1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义第二章 2.2 平面向量的线性运算学习目标1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义 .2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算 .3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 向量数乘的定义思考 1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？答案 向量 .思考 2 向量 3a， 3a与 a从长度和方向上分析具有怎样的关系？答案 3a的长度是 a的长度的 3倍，它的方向与向量 a的方向相同 . 3a的长度是 a的长度的 3倍，它的方向与向量 a
2、的方向相反 .思考 3 a的几何意义是什么？答案 a的几何意义就是将表示向量 a的有向线段伸长或压缩 .当 | 1时，表示 a的有向线段在原方向 ( 0)或反方向 ( 0)上伸长为原来的 |倍 .梳理 向量数乘运算实数 与向量 a的积是一 个 ， 这种运算叫做向量 的 ， 记 作 ，其 长度与方向规定如下：(1)|a| .特别地，当 0或 a 0时， 0a 或 0 .向量 数乘 a0 0|a|(2)a (a 0)的方向当 时，与 a方向相同 ；当 时，与 a方向相反 .00知识点二 向量数乘的运算律思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？答案 结合律，分配律 .梳理 向量数乘运算律(1
3、)(a) ()a；(2)( )a a a；(3)(a b) a b.知识点三 向量共线定理思考 1 若 b 2a， b与 a共线吗？答案 根据共线向量及向量数乘的意义可知， b与 a共线 .如果有一个实数 ，使 b a(a 0)，那么 b与 a是共线向量；反之，如果b与 a(a 0)是共线向量，那么有且只有一个实数 ，使得 b a.思考 2 若 b与非零向量 a共线，是否存在 满足 b a？若 b与向量 a共线呢？答案 若 b与非零向量 a共线，存在 满足 b a；若 b与向量 a共线，当 a 0， b 0时，不存在 满足 b a.梳理 (1)向量共线定理向量 a (a 0)与 b共线，当且仅
4、当有唯一一个实数 ， 使 .(2)向量的线性运算向量 的 、 、 运算 统称为向量的线性运算，对于任意向量 a， b，以及任意实数 ， 1， 2，恒有 (1a2b) .b a加 减 数乘1a2b思考辨析 判断正误 1.若向量 b与 a共线，则存在唯一的实数 使 b a.( )答案提示提示 当 b 0， a 0时，实数 不唯一 .2.若 b a，则 a与 b共线 .( )提示 由向量共线定理可知其正确 .3.若 a 0，则 a 0.( )提示 若 a 0，则 a 0或 0.题型探究类型一 向量的线性运算9a答案解析(2)若 3(x a) 2(x 2a) 4(x a b) 0，则 x _.4b 3
5、a解析 由已知得 3x 3a 2x 4a 4x 4a 4b 0，所以 x 3a 4b 0，所以 x 4b 3a.反思与感悟 向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的 “ 同类项 ” 、 “ 公因式 ” 是指向量，实数看作是向量的系数 .(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算 .跟踪训练 1 计算： (a b) 3(a b) 8a.解答解 (a b) 3(a b)
6、 8a (a 3a) (b 3b) 8a 2a 4b 8a 10a 4b.类型二 向量共线的判定及应用命题角度 1 判定向量共线或三点共线例 2 已知非零向量 e1， e2不共线 .解答解 b 6a， a与 b共线 .证明 A， B， D三点共线 .反思与感悟 (1)向量共线的判断 (证明 )是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线 .(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用 b a(a 0)，还要说明向量 a， b有公共点 .答案解析A， B， D A， B， D三点共线 .命题角
7、度 2 利用向量共线求参数 值例 3 已知非零向量 e1， e2不共线，欲使 ke1 e2和 e1 ke2共线，试确定 k的值 .解答解 ke1 e2与 e1 ke2共线， 存在实数 ，使 ke1 e2 (e1 ke2)，则 (k )e1 (k 1)e2， k 1.反思与感悟 利用向量共线定理，即 b与 a(a 0)共线 b a，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值 .跟踪训练 3 设两个不共线的向量 e1， e2，若 a 2e1 3e2， b 2e1 3e2，c 2e1 9e2，问是否存在实数 ， ，使 d a b与 c共线？解答解 d (2e1 3e2) (2e1 3e2
8、) (2 2)e1 (3 3)e2，要使 d与 c共线，则存在实数 k，使得 d kc，即 (2 2)e1 ( 3 3)e2 2ke1 9ke2.因为 e1与 e2不共线，故存在实数 和 ，使得 d与 c共线，此时 2.类型三 用已知向量表示其他向量答案解析解析 示意图如图所示，解答达标检测1.下列各式计算正确的有 (1)( 7)6a 42a；(2)7(a b) 8b 7a 15b；(3)a 2b a 2b 2a；(4)4(2a b) 8a 4b.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案1 2 3 4解析5解析 (1)(3)(4)正确， (2)错， 7(a b) 8b 7a 7b 8b 7a b.1 2 3 4 答案解析53.设 e1， e2是两个不共线的向量，若向量 m e1 ke2 (k R)与向量 ne2 2e1共线，则 A.k 0 B.k 1C.k 2 D.k答案1 2 3 4 解析5 n 2m，此时， m， n共线 .
