1、江苏省泰州中学 2018 届高三年级第二次月考数学试卷一、填空题.：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.1. 已知全集 ，集合 ， ，则 _【答案】【解析】因为 ，所以 ，故填 .点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错2. 若直线 的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：因为直线 的倾斜角为钝角，所以考点：直线斜率3. 对于常数 、 ，
2、“ ”是方程“ 的曲线是椭圆”的_【答案】必要不充分条件【解析】因为 时， 表示圆，所以“方程“ 的曲线是椭圆” ”推不出方程“方程“ 的曲线是椭圆” ，当方程“ 的曲线是椭圆”时，能推出 ，所以应该填必要不充分条件. 4. 已知单位向量， 的夹角为 ，那么 （ ）的最小值是_【答案】【解析】 的最小值为 . 5. 将 的图像向右平移 单位（ ） ，使得平移后的图像仍过点 ，则 的最小值为_【答案】【解析】将 的图像向右平移 单位（ ）得到 ，代入点 得：，因为 ，所以当 时，第一个正弦值为 的角，此时 ，故填 .学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥
3、网.学￥科￥网.学￥科￥网.6. 已知数列 满足： ， ， （ ） ，则数列 的通项公式为_【答案】【解析】由 得： ，变形得： ，所以 是以 2 为公比的等比数列，所以 ，所以 .7. 若圆 经过坐标原点和点 ，且与直线 相切，则圆 的方程是_【答案】【解析】设圆的圆心坐标 ，半径,圆 经过坐标原点和点 ，且与直线 相切,所以 ，解得 ，所求圆的方程为 .8. 设函数 ，则下列结论正确的是_ （1） 的值域为 ；（2） 是偶函数；（3） 不是周期函数；（4） 不是单调函数.【答案】 （1） （2） （4）【解析】根据函数解析式知（1） 的值域为 正确；（2）因为 x 如果是有理数，则 仍旧是
4、有理数，是无理数， 仍旧是无理数，所以 是偶函数正确；（3）可以是周期函数，例如 T=1；故错误；（4）显然函数值得大小与自变量大小无关，只与自变量是无理数还是有理数有关；综上分析正确的是（1） （2）（4）.9. 如图，矩形 的三个顶点 、 、 分别在函数 ， ， 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点 的纵坐标为 ，则点 的坐标为_【答案】【解析】试题分析：由 可得点 ，由 得点 ，又 ，即点 ，所以点 的坐标为 .考点：指数函数、对数函数、幂函数图象和性质.10. 在矩形 中， ， ，若 ， 分别在边 ， 上运动（包括端点，且满足 ，则 的取值范围是_【答案】1,9【解析】分别以
5、AB,AD 为 x,y 轴建立直角坐标系，则 ，设 ，因为，所以 ，则 , 故 ，所以 ，故填1,9.11. 若曲线 与曲线 在它们的公共点 处具有公共切线，则实数的值为 _【答案】1【解析】两曲线的导数分别是 ，因为在 P 处有公切线，所以 且 解得 ，故填 1. 12. 若函数 ，则函数 在 上不同的零点个数为_【答案】3【解析】因为 ， 可转化为： ，函数 与 以及，函数 与 交点的个数；作出函数图象如图:由函数图象可知零点个数为 3 个.点睛：判断函数零点问题，可以转化为方程的根或者两个函数图象的交点问题，特别是选择题、填空题，通过函数图像判断较简单.及至少、至多这类问题的证明可以考虑
6、反证法，注意假设的结论是求证问题的反面，即原命题的非命题.13. 已知点 和圆 ： ， 是圆 的直径， 和 是线段 的三等分点， （异于 ， ）是圆 上的动点， 于 ， （ ） ，直线 与 交于 ，则当 _时，为定值【答案】【解析】题意可得 ，设 ，则点 ，故 的方程为 ，的方程为 ，联立方程组可得 ，把 代入化简可得，故点 在以 为长轴的椭圆上， 当 为此椭圆的焦点时， 为定值 ，此时，由 可得 ，求得 ，故填 .14. 已知圆心角为 的扇形 的半径为 ， 为 的中点，点 、 分别在半径 、 上.若，则 的最大值是_【答案】【解析】设 ，如图：由余弦定理得 ，同理 ，所以由 可得:， ，代入
7、上式得： ，解不等式得,故 的最大值是 .二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.15. 已知 （1）求 在 上的最小值；（2）已知， ，分别为 内角 、 、 的对边， ， ，且 ，求边的长.【答案】(1) 当 时， ；(2) 【解析】试题分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，根据 x 的取值范围，得出这个角的范围，利用正弦函数图象与性质得出其值域即可；（2）利用函数关系式求出 B 的值，求出 A、B 的正弦值，再利用正弦定理即可求出 a 的值.试题解析：（1） 当 时， ；（2） ， 时， 有最大值， 是三角形
8、内角 正弦定理 点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.16. 设函数 ，其中 且 （1）已知 ，求的值；（2）若在区间 上 恒成立，求的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：对于（1）直接把 代入 运用对数运算解得： ；对于（2）函数问题要注意定义域优先考虑，故对数真数恒大于零，即： ，由 得： ，由函数的单调性分类讨论的范围，由 且 ， 得： 和 .（1） .（2）由
9、 得 由题意知 故 ，从而 ，故函数 在区间 上单调递增.若 则 在区间 上单调递减，所以 在区间 上的最大值为，即 ，解得 ，又 ，所以 .若 则 在区间 上单调递增，所以 在区间 上的最大值为， ，解得 ，与 联立无解.综上： .考点：1.对数函数的运算 2.对数函数的单调性 3.对数的最值.17. 已知椭圆的中心为坐标原点 ，椭圆短轴长为 ，动点 （ ）在椭圆的准线上.（1）求椭圆的标准方程；（2）求以 为直径且被直线 截得的弦长为 的圆的方程；（3）设 是椭圆的右焦点，过点 作 的垂线与以 为直径的圆交于点 ，求证：线段 的长为定值，并求出这个定值.【答案】(1) (2) 圆的方程为
10、(3)【解析】试题分析：（1）由已知可得 b，又 M 在准线上，可得 a,c 关系，解方程即可求出 a，写出椭圆标准方程；（2）利用直线与圆相交所得弦心距、半弦长、半径所成直角三角形可得出圆的方程；（3）由平几知： ，将 OK,OM 表示出来，代入上式整理即可求出线段 的长为定值 2.试题解析：（1）由 ，得又由点 在准线上，得 ，故 ， 从而所以椭圆方程为（2）以 为直径的圆的方程为其圆心为 ，半径因为以 为直径的圆被直线 截得的弦长为所以圆心到直线 的距离所以 ，解得所以圆的方程为（3）由平几知：直线 ： ，直线 ：由 得 所以线段 的长为定值点睛：圆中涉及直线与圆的位置关系时，可考虑平面
11、几何得性质，特别是半弦长，弦心距，半径构成的直角三角形，可以迅速解决问题，要注意使用.18. 某儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示. 是等腰梯形；米， （ 在 的延长线上， 为锐角） ，圆 与 ， 都相切，且其半径长为 米.是垂直于 的一个立柱，则当 的值设计为多少时，立柱 最矮？【答案】当 时，立柱 最矮.【解析】试题分析：利用题意建立直角坐标系，得到关于 的函数： ，求导之后讨论函数的单调性可知 时取得最值.试题解析：解：方法一：如图所示，以 所在直线为 轴，以线段的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系.因为 ， ，所以直线 的方程为，即 . 设圆心 ，由圆 与
12、直线 相切，得 ，所以 . 令 ， ，则 ， 设 ， . 列表如下： 0 减 极小值 增所以当 ，即 时， 取最小值. 答：当时，立柱 最矮. 方法二：如图所示，延长 交于点 ，过点 作 于 ，则 ， .在 中， . 在 中， . 所以 . （以下同方法一）点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性19. 设数列
13、的前 项和为 ，已知 （ ， 为常数， ） ， ， ，（1）求 ， 的值；（2）求数列 的通项公式；（3）是否存在正整数 ， ，使 成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对 ；若不存在，说明理由.【答案】(1) (2) (3)详见解析 【解析】试题分析：（1）利用 ，n 取 1，2，可得方程组，即可求 p、q 的值；（2）利用和式，再写一式，两式相减，利用等比数列的通项公式，即可求数列a n的通项公式；（3）先求和，再化简不等式，确定 m 的取值，即可求得所有符合条件的有序实数对（m，n） 试题解析：（1）由题意，知 ，解之得（2）由（1）知，S n+1= Sn+2，当 n2 时，S n=
14、Sn1+2，得，a n+1= an（n2），又 a2= a1，所以数列a n是首项为 2，公比为 的等比数列，所以 an= （3）由（2）得， = ，由 ，得 ，即 ，即 ，因为 2m+10，所以 2n（4m）2，所以 m4，且 22 n（4m）2 m+1+4，因为 mN*，所以 m=1 或 2 或 3。当 m=1 时，由 得，2 2n38，所以 n=1；当 m=2 时，由 得，2 2n212，所以 n=1 或 2；当 m=3 时，由 得，2 2n20，所以 n=2 或 3 或 4，综上可知，存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为：（1，1）， （2，1），（2，2），（3，2），（3，3）
15、，（3，4）20. 已知函数 的图像在 上连续不断，定义：（ ） ， （ ） ，其中 表示函数在 上的最小值， 表示函数 在 上的最大值，若存在最小正整数 ，使得对任意的 成立，则称函数 为 上的“ 阶收缩函数”.（1）若 ， ，试写出 ， 的表达式；（2）已知函数 ， ，判断 是否为 上的“ 阶收缩函数” ，如果是，求出对应的 ，如果不是，请说明理由；（3）已知 ，函数 ，是 上的 2 阶收缩函数，求 的取值范围.数学附加题【答案】(1) ， ， ， . (2) .即存在 ，使得 是 上的“4 阶收缩函数”. (3)【解析】试题分析：（1）根据 的最大值可求出 ， 的解析式；（2）根据函数
16、，上的值域，先求出 ， 的解析式，再根据 求出 k 的取值范围得到答案.(3)先对函数 求导判断函数的单调性，进而写出 ， 的解析式，然后再由 求出 k 的取值范围.试题解析：（1）由题意可得： ， ， ， .（2） ， ，当 时， ， ， ；当 时， ， ， ；当 时， ， ，综上所述， .即存在 ，使得 是 上的“4 阶收缩函数”.（3） ，令 得 或 .函数 的变化情况如下：令 得 或 .（1）当 时， 在 上单调递增，因此， ， .因为是 上的“二阶收缩函数” ，所以， ，对 恒成立；存在 ，使得 成立.即： 对 恒成立，由 解得 或 .要使 对 恒成立，需且只需 .即：存在 ，使得
17、成立.由 解得 或 .所以，只需 .综合可得（2）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，因此， ， ， ，显然当 时， 不成立，（3）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，因此， ， ， ，显然当 时， 不成立.综合（1） （2） （3）可得： .21. （1）选修 4-2：矩阵与变换求矩阵 的特征值和特征向量.（2）选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆 的方程为 ，以极点为坐标原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 的参数方程 （是参数） ，若圆 与圆 相切，求实数的值.【答案】 （1）属于 的一个特征向量 ，属于 的一个特征向量为 ，（2） ，或 .【解析】试题分
18、析：（1）求得矩阵的特征多项式 ，令 ，求得 M 的特征值，分别将特征值代入二元一次方程组，即可求得其特征向量；（2）根据圆的极坐标方程和参数方程化圆方程为直角坐标方程，利用两圆相切即可求出.试题解析：（1）由 可得： ， .由 可得属于 的一个特征向量由 可得属于 的一个特征向量为（2） ： ，圆心 ，半径 ，： ，圆心 ，边境 .圆心距 ，两圆外切时， ， ；两圆内切时， ， .综上， ，或 .22. 一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的 ， ， ， ， 五种商品有购买意向，已知该网民购买 ， 两种商品的概率均为 ，购买 ， 两种商品的概率均为 ，购买 种商品的概率为
19、，假设该网民是否购买这五种商品相互独立.（1）求该网民至少购买 种商品的概率；（2）用随机变量 表示该网民购买商品的种数，求 的概率分布和数学期望.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）至少购买 2 种商品包括恰好购买 2 种商品及恰好购买 3 种商品，其中恰好购买3 种商品包含一种情形，而恰好购买 2 种商品包含 3 中情形，所求概率为这四种情形概率的和：（2）先确定随机变量 可能取值为 ,再分别求对应概率， （1）中已求出 ， ，只需再求 ， ，注意概率和为 1，最后利用数学期望公式求数学期望试题解析：解：（1）记“该网民购买 i 种商品”为事件 ，则： ,所以该网民至少购买 2
20、 种商品的概率为 答：该网民至少购买 2 种商品的概率为 （2）随机变量 的可能取值为 ,又 , , 所以 所以随机变量 的概率分布为：0 1 2 3故数学期望 考点：数学期望，概率分布23. 已知 （ ）是给定的某个正整数，数列 满足： ， ，其中 ， ， ， .（1）设 ，求 ， ， ；（2）求【答案】(1) , , (2) 【解析】试题分析：（1）由 得 ， ， ， ，求 ， ， ；（2）利用 ，写出 ， ， ，累乘法即可求出,再利用二项式定理求出和.试题解析：（1）由 得 ， ， ， ，即 ， ； ， ；（2）由 得 ， ， ， ，即 ， ，以上各式相乘得， ， ， ，点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用累积法，累加法，位相减法等方法求数列的和在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误
