1、1弯曲应力计算第 7 章 弯曲应力7.1 引言前一章讨论了梁在弯曲时的内力剪力和弯矩。但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。在一般情况下，横截面上有两种内力剪力和弯矩。由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩，所以它必然与正应力有关。由此可见，梁横截面上有剪力 FQ时，就必然有切应力 ；有弯矩 M 时，就必然有正应力 。为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。7.2 弯曲正应力7.2.1 纯弯曲梁的正应力由前节知道，正应力
2、只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯2曲情况来讨论弯曲正应力问题。在梁的各横截面上只有弯矩，而剪力为零的弯曲，称为纯弯曲。如果在梁的各横截面上，同时存在着剪力和弯矩两种内力，这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。例如在图7-1 所示的简支梁中，BC段为纯弯曲，AB 段和 CD段为横力弯曲。分析纯弯曲梁横截面上正应力的方法、步骤与分析圆轴扭转时横截面上切应力一样，需要综合考虑问题的变形方面、物理方面和静力学方面。 图 7-1变形方面 为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图 7-2(
3、a)所示的矩形截3面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线 m-m、n-n 和平行于轴线的纵向线 d-d、b-b。然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶 Me，使梁产生纯弯曲。此时可以观察到如下的变形现象。纵向线弯曲后变成了弧线 aa、bb, 靠顶面的 aa 线缩短了，靠底面的 bb 线伸长了。横向线 m-m、n-n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图 7-2(b)所示。梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设：(1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面且仍垂直于变形后的梁的轴线。(2) 单向受力假设
4、 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压，每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近下面部分的纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层(图 7-3)。中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横4截面上就是对称于对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。考察纯弯曲梁某一微段 dx 的变形(图 7-4)。设弯
5、曲变形以后，微段左右两横截面的相对转角为 d，则距中性层为 y处的任一层纵向纤维 bb 变形后的弧长为bb=(+y)d式中， 为中性层的曲率半径。该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维 OO 长度相等，又因为变形前、后中性层内纤维 OO 的长度不变，故有bb=OO=OO=d由此得距中性层为 y 处的任一层纵向纤维的线应变=bb-bb(+y)d-dy= (a) bbd上式表明，线应变 随 y 按线性规律变化。物理方面 根据单向受力假设，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量 E 相等，则由虎克定律，得=E=Ey (b) 式(b)表明，纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面上中性轴处，y=0 ，因而 =0
6、，中性轴两侧，一侧受拉应力，另一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应力数值相5等（图 7-5） 。静力学方面 虽然已经求得了由式 (b)表示的正应力分布规律，但因曲率半径 和中性轴的位置尚未确定，所以不能用式(b)计算正应力，还必须由静力学关系来解决。 在图 7-5 中，取中性轴为 z 轴，过 z、 y 轴的交点并沿横截面外法线方向的轴为 x 轴，作用于微面积 dA 上的法向微内力为 dA。在整个横截面上，各微面积上的微内力构成一个空间平行力系。由静力学关系可知，应满足Fx=0，My=0，Mz=0 三个平衡方程。由于所讨论的梁横截面上设有轴力，FN=0，故由Fx=0，得FN=dA=0 (c)
7、 A将式(b)代人式(c)，得AdA=EA yEdA=AAydA=ESz=0 式中，E/ 恒不为零，故必有静矩Sz=ydA=0，由第 5 章知道，只有当 z 轴通过截面形心时，静矩 Sz 才等于零。由此可得结论：中性轴z 通过横截面的形心。这样就完全确定了中性轴在横截面上的位置。由于所讨论的梁横截面上没有内力偶 My，因此由My=0,得My=zdA=0 (d) A6将式(b)代人式(d)，得AzdA=E AyzdA=EIyz=0 上式中，由于 y 轴为对称轴，故 Iyz=0，平衡方程纯弯曲时各横截面上的弯矩 M 均相等。因此，由Mzz=0 自然满足。 M=0，得M=将式(b)代人式(e)，得
8、ydA (e) AM=由式(f)得 yEyEdA=AAy2dA=EIz (f) 1M （7-1） =EIz式中， 为中性层的曲率，EIz 为抗弯刚度，弯矩相同时，梁的抗弯刚度愈大，梁的曲率越小。最后，将式(7-1)代入式(b)，导出横截面上的弯曲正应力公式为=My （7-2） Iz式中，M 为横截面上的弯矩， Iz 为横截面对中性轴的惯性矩，y 为横截面上待求应力的 y 坐标。应用此公式时，也可将 M、 y 均代入绝对值， 是拉应力还是压应力可根据梁的变形情况直接判断。以中性轴为界，梁的凸出一侧为拉应力，凹入一侧为压应力。以上分析中，虽然把梁的横截面画成矩形，但在导出公7式的过程中，并没有使用
9、矩形的几何性质。所以，只要梁横截面有一个对称轴，而且载荷作用于对称轴所在的纵向对称面内，式(7-1)和式 (7-2)就适用。由式(7-2)可见，横截面上的最大弯曲正应力发生在距中性轴最远的点上。用 ymax 表示最远点至中性轴的距离，则最大弯曲正应力为max上式可改写为 Mymax =IzM （7-3） Wzmax=其中Wz=Iz （7-4） ymax为抗弯截面系数，是仅与截面形状及尺寸有关的几何量，量纲为长度3 。高度为 h、宽度为 b 的矩形截面梁，其抗弯截面系数为bh3/12bh2Wz= h/26直径为 D 的圆形截面梁的抗弯截面系数为D4/64D3Wz= D/232工程中常用的各种型钢
10、，其抗弯截面系数可从附录的型钢表中查得。当横截面对中性轴不对称时其最大拉应力及最大压应力将不相等。用式(7-3)计算最大拉应力时，可8在式(7-4)中取 ymax 等于最大拉应力点至中性轴的距离；计算最大压应力时，在式(7-4)中应取 ymax 等于最大压应力点至中性轴的距离。例 7-1 受纯弯曲的空心圆截面梁如图 7-6(a)所示。已知：弯矩 M= l kN.m，外径 D=50mm，内径 d=25mm。试求横截面上 a、b、c 及 d 四点的应力,并绘过 a、b 两点的直径线及过 c、d 两点弦线上各点的应力分布图。解：（1） 求 Iz(D4-d4)(504-254)Iz= (10-3)4m
11、4=2.8810-7m4 6464（2） 求 a 点ya=D=25mm 2M1 103-3a=ya=2510Pa=86.8MPa(压应力) -7Iz.8810b 点yb=d=12.5mm 2M1 103b=yb=12.510-3Pa=43.4MPa( 拉应力) -7Iz.8810c 点21d2)21252)yc=(9D-442=(50-442=21.7mm M1103c=yc=21.710-3Pa=75.3MPa(压应力) -7Iz.8810yd=0d=Myd=0 Izd 点给定的弯矩为正值，梁凹向上，故 a 及 c 点是压应力，而b 点是拉应力。过 a、b 的直 径线及过 c、d 的弦线上的
12、应力分布图如图 7-6(b)、(c) 所示。7.2.2 横力弯曲梁的正应力公式（7-2）是纯弯曲情况下以 7-2-1 提出的两个假设为基础导出的。工程上最常见的弯曲问题是横力弯曲。在此情况下，梁的横截面上不仅有弯矩，而且有剪力。由于剪力的影响，弯曲变形后，梁的横截面将不再保持为平面，即发生所谓的“翘曲”现象，如图 7-7（a） 。但当剪力为常量时，各横截面的翘曲情况完全相同，因而纵向纤维的伸长和缩短与纯弯曲时没有差异。图 7-7（b）表示从变形后的横力弯曲梁上截取的微段，由图可见，截面翘曲后，任一层纵向纤维的弧长 AB，与横截面保持平面时该层纤维的弧长完全相等，即 AB=AB。所以，对于剪力为
13、常量的横力弯曲，纯弯曲正应力公式(7-2)仍然适用。当梁上作用有分布载荷，横截面上的剪力连续变化时，各横截面的翘曲情10况有所不同。此外，由于分布载荷的作用，使得平行于中性层的各层纤维之间存在挤压应力。但理论分析结果表明，对于横力弯曲梁，当跨度与高度之比 lh 大于 5 时，纯弯曲正应力计算公式(7-2)仍然是适用的，其结果能够满足工程精度要求。例 7-2 槽形截面梁如图 7-8(a)所示，试求梁横截面上的最大拉应力。解 绘 M 图，得 B、C 两截面的弯矩 MB=-10kN.m，MC=7.5kN.m,如图 7-8(b)所示。求截面的形心及对形心轴的惯性矩，取参考坐标 z1Oy，如图 7-8(
14、c)所示，得截面形心 C 的纵坐标=因 y 为对称轴，故 350500250-250400200mm=317mm 350500-2504001=0过形心 C 取 z 轴，截面对 z 轴的惯性矩为1Iz=3505003+350 500(317-250)2 121-2504003+250 300(317-200)2mm4 12=1728106mm4B 截面的最大拉应力为BtMB10103(500-317) 10-3=ymax=Pa=1.06MPa 11Iz1728106(10-3)4MC7.5103317 10-3=ymax=Pa=1.38MPa 6-34Iz172810(10)C 截面的最大拉应
15、力为 Ct可见，梁的最大拉应力发生在 C 截面的下部边缘线上。7.3 弯曲切应力横力弯曲时，梁横截面上的内力除弯矩外还有剪力，因而在横截面上除正应力外还有切应力。本节按梁截面的形状，分几种情况讨论弯曲切应力。7.3.1 矩形截面梁的切应力在图 7-9(a)所示矩形截面梁的任意截面上，剪力 FQ 皆与截面的对称轴 y 重合， 见图 7-9(b)。现分析横截面内距中性轴为 y 处的某一横线，ss上的切应力分布情况。 根据切应力互等定理可知，在截面两侧边缘的 s 和 s处，切应力的方向一定与截面的侧边相切，即与剪力 FQ 的方向一致。而由对称关系知，横线中点处切应力的方向，也必然与剪力 FQ 的方向
16、相同。因此可认为横线 ss上各点处切应力都平行于剪力 FQ。由以上分析，我们对切应力的分布规律做以下两点假设：1横截面上各点切应力的方向均与剪力 FQ 的方向平行。122切应力沿截面宽度均匀分布。现以横截面 m-m 和 n-n 从图 7-9(a)所示梁中取出长为 dx的微段，见图 7-10(a)。设作用于微段左、右两侧横截面上的剪力为 FQ，弯矩分别为 M 和 M+dM，再用距中性层为y 的 rs 截面取出一部分 mnsr，见图 7-10 (b)。该部分的左右两个侧面 mr 和 ns 上分别作用有由弯矩 M 和 M+dM 引起的正应力 mr 及 ns。除此之外，两个侧面上还作用有切应力 。根据
17、切应力互等定理，截出部分顶面 rs 上也作用有切应力 ，其值与距中性层为 y 处横截面上的切应力 数值相等，见图 7-10(b)、(c)。设截出部分 mnsr 的两个侧面 mr 和 ns 上的法向微内力mrdA 和 nsdA 合成的在 x 轴方向的法向内力分别为 FN1及 FN2，则 FN2 可表示为FN2=同理 A1nsdA=M+dMM+dMy1dA=A1IzIzA1y1dA=M+dM*Sz （a） IzFN1=M*Sz （b） Iz式中，A1 为截出部分 mnsr 侧面 ns 或 mr 的面积，以下简称为部分面积 S*z 为 A1 对中性轴的静矩。13考虑截出部分 mnsr 的平衡，见图
18、7-10(c)由Fx=0，得FN2-FN1-bdx=0 （c ）将式(a)及式(b)代入式(c)，化简后得dMS*z =dxIzb注意到上式中 dM=FQ，并注意到 与 数值相等，于是矩形截面梁横截面上的切 dx应力计算公式为=FQS*zIzb （7-5）式中，FQ 为横截面上的剪力，b 为截面宽度，Iz 为横截面对中性轴的惯性矩，S*z 为横截面上部分面积对中性轴的静矩。对于给定的高为 h 宽为 b 的矩形截面(图 7-11)，计算出部分面积对中性轴的静矩如下bh2S=y1dA=by1dy1=(-y2)A1y24*Zh/2将上式代入（7-5） ，得14h2=(-y2) （7-6） 2Iz4由
19、(7-6)可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化。当y=h2 时，=0，即截面的上、下边缘线上各点的切应力为零。当 y=0 时，切应力 有极大值，这表明最大切应力发生在中性轴上，其值为 FQmax=将 Iz=bh3/12 代人上式，得 FQh28Izmax=3FQ 2bh (7-7)可见，矩形截面梁横截面上的最大切应力为平均切应力FQ/bh 的 1.5 倍。根据剪切虎克定律，由式(7-6)可知切应变FQh2=(-y2) G2GIz4(7-8)式(7-8)表明，横截面上的切应变沿截面高度按抛物线规律变化。沿截面高度各点具有按非线性规律变化的切应变，这就说明横截面将发生扭曲。由式(7-8)可见，当
20、剪力 FQ 为常量时，横力弯曲梁各横截面上对应点的切应变相等，因而各横截面扭曲情况相同。这一情况已在 5-7-2 中做了说明。15例 7-3 矩形截面梁的横截面尺寸如图 7-12(b)所示。集中力 F=88kN，试求 1-1 截面上的最大切应力以及 a、b 两点的切应力。解 支反力 FA、FB 分别为FA=40kN，FB=48kN1-1 截面上的剪力FQ1=FA=40kN截面对中性轴的惯性矩40703Iz=(10-3)4m4=1.143 10-6m4 12截面上的最大切应力maxa 点的切应力 3FQ1340103=Pa=21.4MPa -62A2407010S*z=Aaya=40(70170
21、-25) 10-625+(-25)10-3m3=1.210-5m3 222401031.210-5a=Pa=10.5MPa -6-3Izb1.143 104010b 点的切应力 FQ1S*z16S*z=Abyb=40 (70170-15)10-615+(-15)10-3m3=210-5m3 22240103210-5b=Pa=17.5MPa -6-3Izb1.1431040107.3.2 工字形截面梁的切应力工字形截面由上、下翼缘及腹板构成，见图 7-13(a)，现分别研究腹板及翼缘上的FQ1S*z切应力。1工字形截面腹板部分的切应力腹板是狭长矩形，因此关于矩形截面梁切应力分布的两个假设完全适
22、用。在工字形截面梁上，用截面 m-m 和 n-n截取 dx 长的微段，并在腹板上用距中性层为 y 的 rs 平面在微段上截取出一部分 mnsr，见图 7-13(b)、(c) ，考虑 mnsr部分的平衡，可得腹板的切应力计算公式=FQS*zIzd (7-9)式(7-9)与式(7-5)形式完全相同，式中 d 为腹板厚度。计算出部分面积 Al 对中性轴的静矩17S*z=代人式(7-9)整理，得 1HhHh1hh(+)b(-)+(+y)d(-y) 22222222h2=b(H-h)+4d(-y2) （7-10） 8Izd422FQ由式(7-10)可见，工字形截面梁腹板上的切应力 按抛物线规律分布，见图
23、 7-13(c)。以 y=0及 y=h/2 分别代人式(7-10) 得中性层处的最大切应力及腹板与翼缘交界处的最小切应力分别为max=FQ8IzdbH2-(b-d)h2min=FQ8IzdbH2-bh2由于工字形截面的翼缘宽度 b 远大于腹板厚度 d，即bd，所以由以上两式可以看出，max 与 min 实际上相差不大。因而，可以认为腹板上切应力大致是均匀分布的。若以图 7-13(c)中应力分布图的面积乘以腹板厚度 d，可得腹板上的剪力 FQ1。计算结果表明，FQ1 约等于(0.95-0.97) FQ。可见，横截面上的剪力 FQ 绝大部分由腹板承受。因此，工程上通常将横截面上的剪力 FQ 除以腹
24、板面积近似得出工字形截面梁腹板上的切18应力为=FQhd （7-11）2工字形截面翼缘部分的切应力现进一步讨论翼绦上的切应力分布问题。在翼缘上有两个方向的切应力：平行于剪力 FQ 方向的切应力和平行于翼绦边缘线的切应力。平行于剪力 FQ 的切应力数值极小，无实际意义，通常忽略不计。在计算与翼缘边缘平行的切应力时，可假设切应力沿翼缘厚度大小相等，方向与冀缘边缘线相平行，根据在冀缘上截出部分的平衡，由图 7-13(d)可以得出与式(7-9)形式相同的冀缘切应力计算公式=FQS*zIzt （7-12 ）式中 t 为翼缘厚度，图 7-13(c)中绘有冀缘上的切应力分布图。工字形截面梁翼缘上的最大切应力
25、一般均小于腹板上的最大切应力。从图 7-13(c)可以看出，当剪力 FQ 的方向向下时，横截面上切应力的方向，由上边缘的外侧向里，通过腹板，最后指向下边缘的外侧，好象水流一样，故称为“切应力流”。所以在根据剪力 FQ 的方向确定了腹扳的切应力方向后，就可由“切应力流”确定翼缘上切应力的方向。对于其他的 L19形、丁形和 Z 形等薄壁截面，也可利用“切应力流”来确定截面上切应力方向。7.3.3 圆形截面梁的切应力在圆形截面梁的横截面上，除中性轴处切应力与剪力平行外，其他点的切应力并不平行于剪力。考虑距中性轴为y 处长为 b 的弦线 AB 上各点的切应力如图 7-14(a)。根据切应力互等定理，弦
26、线两个端点处的切应力必与圆周相切，且切应力作用线交于 y 轴的某点 p。弦线中点处切应力作用线由对称性可知也通过 p 点。因而可以假设 AB 线上各点切应力作用线都通过同一点 p，并假设各点沿 y 方向的切应力分量 y 相等，则可沿用前述方法计算圆截面梁的切应力分量 y，求得 y 后，根据已设定的总切应力方向即可求得总切应力 。圆形截面梁切应力分量 y 的计算公式与矩形截面梁切应力计算公式形式相同。y=FQS*zIzb （7-13）22*式中 b 为弦线长度， b=2R-ySz；仍表示部分面积 A1对中性轴的静矩，见图7-14(b) 。20圆形截面梁的最大切应力发生在中性轴上，且中性轴上各点的
27、切应力分量 y 与总切应力 大小相等、方向相同，其值为max4FQ= 3R2 （7-14）由式(7-14)可见，圆截面的最大切应力 max 为平均切应力7.3.4 环形截面梁的切应力 FQR2 的 43 倍。图 7-15 所示为一环形截面梁，已知壁厚 t 远小于平均半径 R，现讨论其横截面上的切应力。环形截面内、外圆周线上各点的切应力与圆周线相切。由于壁厚很小，可以认为沿圆环厚度方向切应力均匀分布并与圆周切线相平行。据此即可用研究矩形截面梁切应力的方法分析环形截面梁的切应力。在环形截面上截取 dx 长的微段，并用与纵向对称平面夹角 相同的两个径向平面在微段中截取出一部分如图 7-15(b)，由
28、于对称性，两个 rs 面上的切应力 相等。考虑截出部分的平衡图 7-15(b)，可得环形截面梁切应力的计算公式y=FQS*z2tIz(7-15)21式中，t 为环形截面的厚度。环形截面的最大切应力发生在中性轴处。计算出半圆环对中性轴的静矩S=及环形截面对中性轴的惯性矩 *ZA1ydA2RcostRd=2R2t 0/2Iz=AydA22 20R2cos2tRd=R3t将上式代入式(7-15) 得环形截面最大切应力max=FQ(2R2t)2t3t=FQRt (7-16)注意上式等号右端分母 Rt 为环形横截面面积的一半，可见环形截面梁的最大切应力为平均切应力的两倍。7.4 弯曲强度计算梁在受横力弯
29、曲时，横截面上既存在正应力又存在切应力，下面分别讨论这两种应力的强度条件。7.4.1 弯曲正应力强度条件横截面上最大的正应力位于横截面边缘线上，一般说来，该处切应力为零。有些情况下，该处即使有切应力其数值也较小，可以忽略不计。所以，梁弯曲时，最大正应力作用点可视为处于单向应力状态。因此，梁的弯曲正应力强度条件为22max=(M)max （7-17） Wz对等截面梁，最大弯曲正应力发生在最大弯矩所在截面上，这时弯曲正应力强度条件为max=Mmax （7-18） Wz式(7-17)、式(7-18)中，为许用弯曲正应力，可近似地用简单拉伸(压缩) 时的许用应力来代替，但二者是略有不同的，前者略高于后
30、者，具体数值可从有关设计规范或手册中查得。对于抗拉、压性能不同的材料，例如铸铁等脆性材料，则要求最大拉应力和最大压应力都不超过各自的许用值。其强度条件为tmaxt，cmaxc （7-19）7.4.2 弯曲切应力强度条件一般来说，梁横截面上的最大切应力发生在中性轴处，而该处的正应力为零。因此最大切应力作用点处于纯剪切应力状态。这时弯曲切应力强度条件为max=(FQS*zIzb)max （7-20）对等截面梁，最大切应力发生在最大剪力所在的截面上。弯曲切应力强度条件为max=FQmaxS*zmax23Izb （7-21）许用切应力通常取纯剪切时的许用切应力。对于梁来说，要满足抗弯强度要求，必须同时
31、满足弯曲正应力强度条件和弯曲切应力强度条件。也就是说，影响梁的强度的因素有两个：一为弯曲正应力一为弯曲切应力。对于细长的实心截面梁或非薄壁截面的梁来说，横截面上的正应力往往是主要的切应力通常只占次要地位。例如图 7-16 所示的受均布载荷作用的矩形截面梁，其最大弯曲正应力为图 7-16max=MmaxWzql23ql2= bh24bh26而最大弯曲切应力为max=二者比值为 3FQmax2Aql33ql= 2bh4bhmaxmax3ql2l= 3qlh4bh即，该梁横截面上的最大弯曲正应力与最大弯曲切应力之比等于梁的跨度 l 与截面高度 h 的比。当 lh 时，最大24弯曲正应力将远大于最大弯
32、曲切应力。因此，一般对于细长的实心截面梁或非薄壁截面梁，只要满足了正应力强度条件，无需再进行切应力强度计算。但是，对于薄壁截面梁或梁的弯矩较小而剪力却很大时，在进行正应力强度计算的同时，还需检查切应力强度条件是否满足。另外，对某些薄壁截面(如工字形、T 字形等)梁，在其腹板与翼缘联接处，同时存在相当大的正应力和切应力。这样的点也需进行强度校核，将在第 10 章进行讨沦。图 7-17例 7-4 T 形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图 7-17(a)所示，铸铁抗拉许用应力为t=30MPa，抗压许用应力为c=140MPa。已知截面对形心轴 z 的惯性矩为 Iz=763cm4，且 y1=52mm，试校核
33、梁的强度。解 由静力平衡方程求出梁的支反力为FA=2.5kN,FB=10.5kN做弯矩图如图 7-17(b)所示。最大正弯矩在截面 C 上，MC=2.5Kn.m，最大负弯矩在截面 B 上，MB=-4kN.m。T形截面对中性轴不对称，同一截面上的最大拉应力和压应力并不相等。在截面 B 上，弯矩是负的，最大拉应力发生于上边缘各点，且25t=MBy1Iz4103 5210-3=Pa=27.2MPa -24763(10)最大压应力发生于下边缘各点，且c=MBy2Iz40103 (120+20-52)10-3 =Pa=46.2MPa-24763(10)在截面 C 上，虽然弯矩 MC 的绝对值小于 MB，
34、但 Mc是正弯矩，最大拉应力发生于截面的下边缘各点，而这些点到中性轴的距离却比较远，因而就有可能发生比截面 B还要大的拉应力，其值为t=MCy2Iz2.5103 (120+20-52)10-3 =Pa=28.8MPa-24763(10)所以，最大拉应力是在截面 C 的下边缘各点处，但从所得结果看出，无论是最大拉应力或最大压应力都未超过许用应力，强度条件是满足的。由例 7-4 可见，当截面上的中性轴为非对称轴，且材料的抗拉、抗压许用应力数值不等时，最大正弯矩、最大负弯矩所在的两个截面均可能为危险截面，因而均应进行强度校核。例 7-5 简支梁 AB 如图 7-18(a)所示。l=2m，a=0.2m
35、。梁上的载荷为 q=10kNm，F=200kN。材料的许用应力为=160MPa ， =100MPa。试26选择适用的工字钢型号。解 计算梁的支反力，然后做剪力图和弯矩图，如图 7-18(b)、(c)所示。根据最大弯矩选择工字钢型号，Mmax=45kNm，由弯曲正庄力强度条件，有Mmax4510333 Wz=m=281cm616010查型钢表，选用 22a 工字钢，其 Wz=309cm3。校核梁的切应力。代入切应力强度条件 Iz*Sz 腹板厚度d=0.75cm。由剪力图 FQmax=210kN。=18.9m ，max=FQmaxS*zIzb210103=Pa=148MPa -2-218.910
36、0.7510max 超过很多，应重新选择更大的截面。现以 25b 工字钢进行试算。由表查出， Iz*Sz=21.27cm，d=lcm 。再次进行切应力强度校核。21010321.2710-2max=1 10-2Pa=98.7MPa 因此，要同时满足正应力和切应力强度条件，应选用型号为 25b 的工字钢。7.5 提高弯曲强度的一些措施27前面曾经指出，弯曲正应力是控制抗弯强度的主要因素。因此，讨论提高梁抗弯强度的措施，应以弯曲正应力强度条件为主要依据。由max=为了提高梁的强度，可以从以下三方面考虑。7.5.1 合理安排梁的支座和载荷 Mmax可以看出，Wz从正应力强度条件可以看出，在抗弯截面模
37、量 Wz 不变的情况下，Mmax 越小，梁的承载能力越高。因此，应合理地安排梁的支承及加载方式，以降低最大弯矩值。例如图7-19(a)所示简支梁，受均布载荷 q 作用，梁的最大弯矩为Mmax=12ql。8图 7-19如果将梁两端的铰支座各向内移动 0.2l，如图 7-19(b)所示，则最大弯矩变为 Mmax=12ql，仅为前者的 15。 40由此可见，在可能的条件下，适当地调整梁的支座位置，可以降低最大弯矩值，提高梁的承载能力。例如，门式起重机的大梁图 7-20(a)，锅炉筒体图 7-20(b)等，就是采用上述措施，以达到提高强度，节省材料的目的。28图 7-20再如，图 7-21(a)所示的
38、简支梁 AB，在集中力 F 作用下梁的最大弯矩为Mmax=1Fl 4如果在梁的中部安置一长为 l/2 的辅助梁 CD(图 7-21b)，使集中载荷 F 分散成两个 F/2 的集中载荷作用在 AB 梁上，此时梁 AB 内的最大弯矩为Mmax=1Fl 8如果将集中载荷 F 靠近支座，如图(7-21c)所示，则梁 AB上的最大弯矩为Mmax=5Fl 36图由上例可见，使集中载荷适当分散和使集载荷尽可能靠近支座均能达到降低最大弯矩的目的。7.5.2 采用合理的截面形状由正应力强度条件可知，梁的抗弯能力还取决于抗弯截面系数 WZ。为提高梁的抗弯强度，应找到一个合理的截面以达到既提高强度，又节省材料的目的
39、。比值29Wz图 7-21 AWz值越大，截面越趋于合理。例如图 7-22 中 A可作为衡量截面是否合理的尺度，所示的尺寸及材料完全相同的两个矩形截面悬臂梁，由于安放位置不同，抗弯能力也不同。竖放时bh2Wzh= Abh6平放时b2hWzb= Abh6当 hb 时，竖放时的WzW大于平放时的 z，因此，矩形截面梁竖放比平放更为合理。AA在房屋建筑中，矩形截面梁几乎都是竖放的，道理就在于此。表 7-1 列出了几种常用截面的Wz值，由此看出，工字形截面和槽形截面最为合 A30理，而圆形截面是其中最差的一种，从弯曲正应力的分布规律来看，也容易理解这一事实。以图 7-23 所示截面面积及高度均相等的矩
40、形截面及工字形截面为例说明如下：梁横截面上的正应力是按线性规律分布的，离中性轴越远，正应力越大。工字形截面有较多面积分布在距中性轴较远处，作用着较大的应力，而矩形截面有较多面积分布在中性轴附近，作用着较小的应力。因此，当两种截面上的最大应力相同时，工字形截面上的应力所形成的弯矩将大于矩形截面上的弯矩。即在许用应力相同的条件下，工字形截面抗弯能力较大。同理，圆形截面由于大部分面积分布在中性轴附近，其抗弯能力就更差了。图 7-22 图 7-23W表 7-1 几种常用截面的 zA值合考虑刚度、稳定性以及结构、工艺等方面的要求，才能最后确定。在讨论截面的合理形状时，还应考虑材料的特性。对于抗拉和抗压强度相等的材料，如各种钢材，宜采用对称于中性轴的截面，如圆形、矩形和工字形等。这种横截面上、
