13 23 73(2)由(1)知(x 1，y 1)＝(－ ， )，(x 2，y 2)＝( ，0)．13 23 73∴ ＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝( ，－ )．EF→ 83 23又 4×(－ )－(－1)× ＝0，23 83∴ ∥ .EF→ AB→ 16．已知向量 m＝(0，－1)，n＝(cosA，2cos 2 )，其中 A、B、C 是△ABC 的内角，且CA、B、C 依次成等差数列，求|m＋n|的取值范围．答案 [ ， )22 52解析 2B＝A＋C，B＝ ，A＋C＝ ，∴0A .π 3 2π3 2π3m＋n＝(cosA，2cos 2 －1)＝(cosA，cosC)，C|m＋n|＝ ＝cos2A＋ cos2C1＋ cos2A2 ＋ 1＋ cos2C2＝1＋ 12[cos2A＋ cos（ 4π3－ 2A） ]＝ ，1＋ 12cos（ 2A＋ π 3）- 7 -∵ 2A＋ ，∴－1≤cos(2A＋ ) .π 3 π 35π3 π 3 12∴|m＋n|∈[ ， )．22 5217．已知向量 a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1，2)．(1)若 a∥b，求 tanθ 的值；(2)若|a|＝|b|，0θπ，求 θ 的值．答案 (1) (2) 或14 π 2 3π4解析 (1)因为 a∥b，所以 2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是 4sinθ＝cosθ，故 tanθ＝ .14(2)由|a|＝|b|知，sin 2θ＋(cosθ－2sinθ) 2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即 sin2θ＋cos2θ＝－1，于是 sin(2θ＋ )＝－ .π 4 22又由 0θπ 知， 2θ＋ ，所以 2θ＋ ＝ 或 2θ＋ ＝ .π 4 π 49π4 π 4 5π4 π 4 7π4因此 θ＝ 或 θ＝ .π 2 3π41．设向量 a，b 满足|a|＝2 ，b＝(2，1)，则“a＝(4，2)”是“a∥b”成立的是( )5A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件答案 C解析 若 a＝(4，2)，则|a|＝2 ，且 a∥b 都成立；5因 a∥b，设 a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝2 ，得 4λ 2＋λ 2＝20.5∴λ 2＝4，∴λ＝±2.∴a＝(4，2)或 a＝(－4，－2)．因此“a＝(4，2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件．2．在平面直角坐标系中，点 O(0，0)，P(6，8)，将向量 绕点 O 按逆时针方向旋转 后得OP→ 3π4向量 ，则点 Q 的坐标是( )OQ→ A．(－7 ，－ ) B．(－7 ， )2 2 2 2C．(－4 ，－2) D．(－4 ，2)6 6- 8 -答案 A解析 设 与 x 轴正半轴的夹角为 θ，则 cosθ＝ ，sinθ＝ ，则由三角函数定义，可得OP→ 35 45＝(| |cos(θ＋ )，| |sin(θ＋ ))．OQ→ OP→ 3π4 OP→ 3π4∵| |cos(θ＋ )＝ ×(cosθcos －sinθsin )OP→ 3π4 62＋ 82 3π4 3π4＝10×[ ×(－ )－ × ]＝－7 ，35 22 45 22 2| |sin(θ＋ )OP→ 3π4＝ ×(sinθcos ＋cosθsin )62＋ 823π4 3π4＝10×[ ×(－ )＋ × ]＝－ ，45 22 35 22 2∴ ＝(－7 ，－ )，OQ→ 2 2即点 Q 的坐标为(－7 ，－ )．2 23．在△ABC 中，M 为边 BC 上任意一点，N 为 AM 的中点， ＝λ ＋μ ，则 λ＋μ 的值为AN→ AB→ AC→ ( )A. B.12 13C. D．114答案 A解析 ∵M 为边 BC 上任意一点，∴可设 ＝x ＋y (x＋y＝1)．∵N 为 AM 中点，AM→ AB→ AC→ ∴ ＝ ＝ x ＋ y ＝λ ＋μ .AN→ 12AM→ 12AB→ 12AC→ AB→ AC→ ∴λ＋μ＝ (x＋y)＝ .12 124．已知 a＝(6，1)，b＝(－2，2)，若单位向量 c 与 2a＋3b 共线，则向量 c 的坐标为_____．答案 ±( ， )35 45解析 2a＋3b＝2(6，1)＋3(－2，2)＝(6，8)，∵单位向量 c 与(6，8)共线，∴c＝± ＝±( ， )．（ 6， 8）36＋ 64 35 45- 9 -5．若平面向量 a，b 满足|a＋b|＝1，a＋b 平行于 x 轴，b＝(2，－1)，则 a＝________．答案 (－1，1)或(－3，1)解析 设 a＝(x，y)，∵b＝(2，－1)，则 a＋b＝(x＋2，y－1)，∵a＋b 平行于 x 轴，∴y－1＝0，y＝1，故 a＋b＝(x＋2，0)，又∵|a＋b|＝1，∴|x＋2|＝1，∴x＝－1 或x＝－3，∴a＝(－1，1)或 a＝(－3，1)．6．已知向量 a＝( ，1)，b＝(0，－1)，c＝(k， )．若 a－2b 与 c 共线，则3 3k＝________．答案 1解析 a－2b＝( ，3)，根据 a－2b 与 c 共线，得方程 3k＝ · ，解得 k＝1.3 3 37．如图所示，| |＝| |＝1，| |＝ ，∠AOB＝60°， ⊥ ，设 ＝x ＋y .求实数OA→ OB→ OC→ 3 OB→ OC→ OC→ OA→ OB→ x，y 的值．答案 x＝－2，y＝1解析 过 C 作 CD∥OB，交 OA 的反向延长线于点 D，连接 BC，由| |＝1，| |＝ ， ⊥ ，得∠OCB＝30°.又∠COD＝30°，OB→ OC→ 3 OB→ OC→ ∴BC∥OD，∴ ＝ ＋ ＝－2 ＋ .∴x＝－2，y＝1.OC→ OD→ OB→ OA→ OB→ - 1 -题组层级快练(二十七)1．若(x＋i) 2是纯虚数(其中 i 为虚数单位)，则 x＝( )A．±1 B．2C．－1 D．1答案 A解析 (x＋i) 2＝x 2－1＋2xi，因为(x＋i) 2是纯虚数，所以 x＝±1.2．(2016·河北辛集中学月考)若复数 (b∈R)的实部与虚部互为相反数，则 b 等于( 2－ bi1＋ 2i)A. B.223C．－ D．223答案 C解析 ＝ ＝ ，2－ bi1＋ 2i （ 2－ bi） （ 1－ 2i）（ 1＋ 2i） （ 1－ 2i） 2－ 2b－ （ 4＋ b） i5由题意得 － ＝0，得 b＝－ .2－ 2b5 4＋ b5 233．(2015·湖北理)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( )A．i B．－iC．1 D．－1答案 A解析 i 607＝i 4×151·i3＝－i，又－i 的共轭复数为 i，选 A.4．(2015·山东)若复数 z 满足 ＝i，其中 i 为虚数单位，则 z＝( )z－ 1－ iA．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋i答案 A解析 由已知 ＝i(1－i)＝i－i 2＝i＋1，所以 z＝1－i.故选 A.z－ 5．(2015·新课标全国Ⅰ理)设复数 z 满足 ＝i，则|z|＝( )1＋ z1－ zA．1 B. 2C. D．23答案 A- 2 -解析 由题意知 1＋z＝i－zi，所以 z＝ ＝ ＝i，所以|z|＝1.i－ 1i＋ 1 （ i－ 1） 2（ i＋ 1） （ i－ 1）6．在复平面内，复数 z＝cos3＋isin3(i 是虚数单位)对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 B解析 因为 0，故点(cos3，sin3)在第二象限，即复数π 2z＝cos3＋isin3 对应的点位于第二象限．7．(2016·湖北武汉二中模拟)已知复数 z＝ ，则“θ＝ ”是“z 是纯（ tanθ － 3） i－ 1i π 3虚数”的( )A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件答案 C解析 当 θ＝ 时，z 是纯虚数；反之不成立．故“θ＝ ”是“z 是纯虚数”的充分不必π 3 π 3要条件．8．已知 x，y∈R，i 为虚数单位，且(x－2)i－y＝－1＋i，则(1＋i) x＋y 的值为( )A．4 B．－4C．4＋4i D．2i答案 B解析 由 x－2＝1，y＝1，得(1＋i) 4＝(2i) 2＝－4.9．下面是关于复数 z＝ 的四个命题：2－ 1＋ ip1：|z|＝2, p 2：z 2＝2i，p3：z 的共轭复数为 1＋i, p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( )A．p 2，p 3 B．p 1，p 2C．p 2，p 4 D．p 3，p 4答案 C解析 ∵z＝ ＝－1－i，∴|z|＝ ，z 2＝(－1－i) 2＝(1＋i) 2＝2i，z 的共轭复数为2－ 1＋ i 2－1＋i，z 的虚部为－1，综上可知 p2，p 4是真命题．10．已知函数 f(x)＝x 2，i 是虚数单位，则在复平面中复数 对应的点位于( )f（ 1－ i）2＋ i- 3 -A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 C解析 ＝ ＝ ＝ ，在复平面内对应的f（ 1－ i）2＋ i （ 1－ i） 2（ 2－ i）（ 2＋ i） （ 2－ i） － 2i（ 2－ i）（ 2＋ i） （ 2－ i） － 2－ 4i5点(－ ，－ )位于第三象限，故选 C.25 4511．(2016·沧州七校联考)i 为虚数单位， ＋ ＋ ＋ ＝( )1i 1i3 1i5 1i7A．0 B．2iC．－2i D．4i答案 A解析 ∵i 2＝－1，∴ ＋ ＋ ＋ ＝ － ＋ － ＝0.1i 1i3 1i5 1i7 1i 1i 1i 1i12．(2016·西安八校联考)已知 i 是虚数单位，则 ＝( )i2 0151＋ iA. B.1－ i2 1＋ i2C. D.－ 1－ i2 － 1＋ i2答案 C解析 ＝ ＝ ＝ ，故选 C.i2 0151＋ i － i1＋ i － i（ 1－ i）2 － 1－ i213．设 z 是复数，α(z)表示满足 zn＝1 的最小正整数 n，则对虚数单位 i，α(i)＝( )A．8 B．6C．4 D．2答案 C解析 ∵α(z)表示满足 zn＝1 的最小正整数 n，∴α(i)表示满足 in＝1 的最小正整数n.∵i 2＝－1，∴i 4＝1，∴α(i)＝4.14．设 z 的共轭复数是 ，若 z＋ ＝4，z· ＝8，则 ＝( )z－ z－ z－ z－ zA．i B．－iC．±1 D．±i答案 D解析 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 解得{2a＝ 4，a2＋ b2＝ 8， ) { a＝ 2，b＝ ±2.)- 4 -当 z＝2＋2i 时， ＝－i，当 z＝2－2i 时， ＝i.z－ zz－ z15．(2016·南京模拟)若复数 z＝(1＋i)(3－ai)(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a＝________．答案 －3解析 因为 z＝(1＋i)(3－ai)＝(3＋a)＋(3－a)i 为纯虚数，所以 a＋3＝0 且 3－a≠0，即a＝－3.16．(2016·福建厦门质检)若复数 z 满足(1＋2i)z＝|3＋4i|(i 为虚数单位)，则复数 z 等于________．答案 1－2i解析 ∵(1＋2i)z＝|3＋4i|＝5，∴z＝ ＝ ＝1－2i.51＋ 2i 5（ 1－ 2i）（ 1＋ 2i） （ 1－ 2i）17．i 是虚数单位，( )2 014＋( )6＝________．21－ i 1＋ i1－ i答案 －1－i解析 原式＝[( )2]1 007＋( )6＝( )1 007＋i 6＝i 1 21－ i 1＋ i1－ i 2－ 2i007＋i 6＝i 4×251＋3 ＋i 4＋2 ＝i 3＋i 2＝－1－i.18．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 1＋i＝z(－1＋i)，则复数 z2 016等于________．答案 1解析 ∵z＝ ＝ ＝ ＝－i，∴z 2 016＝1.1＋ i－ 1＋ i 1＋ ii2＋ i 1i19．已知实数 m，n 满足 ＝1－ni(其中 i 是虚数单位)，求双曲线 mx2－ny 2＝1 的离心m1＋ i率．答案 3解析 m＝(1＋i)(1－ni)＝(1＋n)＋(1－n)i，则 ∴n＝1，m＝2，从而 e＝ .{m＝ 1＋ n，1－ n＝ 0， ) 320．已知复数 z1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数 z2的虚部为 2，且 z1z2是实数，求 z2.答案 z 2＝4＋2i解析 (z 1－2)(1＋i)＝1－i⇒z 1＝2－i，设 z2＝a＋2i，a∈R，则 z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z 1z2∈R，∴a＝4，∴z 2＝4＋2i.- 5 -1．若复数 z1，z 2在复平面内的对应点分别为(1，1)，(0，－2)，则复数 z＝ 1·z2在复平z－ 面内的对应点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 C解析 由题意，z 1＝1＋i，z 2＝－2i，则 1＝1－i， 1·z2＝(1－i)·(－2i)z－ z－ ＝－2i＋2i 2＝－2－2i，即 z＝－2－2i，因而对应点位于第三象限，故选 C.2.(2016·唐山一中)若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数 的点z1＋ i是( )A．E B．FC．G D．H答案 D解析 依题意得z＝3＋i， ＝ ＝ ＝ ＝2－i，z1＋ i 3＋ i1＋ i （ 3＋ i） （ 1－ i）（ 1＋ i） （ 1－ i） 4－ 2i2该复数对应的点的坐标是(2，－1)，选 D.3．(2012·天津)i 是虚数单位，复数 ＝( )7－ i3＋ iA．2＋i B．2－iC．－2＋i D．－2－i答案 B解析 ＝ ＝ ＝2－i.7－ i3＋ i （ 7－ i） （ 3－ i）（ 3＋ i） （ 3－ i） 20－ 10i104．设复数 z 的共轭复数是 ，若复数 z1＝3＋4i，z 2＝t＋i，且 z1·z2是实数，则实数 t 等z－ 于( )A. B.34 43- 6 -C．－ D．－43 34答案 A解析 z 1·z2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i 是实数，则 4t－3＝0，∴t＝ .345．(2016·长春质量监测)复数 的共轭复数对应的点位于( )1－ i2－ iA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 A解析 ＝ － i，所以其共轭复数为 ＋ i.故选 A.1－ i2－ i 35 15 35 156．(2015·山东青岛一模)已知 ＝b＋i(a，b∈R)，其中 i 为虚数单位，则a＋ 2iia＋b＝________．答案 1解析 因为 ＝b＋i，所以 2－ai＝b＋i.由复数相等的充要条件得 b＝2，a＝－1，故a＋ 2iia＋b＝1.7．(2015·重庆理)设复数 a＋bi(a，b∈R)的模为 ，则(a＋bi)(a－bi)＝________．3答案 3解析 设 z＝a＋bi，则(a＋bi)(a－bi)＝z ＝|z| 2＝3.z－