1、1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积,一,二,三,一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积 【问题思考】 1.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是什么? 提示:直棱柱的侧面展开图是一个矩形; 正棱锥的侧面展开图是若干个全等的等腰三角形; 正棱台的侧面展开图是若干个全等的等腰梯形. 2.填写下表:,一,二,三,一,二,三,3.斜棱柱的侧面展开图是什么?它的侧面积如何求解? 提示:斜棱柱的侧面展开图是由一些平行四边形连接起来的不规则图形,它的侧面积等于各个侧面面积之和,也等于直截面(与侧棱垂直相交的截面)的周长与侧棱长的乘积.,一,二,三,4.做一做:一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其主视图如
2、图所示,则该四棱锥的侧面积是( ),解析:由题意可知该四棱锥为正四棱锥,底面边长为2,高为2,答案:B,一,二,三,二、圆柱、圆锥的侧面积 【问题思考】 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么? 提示:这三类几何体的侧面均是沿其母线割开,分别得到矩形,扇形,扇环. 2.填写下表:,一,二,三,3.圆台的侧面积公式如何推导? 提示:圆台的侧面展开图是一个扇环,它的侧面积可以利用大扇形与小扇形面积作差推出.(S圆台侧=(r1+r2)l,其中r1,r2分别是圆台上、下底面圆的半径,l为圆台的侧面母线长) 4.做一做:已知矩形的边长分别为1和2,若分别以这两边所在直线为轴旋转,所形成几何体的侧面积之比
3、为 ( ) A.12 B.11 C.14 D.13 解析:以长度为1的边所在直线为轴旋转得到的圆柱的底面半径为2,母线长为1,其侧面积S1=221=4; 以长度为2的边所在直线为轴旋转得到的圆柱的底面半径为1,母线长为2,其侧面积S2=212=4.故S1S2=11. 答案:B,一,二,三,三、球的表面积 【问题思考】 1.球的表面积能用展开的方法求得吗? 提示:不能.球的表面积公式推导需要借助后续的知识得以解决. 2.填空:S球=4R2(R为球的半径). 3.做一做:长方体的体对角线长为2 ,若长方体的八个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是 . 答案:12,一,二,三,思考辨析 判断下列
4、说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)侧面积公式S棱柱侧=cl(其中c为底面周长,l为棱柱侧棱长)仅适用于正棱柱. ( ) (2)若圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,则一定有S圆锥侧=rl. ( ) (3)正棱锥侧面积公式S正棱锥侧= ch中c为底面周长,而h为正棱锥的高. ( ) (4)如果一个球的表面积变为原来的9倍,那么对应的球的半径变为原来的3倍. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,棱柱、棱锥、棱台的面积问题 【例1】如图所示,正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30,求该正四棱锥的侧面积
5、和表面积.思路分析:根据多面体的侧面积公式,必须求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高,我们可以把问题转化到三角形内加以分析求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解:正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成一个RtPOE. 因为OE=2 cm,OPE=30,S正四棱锥表=S正四棱锥侧+S正四棱锥底=32+44=48(cm2). 反思感悟对于多面体,只有直棱柱,正棱锥和正棱台可直接用公式求侧面积,其余多面体的侧面积要先把每个侧面积求出来再相加.求解时还要注意区分是求侧面积还是表面积.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练1直平行六面体ABCD-ABCD的底面是菱形
6、,两个对角面DBBD,ACCA的面积分别为Q1,Q2,求直平行六面体的侧面积. 解:如图所示,设底面边长为a,侧棱长为h,两条底面对角线的长分别为c,d,即BD=c,AC=d,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,圆柱、圆锥、圆台的面积问题 【例2】 圆锥的底面直径为6,高为4,则它的侧面积为 ( ) A.12 B.24 C.15 D.30 解析:作圆锥轴截面如图,高AD=4,底面半径CD=3,则母线AC=5,所以S侧=35=15.答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式:S圆柱侧=2rl,S圆锥侧=rl,S圆台侧=(r1+r2)l,应的
7、圆台就转化为圆锥,而当r1=r2=r时,相应的圆台就转化为圆柱,相应的侧面积公式也随之变化. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的变化关系为,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,2.对于圆锥还要明确如下结论: (1)圆锥的侧面展开图是扇形. (2)圆锥的底面周长扇形的弧长. (3)圆锥的母线长扇形的半径.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练2已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面面积是 .,解析:如图,设圆锥底面半径为r,母线长为l,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,球的表面积 【例3】 (1)用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为,则球的表面
8、积为 . (2)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为 .,答案:(1)8 (2)3 反思感悟1.当球半径未知时,要根据已知条件求得球半径,球内的计算一般要用到轴截面及勾股定理; 2.当几何体用三视图给出数据时,一定要把三视图与还原后的几何体的对应关系弄清楚.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,将本例3(2)中几何体的三视图改为如图所示的三视图,其中俯视图与左视图均为半径是2的圆,则这个几何体的表面积是多少?,答案:16,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,球的切接问题 【例4】 已知圆台内有一表面积为144的内切球,如果圆台的下底面与上底面半径之差为5,求圆台的表面积. 解:其
9、轴截面如图所示,设圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,母线长为l,球半径为R,则r2-r1=5,母线l=r1+r2. 因为4R2=144,所以R=6. 又l2=(2R)2+(r2-r1)2, 所以(r1+r2)2=(2R)2+(r2-r1)2=(26)2+52=132. 所以r1+r2=13. 结合r2-r1=5得r1=4,r2=9,所以l=13.,=42+92+(4+9)13=266.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟对球的表面积公式的考查,通常与球的性质结合在一起.与其他多面体和旋转体组合也是考查球的表面积的一种常见方式. 常见的有关球的一些性质: (1)长方体的8个顶
10、点在同一个球面上,则长方体的体对角线是球的直径;球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长;球与正方体的12条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线. (2)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练3已知长方体的长、宽、高分别为2,3,6,则其外接球的表面积为( ) A.196 B.49 C.44 D.36,所以它的表面积为4R2=49.故选B. 答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,对几何体认识不清而致误 【典例】如图所示,从底面半径为2a,高为 a的圆柱中,挖去一个底面半径为a且
11、与圆柱等高的圆锥,求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范? 提示:本题中挖去圆锥的几何体的表面积去掉了一个半径为a的圆的面积,但同时增加了一个圆锥的侧面的面积,而错解未考虑到增加的部分.几何体的表面积是各个面的面积之和.,防范措施求组合体的表面积时切忌直接套用柱、锥、台的表面积公式,而应先分析该几何体由几部分组成,几何体各个面间有无重叠,再结合相应几何体选择公式求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练已知球的两个平行截面的面积分别为5和8,且距离为
12、3,求这个球的表面积. 解:当两截面在球心的同侧时,解法同上. 当两截面在球心的异侧时,d1+d2=3, 由以上解法可知(d1-d2)(d1+d2)=3,S球=4R2=36.,1,2,3,4,5,1.长方体的对角线长为2 ,长、宽、高的比为321,那么它的表面积为( ) A.44 B.88 C.64 D.48 解析:设长、宽、高分别为3x,2x,x,则对角线长为,所以x=2. 所以表面积S=2(6x2+3x2+2x2)=88. 答案:B,1,2,3,4,5,2.若球的大圆周长为C,则这个球的表面积是( ),答案:C,1,2,3,4,5,3.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为( ),1,2,3,4,5,解析:由三视图知该几何体为圆柱,其底面半径为 ,高为1,所以其侧面积为S侧=2 1=. 答案:C,1,2,3,4,5,4.如图所示,面积为 的等边三角形绕其一边中线所在直线旋转所得圆锥的侧面积是 .,答案:2,1,2,3,4,5,5.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 .,所以球的表面积S=4R2=27. 答案:27,
