1、南通中学高三年级第一次阶段性考试数学试卷考试内容：数学以目前一轮已复习的函数和三角函数为主，数学为选修 42，选修44，立体几何与空间向量及计数原理.命题人： 南通中学高三数学备课组数学（必做题 共 160 分）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答卷横线上）1. 已知集合 ，集合 ，则集合 _.【答案】【解析】因为 ，所以 ，应填答案。2. 命题“若 ，则 ”的否命题是_.【答案】若 ，则【解析】否命题即同时否定命题的条件和结论，据此可得：命题“若 ，则 ”的否命题是若 ，则 .3. 幂函数 的图像过点 ，则 _.【答案】2【解析】设函数的解析式为：
2、 ，由题意可得： ，函数的解析式为： ，据此可知： .4. 如图所示的算法流程图，若输出 的值为 ，则输入 的值为_.【答案】【解析】该程序框图表示的是函数 ，若 ，则，不合题意，若 ，则 合题意，故输入的 值为 ，故答案为 .5. 已知 、 ，则“ ”是“ ” 成立的_条件.（填“充分且必要” 、 “ 充分不必要” 、 “必要不充 分” 、 “既不充分又不必要”之一）【答案】既不充分又不必要【解析】若 ，则 ，此时有 ，若 ，可能 ，此时 ，据此可得：“ ”是“ ” 成立的既不充分又不必要条件.6. 记函数 定义域为 ，在区间 上随机取一个数 ，则 的概率是_.【答案】【解析】函数有意义，则
3、： ，求解对数不等式可得： ，结合几何概型计算公式可得所求的概率值为： .点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比7. 若将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到 的图像，则称 为 的单位间隔函数，那么 的单位间隔函数是 _.【答案】【解析】结合函数平移的性质结合间隔函数的定义可得：的单位间隔函数是 .8. 已知函数 ，若曲线 在点 处的切线经过圆 ：的圆心，则实数 的值是
4、_.【答案】【解析】由题意可得： ，且 ，据此可得，切线方程为： ，圆的圆心为 ，切线过圆心，则： .9. 在 中， ， ， ，则 的值为_.【答案】-12【解析】根据余弦定理得： ，.10. 设命题 ：幂函数 在 上单调递减；命题 ： 在上有解.若“ ”为假命题， “ ”为真命题，则实数 的取值范围为_.【答案】【解析】试题分析：由 真可得 ，由 真可得 ， 为假， 为真等价于 一真一假，讨论两种情况，分别列不等式组，求解后再求并集即可.试题解析：若 正确，则 ， 若 正确，为假， 为真， 一真一假即 的取值范围为 .11. 已知实数 、 满足约束条件 ，则 的取值范围是_.【答案】【解析】
5、绘制不等式组表示的可行域，结合线性规划的结论可得目标函数 的取值范围是 ，所以 取值范围是 点睛：求线性目标函数 z ax by(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最大，在 y 轴截距最小时， z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最小，在 y 轴上截距最小时， z 值最大.12. 已知函数 ，若对任意实数 都有 ，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】构造函数 ，函数 为奇函数且在 上递减，即 ，即 ，即，所以 即 恒成立，所以，所以，故实数 的取值范围是 13. 在数列 中， ， ，且任意连续三项的和均为 ，设
6、是数列的前 项和，则使得 成立的最大整数 _.【答案】26【解析】由题意得 ，则 ，该数列为周期数列，周期为 ，又 ，则 ，当 时，而 ， ， ，所以，使得 成立的最大整数为 14. 定义在 上的函数 满足 ， 为 的导函数，且对 恒成立，则 的取值范围是_.【答案】【解析】因为 ，所以 ，又 ，所以 ， 设 ，则 ，所以 在 上为减函数，所以 即 ，故 ；设 ，则 ，在 上为增函数，所以 即 ，即 ，因此， 的取值范围是 点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用
7、函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。二、解答题（本大题共 小题，共 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 如图，在直三棱柱 中， 为棱 上一点.（）若 ， 为棱 的中点，求证：平面 平面 ；（）若 平面 ，求 的值.【答案】()证明见解析；()1.【解析】试题分析：()结合题意利用线面垂直的判断定理可证得 平面 ，结合面面垂直的判断定
8、理即可证得平面 平面 ；()结合几何关系可得 为 中点，即 试题解析：（）因为 ， 为棱 的中点，所以 因为 是直三棱柱，所以 平面 因为 平面 ，所以 因为 ，平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以平面 平面 ；（）连结 交 于 ，连 ，所以 为 中点因为 平面 ， 平面，平面 平面 ，则 因为 为 中点，所以 为中点，所以 16. 已知函数 ， .（）若圆心角为 ，半径为 的扇形的弧长为 ，且 ， ，求 ；（）若函数 的最大值与 （ ）的最小值相等，求实数.【答案】() 或 ；()1.【解析】试题分析：()由题意得到三角方程 ，结合题意和角的范围可得 或()由题意结合函数 p
9、(x)的解析式分类讨论 和 两种情况可得实数 的值为 试题解析：（）因为 ，所以 ，即，而 ，所以 ，因此， 或 ，所以 或；（）显然 的最大值为 对于函数 （ ） 当 时， ，不符合题意；当 时，因为 ，所以 的最小值为 若 ，则 ，此时 ，不符合题意；若 ，则 ，此时 ，符合题意综上，实数 的值为 17. 某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画.如图，该电梯的高 为 米，它所占水平地面的长 为 米.该广告画最高点 到地面的距离为 米，最低点到地面距离 米.假设某人眼睛到脚底的距离 为 米，他竖直站在此电梯上观看 视角为.（）设此人到直线 的距离为 米，试用含 的表达式
10、表示 ；（）此人到直线 的距离为多少米时，视角 最大？【答案】() （ ） ；()此人到直线 的距离为 米时，视角 最大【解析】试题分析：(1)由题意做出辅助线，结合示意图计算可得函数的解析式为 （） ；(2)结合(1)中函数的解析式和均值不等式的结论可得所以当 米， 取得最大值 ，此时视角 取得最大值试题解析：（）作 交于点 ，作 交于 ，则 在 中，因为， ，所以 ，所以 ，所以 因为 ，所以， ，在中，在 中， ，所以（ ） ；（）由 得 ， ，所以，当且仅当 即 时取“ ”，又因为 在区间上递增，所以当 米， 取得最大值 ，此时视角 取得最大值答：此人到直线 的距离为 米时，视角 最大
11、点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.18. 椭圆 ： （ ）过点 ，且右焦点为 ，过 的直线 与椭圆 相交于 、 两点.设点 ，记 、 的斜率分别为 和 .（）求椭圆 的方程；（）如果直线 的斜率等于 ，求出 的值；（）探讨 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出 的取值范围.【答案】(1) ；(2) ；(3) 是定值 2【解析】试题分析
12、：(1)结合几何关系求得 ， ，则椭圆方程为 ；(2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得： 的值为 2；(3)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况可得 的值为定值 2.试题解析：（） ，又 ， ，椭圆方程为 ；（）直线 ： ，设 ， ，由 消 得得，解得 ， ，有 ， ，；（）当直线 的斜率不存在时，不妨设 、 ，则 ，则 ；当直线 的斜率存在时，设其为 ，则直线 ： ，设 ，由消 得 ，有 ，则综上， 是定值点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值19. 已知等差数列 和等比
13、数列 ，其中 的公差不为 .设 是数列的前 项和.若 、 、 是数列 的前 项，且 .（）求数列 和 的通项公式；（）若数列 为等差数列，求实数 ；（）构造数列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，若该数列前 项和 ，求 的值.【答案】() ， ；() 或 ;()34.【解析】试题分析：(1)由题意列出方程组求得数列 的首项 ，公差 ，则其通项公式为，进一步即可求得数列 的通项公式为(2)利用等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数列出方程组，求解方程组可得 或;(3)结合题意分组求和得到关于 m 的方程，解方程讨论可得 .试题解析：（）设等差数列 的公差为 （ ） ，由 、 、
14、 是数列 的前 项，且得 ，因为 ，所以 ，故 的通项公式为；而 ， ，所以等比数列 的公比，的通项公式为 ；（）由（）知 ，因为数列 为等差数列，所以可设 ， ，所以 即对 总成立，不妨设 ， ，则 对 总成立，取 ， 得 ，解得 ，即，解得 或 令 当 时， ，因为 ，所以 为等差数列；当 时， ，因为 ，所以 为等差数列综上， 或 另解：由（）知 ，因为数列 为等差数列，所以 ， ， 必成等差数列，所以 ，即 ，解得 或令 当 时， ，因为 ，所以 为等差数列；当 时， ，因为 ，所以 为等差数列综上， 或 （）设从 到 各项的和为 ，则因为 ，所以，因此当 时， ，当 时， ，所以，可
15、设 后面有 项，则，所以 ， ，因此 ，即 的值为 20. 设 ， ，函数 ，其中 是自然对数的底数，曲线在点 处的切线方程为 .（）求实数 、 的值；（）求证：函数 存在极小值；（）若 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围.【答案】() ；()证明见解析；() .【解析】试题分析：()利用导函数研究函数的切线，得到关于实数 a,b 的方程组，求解方程组可得；()结合()中求得的函数的解析式首先求解导函数，然后利用导函数讨论函数的单调性即可确定函数存在极小值；()结合题意构造函数，令 ， ，利用()中的结论讨论函数 的最小值， ，然后结合题意可得实数 的取值范围为 试题解析：（） ， ，由题
16、设得 ，；（）由（）得 ， ，函数 在 是增函数， ，且函数 图像在 上不间断， ，使得 ，结合函数 在 是增函数有：）递减 极小值 递增函数 存在极小值 ；（） ，使得不等式 成立，即 ，使得不等式成立（*） ，令 ， ，则 ，结合（）得 ，其中 ，满足 ，即 ， ， ， ， ， 在 内单调递增， ，结合（*）有 ，即实数 的取值范围为 数学（附加题 共 40 分）21.选做题B.（选修 42：矩阵与变换）21. 设 是矩阵 的一个特征向量.（）求实数 的值；（）求矩阵 的特征值.【答案】()1；() 和 【解析】试题分析：()结合特征向量的定义得到关于实数 的方程组，求解方程组可得 ；()
17、结合()中求得的矩阵得到矩阵的特征值方程，解方程可得矩阵的特征值为和 试题解析：（）设 是矩阵 属于特征值 的一个特征向量，则 ，即，解得 ，故实数 的值为 ；（）矩阵 的特征多项式为 ，所以 ，故矩阵 的特征值为 和 C.（选修 44：极坐标系与参数方程）22. 已知直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（）求直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；（）设直线 与曲线 交于 、 两点，求线段 的长度.【答案】() ， ；()2.【解析】试题分析：削去参数 把直线的参数方程化为普通方程，根据公式，把极坐标方程化为直角坐标方程
18、；把直线的参数方程化为标准形式，利用参数 的几何意义求出弦长 .试题解析：（）直线 : （ 为参数） ，消去 得 ，即曲线 ： ，即 ，又 ， 故曲线 ： （）直线 的参数方程为 （ 为参数） 直线 的参数方程为（ 为参数） ，代入曲线 ： ，消去 得， 由参数 的几何意义知， 必做题23. 在如图所示的多面体 中，四边形 为正方形，底面 为直角梯形， 为直角， ， ，平面 平面 .（）求证： ；（）若 ，求二面角 的余弦值.【答案】()证明见解析；() .【解析】 【试题分析】 （1）依据题设条件，运用线面垂直的性质定理推证；（2）建立坐空间直角坐标系，运用空间向量求解：（1）底面 为直角梯
19、形， ， ， ，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， ，设 ，以 所在直线分别为 轴建立如图坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ， .（2）由（1）知 是平面 的一个法向量，设 是平面 的法向量， ， ， ， ， ，由，得 ，由 ，得 ，令 ，得 ，故 是平面 的一个法向量， ，即二面角的余弦值为 .点睛：本题旨在考查空间的直线与平面之间的位置关系以及空间向量在解决空间的角度、距离等方面的综合运用。解答第一问时，直接借助空间直角坐标系，运用空间向量的有关知识进行推证使得问题获证；第二问的求解过程中，充分借助向量的数量积公式，运用转化与化归的数学思想及数形结合的思想和意识进行求解，从而使得问题简捷、巧妙地获解。24. 请阅读：在等式 （ ）的两边对 求导得，化简后得等式 .请类比上述方法，试由等式 （， 且 ） .（）证明： （注：） ；（）求 .【答案】()证明见解析；()28160.【解析】试题分析：()由题意结合二项式展开式的定理求导即可证得题中的结论；()结合()的结论两侧同时乘以 ，然后两侧求导，令 可得的值为 28160.试题解析：（）证明：在等式中两边对 求导得 ，移项得 ，即 ；（）由（）得，两边同时乘以 得，两边再求导得，.另法：证得 ， ，所以 ，所以 ，因此
