1、丌丌 丌丌 丌丌 丌丌 丌丌 丌丌 丌丌 丌丌 丌丌丌丌 丌丌 丌丌 丌丌 丌丌 丌丌 丌丌 丌丌 丌丌丌丌 丌丌 丌丌 丌丌 丌丌 丌丌 丌丌 丌丌 丌丌保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学
2、院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学
3、院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学
4、院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报 保 山 学 院 学 报幂 指 函 数
5、 求 导 探 析杨 雄 袁 新 全（娄 底 职 业 技 术 学 院，湖 南 娄 底 4 1 7 0 0 0）摘 要 幂 指 函 数 求 导 是 常 用 对 数 求 导 法，除 了 对 数 求 导 法 外，探 索 了 偏 导 数 求 导、应 用 指 数 函 数 和 幂函 数 求 导 等 多 种 幂 指 函 数 求 导 方 法，进 而 进 一 步 推 导 出 一 元 幂 指 函 数 和 多 元 幂 指 函 数 的 求 导 公 式，为幂 指 函 数 求 导 提 供 参 考。关 键 词 幂 指 函 数；求 导；偏 导 数；微 分 中 值 定 理 中 图 分 类 号 O 1 文 献 标 识 码 A d
6、o i:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.1 6 7 4-9 3 4 0.2 0 2 3.0 2.0 0 7 文 章 编 号 1 6 7 4-9 3 4 0（2 0 2 3）0 2-0 0 3 8-0 6收 稿 日 期：2 0 2 2-0 5-2 3基 金 项 目：2 0 2 2 年 湖 南 省 社 会 科 学 成 果 评 审 委 员 会 课 题“新 时 代 高 职 公 共 基 础 课 合 力 育 人 研 究”（项 目 编 号：X S P 2 2 Y B C 0 5 4）。第 一 作 者 简 介：杨 雄（1 9 7 7），男，汉 族，湖 南 邵 阳 人，硕 士，副 教 授，研 究 方
7、 向 为 高 等 数 学 教 学 及 应 用。通 信 作 者：袁 新 全（1 9 6 7），男，汉 族，湖 南 新 化 人，硕 士，讲 师，研 究 方 向 为 高 等 数 学 教 学 及 应 用。一 般 情 况 下，对 于 幂 指 函 数 求 导，若 直 接 采 用 导 数 定 义 及 运 算 公 式 求 导，计 算 量 大，甚 至 不 能计 算，是 否 有 其 他 方 法 可 以 简 化 求 导，这 是 一 个 值 得 探 讨 的 问 题。其 中 常 用 的 方 法 是 采 用 对 数 求导 法，可 以 简 化 运 算 过 程，降 低 运 算 难 度，更 容 易 求 出 导 数。那 末 除
8、了 对 数 求 导 法，是 否 还 有 别 的方 法 或 公 式 进 行 幂 指 函 数 求 导，这 就 是 文 章 探 讨 的 问 题。当 然 在 整 个 求 导 过 程 中，会 用 到 指 数 函数 和 幂 函 数 等 基 本 初 等 函 数 的 求 导 公 式、复 合 函 数 的 求 导、隐 函 数 的 求 导、偏 导 数、微 分 中 值 定 理及 函 数 的 求 导 法 则 等。而 这 些 公 式 或 求 导 方 法 可 参 考 任 意 高 等 数 书 籍，幂 指 函 数 的 定 义 如 下。定 义 1 1 幂 指 函 数 是 指 数 和 底 数 都 是 变 量 的 函 数，形 如 f
9、(x)=u(x)v(x)（x D,D 是 数 集）的 函数 称 为 幂 指 函 数，其 中 u(x),v(x)都 是 D 上 的 函 数。1 一 元 幂 指 函 数 求 导 方 法1.1 应 用 对 数 求 导对 于 幂 指 函 数 y=uv（u 0)，其 中 u=u(x),v=v(x)都 是 可 导 函 数，对 幂 指 函 数 取 对 数 l n y=l n uv=v l n u，等 式 两 端 求 导 数1yy=v l n u+v1uu，解 方 程 并 把 原 式 代 入 得y=(v l n u+vuu)uv（1）这 种 求 导 方 法 称 为 对 数 求 导 法。对 数 求 导 法 适
10、用 于 求 幂 指 函 数 y=uv的 导 数 及 多 因 式 之积、商 和 开 根 号 的 导 数 2。案 例 1 求 y=xt a n x的 一 阶 导 数。解：运 用 对 数 法 求 导：取 对 数 l n y=l n xt a n x=t a n x l n x，等 式 两 端 求 导，则 有(l n y)=(t a n x l n x)，1yy=s e c2x l n x+t a n xx即 有：y=xt a n x(s e c2x l n x+t a n xx)杨 雄，袁 新 全：幂 指 函 数 求 导 探 析对 等 式 两 端 求 导 时，注 意 y 是 x 的 隐 函 数，因
11、此(l n y)=1yy，而 不 是(l n y)=1y，这 是 初 学 者 最易 出 错 的 地 方。1.2 变 形 成 指 数 形 式 求 导将 幂 指 函 数 y=uv（u 0)转 化 成 y=el n uv=ev l n u的 指 数 形 式 3，然 后 采 用 复 合 函 数 求 导 即 得（1）式，即 y=(ev l n u)=ev l n u(v l n u)=uv(v l n u+vuu)，对 数 求 导 和 变 形 成 指 数 形 式 求 导，两 种 方 法 的 本质 没 区 别，实 质 都 是 运 用 对 数 运 算，把 指 数 从 底 数 的 肩 上 拉 下 来，进 而
12、把 幂 形 式 转 换 成 乘 积 形 式，再 求 导。案 例 1 可 转 换 成 指 数 形 式 求 导：y=el n xt a n x=et a n x l n x，等 式 两 端 求 导，则 有y=(et a n x l n x)=xt a n x(t a n x)l n x+t a n x(l n x)=xt a n x(s e c2x l n x+t a n xx)1.3 应 用 偏 导 数 求 导利 用 偏 导 数 对 幂 指 函 数 y=uv（u 0)求 导，即d yd x=y ud ud x+y vd vd x=v uv-1 u+uv l n u v=uv(vuu+v l n
13、u)4 案 例 1 可 应 用 偏 导 数 求 导：d yd x=y ud ud x+y vd vd x=t a n x xt a n x-1 x+xt a n x l n x(t a n x)=t a n x xt a n xx+xt a n x l n x s e c2x=xt a n x(t a n xx+s e c2x l n x)1.4 应 用 指 数 函 数 和 幂 函 数 求 导对 幂 指 函 数 y=uv（u 0)求 导 时，可 以 分 别 假 设 u 或 v 为 常 数，则 幂 指 函 数 分 别 变 成 了 指 数函 数 或 幂 函 数。通 过 分 别 对 指 数 函 数
14、和 幂 函 数 求 导，再 求 和 即 可 得 幂 指 函 数 的 导 数。（）当 u 为 常 数，假 设 u=a，则 有 y=av(a 0)，应 用 指 数 函 数 及 复 合 函 求 导 公 式 求 导 可 得y=(av)=av l n a v（2）求 y=ax的 导 数 y=axl n a，这 里 注 意 v 是 关 于 x 的 函 数，所 以 y=av是 关 于 x 的 复 合 函 数，因 此求 y=av关 于 x 的 导 数，不 要 丢 掉 v 对 x 的 导 数，同 样 以 下 y=ub也 是 关 于 x 的 复 合 函 数。（）当 v 为 常 数，假 设 v=b，则 有 y=ub
15、（u 0)，应 用 幂 函 数 及 复 合 函 数 求 导 公 式 求 导 可 得y=(ub)=b ub-1 u（3）把（2）（3）式 右 边 相 加，并 把 a=u，b=v 代 入 可 得av l n a v+b ub-1 u=uv(v l n u(x)+vu u)发 现 这 个 求 导 的 公 式 与 前 面 是 一 致 的，进 而 可 得 定 理 1。定 理 1 幂 指 函 数 的 导 数 等 于 相 应 的 指 数 函 数 导 数 与 幂 函 数 导 数 的 和，即(uv)=uv l n u v+v uv-1 u=uv(l n u v+vu u)证 明：根 据 导 数 的 定 义 有y
16、=l i m x 0u(x+x)v(x+x)-u(x)v(x)x=l i m x 0u(x+x)v(x+x)-u(x+x)v(x)+u(x+x)v(x)-u(x)v(x)x=l i m x 0u(x+x)v(x+x)-u(x+x)v(x)x+l i m x 0u(x+x)v(x)-u(x)v(x)x=T1+T2-3 9第 4 2 卷 第 2 期 保 山 学 院 学 报 2 0 2 3 年 4 月其 中 T2=l i m x 0u(x+x)v(x)-u(x)v(x)x看 着 是 幂 函 数 的 导 数，只 要 证 明 T1=l i m x 0u(x+x)v(x+x)-u(x+x)v(x)x是 指
17、 数 函 数 导 数 即 可。因 为 设 1,2(x,x+x)，根 据 拉 格 朗 日 中 值 定 理，则 有u(x+x)=u(x)+u(1)x 或 u(x+x)=u(x)+u(2)x所 以T1=l i m x 0 u(x)+u(1)x v(x+x)-u(x)+u(2)x v(x)x又 由 于 根 据 二 项 式 定 理 有 u(x)+u(1)x v(x+x)=u(x)v(x+x)+v(x+x)u(x)v(x+x)-1u(1)x+o(x)u(x)+u(2)x v(x)=u(x)v(x)+v(x)u(x)v(x)-1u(2)x+o(x)进 而 有T1=l i m x 0 u(x)v(x+x)+v
18、(x+x)u(x)v(x+x)-1u(1)x+o(x)-u(x)v(x)+v(x)u(x)v(x)-1u(2)x+o(x)x=l i m x 0u(x)v(x+x)-u(x)v(x)x+l i m x 0v(x+x)u(x)v(x+x)-1u(1)x-v(x)u(x)v(x)-1u(2)x x=l i m x 0u(x)v(x+x)-u(x)v(x)x即 T1看 着 指 数 函 数 的 导 数，从 定 理 1 证 明 完 成。案 例 1 可 应 用 定 理 1 求 导 数（）假 设 y=xt a n x中 指 数 t a n x=b 是 常 数，则(xb)=b xb-1=bxxb（）假 设 y
19、=xt a n x中 底 数 x=a 是 常 数，则(at a n x)=at a n x l n a(t a n x)=at a n x l n a s e c2x两 式 相 加 y=bxxb+at a n x l n a s e c2x，再 把 a=x,b=t a n x 代 入 整 理 可 得：y=xt a n x(s e c2x l n x+t a n xx)1.5 幂 指 函 数 的 高 阶 导 数幂 指 函 数 的 高 阶 导 数 与 其 他 函 数 的 导 数 一 样 的 求 导，在 一 阶 导 数 的 基 础 上 再 求 导，就 是 二 阶导 数，以 此 类 推 可 得 三 阶
20、 以 上 的 导 数，这 里 计 算 y=uv（u 0)的 二 阶 导 数。y=(uv)=uv(v l n u+vuu)=(uv)(v l n u+vuu)+uv(v l n u+vuu)=uv(v l n u+vuu)2+uv(v l n u+v uu+v u-v u u2u+vuu)案 例 1 的 二 阶 导 数 是 在 一 阶 导 数 的 基 础 上 再 进 一 次 求 导，即y=xt a n x(s e c2x l n x+t a n xx)=(xt a n x)(s e c2x l n x+t a n xx)+xt a n x(s e c2x l n x+t a n xx)=xt a
21、 n x(s e c2x l n x+t a n xx)2+xt a n x(s e c2x)l n x+s e c2x(l n x)+(t a n xx)=xt a n x(s e c2x l n x+t a n xx)2+xt a n x(2 s e c2x t a n x l n x+1xs e c2x+x s e c2x-t a n xx2)2 一 元 多 重 幂 指 函 数 的 求 导2.1 一 元 多 重 幂 指 函 数 求 导 过 程经 常 遇 到 y=xxx这 样 多 重 幂 指 函 数 求 导，当 然 可 以 根 据（1）式 应 用 对 数 求 导 法 进 行 求 导。-4
22、0杨 雄，袁 新 全：幂 指 函 数 求 导 探 析案 例 2 求 y=xxx(x 0,x 1)的 导 数。解：取 对 数 并 运 算 得 l n y=xxl n x，等 式 两 边 取 导 数 得y y=(xx)l n x+xx(l n x)又 因 为(xx)=(l n x+1)xx，所 以 y=(l n x+1)xxl n x+xx-1 xxx此 题 还 有 没 有 其 他 方 法 求 解，经 过 探 索，由 偏 导 数 对 幂 指 函 数 求 导 及 复 合 函 数 求 导 法 则，可得 出 多 重 幂 指 函 数 求 导 公 式，进 而 对 多 重 幂 指 函 数 的 求 导 进 一
23、步 地 推 广，则 可 得 出 n 阶 幂 指 函 数求 导 定 理。定 理 2 设 n 阶 幂 指 函 数 为 y=u1(x)u2(x)u n(x)（ui(x)0，且 ui(x)1,i=1,2,n-1），且 ui(x)都可 导，则 有 y=i=1n y uid uid x。案 例 2 第 二 种 解 法：假 设 u1=x,u2=x,u3=x，则 y=xxx=u1u2u 3，由 定 理 2 可 得d yd x=y u1d u1d x+y u2d u2d x+y u3d u3d x=uu32uuu 32-11 1+uuu 321l n u1 u3 uu3-12 1+uuu 321l n u1 u
24、u32 l n u2 1=xxxxx-1+xxxl n x x xx-1+xxxl n x xx l n x=xxx xx-1+xxl n x(1+l n x)案 例 3 已 知 y=(x3)(c o s x)x，求 y 解：设 u1=x3,u2=c o s x,u3=x，则 有 y=uuu 321根 据 定 理 2 有d yd x=y u1d u1d x+y u2d u2d x+y u3d u3d x=uu32uuu 32-11 3 x2+uuu 321l n u1 u3 uu3-12(-s i n x)+uuu 321l n u1 uu32l n u2=(c o s x)x(x3)(c o
25、 s x)x-13 x2-(x3)(c o s x)xl n x3 x(c o s x)x-1s i n x+(x3)(c o s x)xl n x3(c o s x)xl n c o s x=(x3)(c o s x)x(c o s x)x(3x-x s i n xc o s xl n x3+l n x3l n c o s x)根 据 以 上 解 题 过 程，可 以 得 到 更 直 接 的 多 重 幂 指 函 数 的 求 导 公 式，如（4）式 和（5）式，并 且 可以 直 接 代 入 求 出 相 应 的 导 数。定 理 3 一 元 幂 指 函 数 y=uuu 321(ui 0,i=1,2,
26、3 且 可 导）的 求 导 公 式 是y=(u 1u2+u1l n u1 u 2 u3+u1l n u1 u2l n u2 u 3)uu3-12uuu 32-11（4）当 x3=1 时，代 入 上 式 可 得 y=(u 1u2u-11+l n u1 u 2)uu21，则 变 成（1）式。若 幂 指 函 数 变 成 四重，即 y=uuuu 4321，则 其 求 导 公 式 为y=uuuu 432-11uuu 43-12(u 1u2+u1l n u1 u 2uu43+u1l n u1 u2l n u2 u 3uu4-13 u4+u1l n u1 u2l n u2 uu43l n u3 u 4)（5
27、）当 x4=1 时，代 入（5）式 可 得（4）式，证 明 可 由 对 数 求 导 法 可 得，这 里 不 再 陈 述。例 3 第 三 种 解 法：直 接 把 u1=u2=u3=x 代 入（4）式 可 得：y=(x+x2l n x+x2l n2x)xx-1xxx-1=xx-1+xxl n x(1+l n x)xxx2.2 一 元 多 重 幂 指 函 数 求 导 公 式 的 推 导 过 程以 上 多 重 幂 指 函 数 求 导 公 式（4）式 和（5）式，可 以 按 照 以 下 方 法 求 出。表 1 多 重 幂 指 函 数 推 导 过 程 表多 重 幂 指 函 数一 重 y=u1二 重 y=u
28、u21三 重 y=uuu321四 重 y=uuuu4321对 数 求 导y=u 1y y-1=u 2l n u1+u2(l n u1)y y-1=(uu32)l n u1+uu32(l n u1)y y-1=(uuu432)l n u1+uuu432(l n u1)下 标 升 级 代 入y=u 2y=u 3l n u2+u3(l n u2)uu32y=(uu43)l n u2+uu43(l n u2)uuu432y=(uuu543)l n u2+uuu543(l n u2)uuuu5432-4 1第 4 2 卷 第 2 期 保 山 学 院 学 报 2 0 2 3 年 4 月3 多 元 幂 指
29、函 数 求 导 方 法定 义 2 5 若 有 函 数 z=u(x,y)v(x,y)，其 中 u(x,y)和 v(x,y)存 在 一 阶 连 续 偏 导 数，则 有：z x=v(x,y)u(x,y)v(x,y)-1 u x+u(x,y)v(x,y)l n u(x,y)v x（6）z y=v(x,y)u(x,y)v(x,y)-1 u y+u(x,y)v(x,y)l n u(x,y)v y（7）证 明：z(x+x,y)-z(x,y)=u(x+x,y)v(x+x,y)-u(x,y)v(x,y)=u(x+x,y)v(x+x,y)-u(x,y)v(x+x,y)+u(x,y)v(x+x,y)-u(x,y)v
30、(x,y)（8）其 中（8）式 前 项 相 当 于 指 数 v(x+x)不 变，则 由 拉 格 朗 日 中 值 定 理、复 合 函 数 求 导 法 则 及 幂函 数 求 导 公 式 可 得：u(x+x,y)v(x+x,y)-u(x,y)v(x+x,y)=v(x+x,y)u(,y)v(x+x,y)-1u x(,y)x,(x,x+x)（8）式 第 二 项 相 当 于 底 数 u(x,y)不 变，则 由 微 分 中 值 定 理、复 合 函 数 求 导 法 则 及 指 数 函 数 求导 公 式 可 得：u(x,y)v(x+x,y)-u(x,y)v(x,y)=u(x,y)v(,y)l n u(x,y)v
31、 x(,y)x,(x,x+x)进 而 有：l i m x 0z(x+x,y)-z(x,y)x=l i m x 0 v(x+x,y)u(,y)v(x+x,y)-1u x(,y)x+u(x,y)v(,y)l n u(x,y)v x(,y)x x=v(x,y)u(x,y)v(x,y)-1u x(x,y)+u(x,y)v(x,y)l n u(x,y)v x(x,y)其 中，当 x 0 时，有 x,x。故（6）式 成 立，同 理 可 证 明（7）式。当 z=u(x)v(x)为 一 元 幂 指 函 数，则（6）式 变 为d zd x=v(x)u(x)v(x)-1u(x)+u(x)v(x)l n u(x)v
32、(x)这 就 是（1）式。幂 指 函 数 更 一 般 化，即 若z=u(x1,x2,xn)v(x1,x2,xn)(u(x1,x2,xn)0,u(x1,x2,xn)1,n z+)且 u(x1,x2,xn),v(x1,x2,xn)对 于 每 个 变 量 都 存 在 一 阶 连 续 偏 导 数，则 有 z xi=v uv-1 u xi+uv l n u v xi(i=1,2,3,n)（9）当（9）式 底 数 和 指 数 的 变 量 个 数 不 相 等 时，则 有定 理 4 设 多 元 幂 指 函 数 式 为z=u(x1,x2,xn)v(x1,x2,xm)(u(x1,x2,xn)0,u(x1,x2,x
33、n)1,n,m z+)且 u(x1,x2,xn),v(x1,x2,xm)对 于 每 个 变 量 都 存 在 一 阶 连 续 偏 导 数，则 有 z xi=v uv-1 u xi+uv l n u v xi(i=1,2,3,k=m a x n,m)（1 0）其 中，当 n m 时，v xi=0(i=m+1,n)；当 m n 时，u xi=0(i=n+1,m)案 例 4 已 知 z=(x2 0 2 2+ey)y3，求 z x,z y解：设 z=u(x,y)v(x,y)，其 中 u(x,y)=x2 0 2 2+ey,v(x,y)=y3根 据（6）式 或（1 0）式，则 有 z x=y3(x2 0 2
34、 2+ey)y3-1 2 0 2 2 x2 0 2 1+(x2 0 2 2+ey)y3l n(x2 0 2 2+ey)0=2 0 2 2 x2 0 2 1y3(x2 0 2 2+ey)y3-1根 据（7）式 或（1 0）式，则 有-4 2杨 雄，袁 新 全：幂 指 函 数 求 导 探 析 z y=y3(x2 0 2 2+ey)y3-1ey+(x2 0 2 2+ey)y3l n(x2 0 2 2+ey)3 y24 结 论幂 指 函 数 求 导，对 于 初 学 者 总 是 感 到 迷 惑，因 此 要 引 导 学 生 反 复 思 考，掌 握 幂 指 函 数 求 导 的内 涵。当 然 作 为 一 个
35、教 师，要 反 复 提 炼 幂 指 函 数 的 求 导 方 法，给 予 学 生 开 阔 视 野。文 章 应 用 多 种方 法 探 讨 了 幂 指 函 数 的 求 导 过 程，并 首 先 引 用 实 际 案 例 对 一 元 幂 指 函 进 行 了 求 导，再 引 用 实 际 案例 对 一 元 多 重 幂 指 函 进 行 求 导，最 后 文 章 又 对 多 元 幂 指 函 数 的 求 导 进 行 了 分 析，发 现 多 元 幂 指 函数 的 求 导 有 他 的 规 律 性，给 出 了 求 导 公 式，并 推 广 到 多 元 幂 指 函 数 的 一 般 化 求 偏 导 公 式。因 此，在 教 学 或
36、 学 习 中 涉 及 到 幂 指 函 数 求 导 的 问 题，可 以 结 合 文 中 阐 述 的 定 理 进 行 计 算。参 考 文 献：1 同 济 大 学 数 学 教 研 室.高 等 数 学（上 册）M.北 京：高 等 教 育 出 版 社，1 9 9 6：1 3 1.2 薛 利 敏.高 等 数 学 M.北 京：教 育 科 学 出 版 社，2 0 1 2：4 5.3 李 高，常 秀 芳.幂 指 函 数 的 研 究 J.山 西 大 同 大 学 学 报（自 然 科 学 版)，2 0 1 9，3 5（0 2）：2 1-2 2.4 刘 亚 轻，纵 封 磊.幂 指 函 数 的 求 导 与 应 用 J.教
37、 育 教 学 论 坛，2 0 2 0（4 5）：2 9 1-2 9 2.5 沈 浮，王 金 山，陈 之 宁.关 于 一 个 求 多 元 幂 指 函 数 偏 导 数 公 式 的 注 记 J.黑 河 学 院 学 报，2 0 1 0，1（0 2）：1 2 6-1 2 8.T h e D e r i v a t i o n o f P o w e r E x p o n e n t i a l F u n c t i o nY A N G X i o n g,Y U A N X i n q u a n(L o u d i V o c a t i o n a l a n d T e c h n i c
38、a l C o l l e g e,L o u d i H u n a n 4 1 7 0 0 0,C h i n a)A b s t r a c t:T h e d e r i v a t i o n o f p o w e r i n d e x f u n c t i o n i s a c o m m o n l y u s e d l o g a r i t h m i c d e r i v a t i o n m e t h o d.I na d d i t i o n t o t h e l o g a r i t h m i c d e r i v a t i o n m e
39、 t h o d,t h i s p a p e r e x p l o r e s a v a r i e t y o f d e r i v a t i o n m e t h o d s o f p o w e r i n d e x f u n c t i o n,s u c h a s p a r t i a l d e r i v a t i v e d e r i v a t i o n,a p p l i c a t i o n o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n a n d p o w e rf u n c t i o n d
40、e r i v a t i o n,a n d f u r t h e r d e d u c e s t h e d e r i v a t i o n f o r m u l a s o f u n i v a r i a t e p o w e r i n d e x f u n c t i o n a n dm u l t i v a r i a t e p o w e r i n d e x f u n c t i o n,s o a s t o p r o v i d e r e f e r e n c e f o r t h e d e r i v a t i o n o f p o w e r i n d e x f u n c t i o n.K e y w o r d s:P o w e r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n;D e r i v a t i o n;P a r t i a l d e r i v a t i v e;D i f f e r e n t i a l m e a n v a l u e t h e o r e m-4 3
