1、 长沙市一中 2017 届高三月考试卷（八）数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数 （其中 为虚数单位） ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】复数 ，其共轭故选：D2. 已知全集 ,集合 ，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】集合 ， ， ， ，故选：B3. 从 名学生中选取 名学生参加数学竞赛，若采取下面的方法选取：先用简单随机抽样从 人中剔除 人，剩下的 人再按系统抽样的方法抽取 人，则在 人中，每人入选的概率（ ）A
2、. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等，且为 D. 都相等，且为【答案】C【解析】试题分析：从 人中剔除 人，每人不被剔除的概率是 ，剩下的人抽取 人，每人被抽到的概率是 ，因此在 人中，每人入选的概率是，故选 C.考点：抽样方法4. 已知命题 是简单命题，则“ 是假命题”是“ 是真命题”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由 是假命题，可知： 是真命题，但 的真假无法判断，所以充分性不具备；由 是真命题，可知： 与 均为真命题，所以必要性具备.故选：B5. 已知 , ，若 是以 为直角点的等腰直角三角形，则 的面
3、积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】向量（ ）与（ ）垂直且模相等，以向量 、 为邻边的平行四边形为正方形，| |= | |= ，即| |=| |= ，S OAB = | | |=1故选：A6. 下边程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法” ，执行该程序框图（图中“ ”表示 除以 的余数） ，若输入的 分别为 ，则输出的 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】执行程序，可得m=385，n=105执行循环体，r=70，m=105，n=70不满足条件 r=0，执行循环体，r=35，m=70，n=35不满足条件 r=0，执行循环体，r=0，m=35，n=0
4、满足条件 r=0，退出循环，输出的 m 值为 35，故选：B7. 若将函数 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变） ，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，若 在 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据函数图象的变换得出：函数 y=f（x）=4sin（2x ）+a，构造函数：g（x）=3sin（2x ） ，x ，y=a，y=f（x）+a 在 x 上有两个不同的零点，g（x）=4sin（2x ） ，x ，y=a，有 2 个交点， 2x 利用正弦函数图象性质得出： a4，即实数 a 的取值范围是：故选：D点睛：已知函数有零点求参
5、数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解8. 已知变量 满足 ，若目标函数 取到最大值 ，则 的展开式中 的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为 （当且仅当时取等号）,所以 .在二项式 中,不妨设 ,则,记 ,令 得,则 的系数为 ,应选 B.考点：线性规划和二项式定理【易错点晴】本题以线性规划的知识为背景考查的是二项式展开式中的项的系数的求法问题
6、.求解时充分利用题设中所提供的有效信息,对线性约束条件进行了巧妙合理的运用,使得本题巧妙获解.解答本题的关键是求出参数 的值.本题的解答方法是巧妙运用待定系数法和不等式的可加性,将线性约束条件进行了合理的巧妙地运用,避免了数形结合过程的烦恼,直接求出的最大值,从而确定了参数 的值.9. 已知 ，若点 是抛物线 上任意一点，点 是圆 上任意一点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】抛物线 的焦点 F ,准线方程为 ，圆 的圆心为 ，半径为 1， ，由抛物线定义知：点 P 到直线 的距离 d= 的最小值即 到准线距离： 的最小值为故选：B10. 某四棱锥的三视图如图所示，其
7、俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的外接球体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示，四棱锥 外接球的球心为 的中点，外接球的半径为 ，所以外接球的体积为故选：C点睛：求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解11. 已知 ，直线 与函数 图像有 个不同的交点，记 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 结合 的对称性可求得，故选：A12. 已知定义在 上的函数 和 分别满足 ，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
8、， ， ，设 ，由于 ， 恒成立，所以 单调递减， ， ，故有 ，即 ，因此故选：B点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造 ,（2）若 ，就构造 ， （3） ，就构造， （4） 就构造 ，等便于给出导数时联想构造函数.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 三棱柱 中，若侧棱 底面 ，则异面直线与 所成的角等于_.【答案】【解析】如图可补成一个正方体， ，异面直线 与 所成的角等于 ，又 为等边三角形，异面直线 与 所成的角等于故答案为：14. 在平面直角坐标系 中，将曲线 ，直线 ，直线 及 轴
9、所围成的面积，据此类比：将曲线 ，直线 ，直线 及 轴所围成的面积为_.【答案】【解析】所求面积故答案为：15. 已知数列 的首项 ，前 项和为 ，且满足 ，则满足的 的最大值是_.【答案】【解析】当 时， ，得 ，当 时，有 ，两式相减得 ,考虑到 ，所以数列 是等比数列，故有因此原不等式化为 ，化简得 ，得 ，所以 n 的最大值为 9.16. 已知函数 与函数 的图像共有 个公共点：，则 _.【答案】三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 的对边分别为（）若 成等比数列， ，求 的值；（）若 等差数列，且 ，设 的周长
10、为 ，求 的最大值.【答案】() ;()6.【解析】试题分析：（1）由题意易得： ，在结合切化弦 ，即可得到结果；（2）由角 成等差数列，得 ，再由正弦定理得， 周长 ，进而可得 的最大值.试题解析：（）因为 ，所以 ，由 成等比数列，得 ，又由正弦定理，得 ,所以（）由角 成等差数列，得 ，又 ，有正弦定理 ，及 ，得 ，周长 ，当 即 时 ，所以 周长 的最大值为18. 某商场举行促销活动，有两个摸奖箱， 箱内有一个“ ”号球、两个“ ”号球、三个“ ”号球、四个无号球， 箱内有五个“ ”号球、五个“ ”号球，每次摸奖后放回，消费额满 元有一次 箱内摸奖机会，消费额满 元有一次 箱内摸奖机
11、会，摸得有数字的球则中奖， “ ”号球奖 元、 “ ”号球奖 元、 “ ”号球奖 元，摸得无号球则没有奖金.（）经统计，消费额 服从正态分布 ，某天有 为顾客，请估计消费额 （单位：元）在区间 内并中奖的人数；（）某三位顾客各有一次 箱内摸奖机会，求其中中奖人数 的分布列；（）某顾客消费额为 元，有两种摸奖方法，方法一：三次 箱内摸奖机会；方法二：一次 箱内摸奖机会，请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.附：若 ，则【答案】()286;()答案见解析；()这位顾客选方法二所得的期望值较大.【解析】试题分析：（）依题意得 =150， 2=625，得 =25，100=2，消费额 X在区间
12、（100，150内的顾客有一次 A 箱内摸奖机会，中奖率为 0.6，人数约为1000P（2X） ，可得其中中奖的人数（）三位顾客每人一次 A 箱内摸奖中奖率都为 0.6，三人中中奖人数 服从二项分布B（3，0.6） ， ， （k=0，1，2，3） ，即可得出（）利用数学期望的计算公式即可得出试题解析：（）依题意得 ，得 ，消费额 在区间 内的顾客有一次 箱内摸奖机会，中奖率为 ，人数约为 人，其中中奖的人数约为 人，（）三位顾客每人一次 箱内摸奖中奖率都为 ，三人中中奖人数 服从二项分布故 的分布列为（） 箱摸一次所得奖金的期望值为 ，想摸一次所得奖金的期望值为 ，方法一所得奖金的期望值为 ，
13、方法二所得奖金的期望值为 ，所以这位顾客选方法二所得的期望值较大.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量
14、，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.19. 在边长为 的菱形 中， ,点 分别是边 的中点， ,沿将 翻折到 ，连接 ,得到如图的五棱锥，且（）求证：平面 平面 ；（）求直线 与平面 所成的角的正弦值.【答案】()证明见解析；() .【解析】试题分析：（1）要证明平面 平面 ，即证明 平面 即可；（2）利用空间向量法，求出平面 的一个法向量，代入公式即可得到直线 与平面 所成的角的正弦值.试题解析：（）因为点 分别是边 的中点，所以 ,因为菱形 的对角线互相垂直，所以 ,因为 平面 平面 ,所
15、以 平面 ,又因为 平面 ，所以平面 平面 .（）设 ,连接 为等边三角形，,在 中， ，在 中， ,平面 ,以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 ，则 ，设平面 的一个法向量为 ，由 得 ，令 ，得 ，设直线 与平面 所成的角为 ，则点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 如图，曲线 由曲线 和曲线 组成，其中点 为曲线 所在圆锥曲线的焦点，点 为曲线 所在圆锥曲线的焦点.（）若 ，求曲线 的方程；
16、（）如图，作直线 平行于曲线 的渐近线，交曲线于点 ，求证：弦 的中点 必在曲线 的另一条渐进线上；（）对于（）中的曲线 ,若直线 过点 交曲线 于点 ，求 与 面积之和的最大值.【答案】() 和 ；()证明见解析；() .【解析】试题分析：（1）由已知条件布列关于 的方程组，即可得到曲线 的方程；（2）设直线 代入 ，得到 ，从而可得 ，所以弦 的中点 必在曲线 的另一条渐进线上；（3）由题意可知： 和 面积之和等于 面积的两倍，利用设而不求法表示 ，整体换元结合均值不等式即可求得面积的最大值.试题解析：（） ，则曲线的方程为 和（）曲线 的渐近线为 ，如图，设直线 ，则 ，设点 ，则 ，即
17、点 在直线 上.（）因为 的中点为原点 ，所以 和 面积之和等于 面积的两倍，由（）知，曲线 ，点 ，设直线 的方程为 ，设 由韦达定理： ，所以 ，到直线 距离 ，令 ，当且仅当 即 时等号成立，所以 时，与 面积之和的最大值为21. 已知函数 .（）若 在区间 上有极值，求实数 的取值范围；（）若 有唯一的零点 ，试求 的值.（注： 为取整函数，表示不超过 的最大整数，如 ；以下数据供参考：）【答案】() ；() .【解析】试题分析：（1）求出 f（x）的导数，令 h（x）=2x 3ax2，x（0，+） ，求出导数，讨论 a 的符号，判断单调性，即可得到所求 a 的范围；（2）由（1）可知
18、：f（1）=3知 x（0，1）时，f（x）0，则 x01，讨论 f（x）在 x1 的单调性，再由零点的定义和极值点的定义，可得 x0的方程，构造函数 ，判断单调性，由零点存在性定理知 t（2）0，t（3）0，即可得到所求值试题解析：（）函数 的定义域为 ，令 ，则 ，当 时， 恒成立， 在 上为增函数，又 函数 在 内有一个零点 ，且当 时， 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 在区间 内有极小值.当 时， ，即 时， 恒成立，函数 在 单调递减，此时函数 无极值，综上可得： 在区间 内有极值时实数 的取值范围是 ，（）当 时， 得 ，不满足定义域， 不存在.当 时，由（）知：
19、若 有唯一的零点 为极小值点，所以 ，当 时，函数 的定义域为 ，由（）可知： 知 时，又 在区间 上只有一个极小值点记为 ，且 时， 函数 单调递减，时， ，函数 单调递增，由题意可知： 即为 ，消去可得： ，即 ，令 ，则 在区间 上单调递增，又 ，由零点存在性定理知综上可得：请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 经过点 ，其倾斜角为 ，在以原点 为极点， 轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位） ，曲线 的极坐标方程为（）若直线 与曲线 有公共点，求 的取值范围；（）设 为曲线 上任
20、意一点，求 的取值范围 .【答案】() ()【解析】试题分析：（）由直线 l 经过点 P（1，0） ，且倾斜角为 ，可得直线 l 的参数方程，利用互化公式可得 C 的直角坐标方程由直线 l 与曲线 C 有公共点，可得，解出即可得出的取值范围；（）设 M（x，y）为曲线 C 上任意一点，利用参数方程为 （ 为参数） ，结合三角函数知识求 的取值范围试题解析：（） 曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ，直线 经过点 ，其倾斜角为 ， 直线 的参数方程为 （ 为参数） ，将 ，代入 整理得 ，直线 与曲线 有公共点， 即 ，的取值范围是（）曲线 的直角坐标方程为 可化为 ，其参数方程为
21、（ 为参数） ，为曲线 上任意一点，其中 ，的取值范围是23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数（）当 时，求 的解集；（）若不等式 的解集包含 ，求 的取值范围.【答案】() ()【解析】试题分析：（1）当 a=1 时，不等式即 ，利用绝对值的意义求得它的解集（2）不等式即|xa|3x，分类讨论求得它的解集，再根据的解集包含x|x1，求得 a 的范围，综合可得结论试题解析：（） 时，原不等式可化为 ，当 时，原不等式可化为 ，即 ，此时，不等式的解集为 ，当 ，原不等式化为 ，即 ，此时，不等式的解集为 ，当 时，原不等式化为 ，即 ，此时，不等式的解集为 ，综上，原不等式的解集为（）不等式 的解集包含 ，等价于 ，对 恒成立，即 对 恒成立，所以 ，即 对 恒成立，故 的取值范围为点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
