1、,内 力,应 力,第五章 弯曲应力,5. 1 纯弯曲,CD段：,弯矩为常量，剪力为零。,这种弯曲称为纯弯曲。,AC、DB两段：,这种弯曲称为横力弯曲。,弯矩和剪力均不为零,一、纯弯曲,绕截面内的某轴转过一个角度,二、实验观察,纵向线段：,由直线变为曲线,a-a 线段缩短 b-b 线段伸长,横向线段：,直线仍保持直线,三、两个假设,（1）平面假设:梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。,（2）纵向纤维互不挤压假设，即单向拉压。,中 性 层,中性轴,四、两个概念,中性层：梁中纤维即不伸长也不缩短的那层。,中性轴：中性层与横截面的交线。,梁弯曲
2、变形时，横截面绕中性轴转动。,变形后：,变形前：,横截面变形后仍保持为平面，且仍与轴线垂直，=0,距中性层为 y 处纤维 的变形：,5. 2 纯弯曲时的正应力,1. 变形几何关系,的线应变为：,（a）,2、物理关系 应力应变关系,由纵向纤维互不挤压假设,知各纵向纤维都单向受拉或受压，所以在弹性范围内有：,说明：,到这一步，我们可推知正应力随y 的变化规律，但还不能确定其值。,x,（a）,（b）,（b）,3.静力关系,垂直于截面应力只可能合成为截面上三个内力：,轴力FN ：,对y 轴的力偶矩My：,对z 轴的力偶矩Mz：,M,由梁截面上三个内力与左边的外力平衡,（c）,（d）,（e）,截面的中性
3、轴过截面形心。,y 轴为对称轴时，上式自然成立。,（1）,（2）,（3）,（a）,（b）,4. 纯弯曲正应力计算公式,式中：1/为梁中性层在截面处的曲率。,EIz 称为梁的抗弯刚度。,纯弯曲时，梁横截面上任一点的弯曲正应力计算公式。,说明：,梁截面上任一点的正应力，与该点到中性轴的距离成正比；最大和最小应位于梁的上下缘。,(2) 适用于梁截面具有对称轴的情形，即平面弯曲 情形。,(3) 适用于材料处于线弹性的情形。,5. 纯弯曲正应力计算公式应用,M 横截面弯矩,y 所求应力点到中性轴的距离,Iz 横截面对中性轴的惯性矩, 距中性轴为y的点的正应力,5. 3 横力弯曲时的正应力,一、横力弯曲时
4、的正应力,（1）平面假设不成立；,（2）纵向纤维间存在互相挤压现象；,与纯弯曲比较：,精确的研究表明：,当梁的跨度（l ）与梁的高度（h）相比足够大（l 5h ）时:,横力弯曲时正应力近似为：,横力弯曲时最大正应力为：,横力弯曲时最大正应力为：,抗弯截面系数,W 是只与截面形状有关的量，量纲：m3,矩形截面：,圆形截面：,空心圆截面：,抗弯截面系数,二、梁的弯曲正应力强度条件,说明：,（1）对抗拉和抗压许用应力相等的材料（如低碳钢等），只需让绝对值最大的应力不超过许用应力即可。,（2）对抗拉和抗压许用应力不等的材料（如铸铁），则需分别校核最大拉应力和最大压应力是否超过许用应力。,（3）对上下不
5、对称的截面、变截面梁，smax 不一定发生在Mmax的截面上。,二、梁的弯曲正应力强度条件,（4）梁强度计算的三类问题：,（a）强度校核：,（b）梁的截面设计：,（c）梁的许用载荷计算：,（梁的跨度设计）,说明：,两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1P2？, 例题 5-1,解：,矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？,解：,由公式,可以看出， 该梁的承载能力将是原来的 2 倍。, 例题 5-2,主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主
6、梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？,解：,主梁AB的最大弯矩,副梁CD的最大弯矩, 例题 5-3,图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为st和 sC ，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少？（为截面形心）,解：, 例题 5-4,图示铸铁梁，许用拉应力st =30MPa，许用压应力sc =60MPa,z=7.6310-6m4，试校核此梁的强度。, 例题 5-5,C截面：,B截面：,解：,该梁满足强度要求,简支梁AB，在截面下边缘贴一应变片，测得其应变= 610-4，材料的弹性模量 E=200GPa，求载荷P的大小。,解：,C点的应力,C截面的弯矩, 例题
7、5-6,图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力s=160MPa，校核该梁的强度。, 例题 5-7,解：由弯矩图可见,该梁满足强度条件，安全,一、弯曲时截面上的切应力,对横力弯曲梁，截面上内力,弯矩,剪力, 对应截面上正应力s, 对应截面上切应力t,5. 4 弯曲切应力,梁的强度一般由其弯曲正应力控制，但有些情况需考虑梁的剪切强度，如：,(1)梁的截面高度较大；,(2)梁的跨度较小；,(3)薄壁截面梁（如：工字形截面梁）；,(4)梁的弯矩较小而剪力较大；,(5)梁由几部分经焊接、胶合等而成，其焊缝、胶合面处剪切强度；,1. 矩形截面梁,切应力分布假设：,(1)截面上任点的切应力t 与剪力Fs
8、平行；,(2)切应力t 沿宽度 b 方向均匀分布。,Fs,M(x),M(x) )+dM(x),b,h,(1),(2),(3),由所取出部分的平衡,(1),(2),(3),其中：,Fs 截面上的剪力；,Iz 整个截面对中性轴的惯性矩；,b 截面在距中性轴 y 处的宽度；,截面距中性轴 y 以外部分的面积对中性轴的静矩,矩形截面梁切应力计算公式的应用,对矩形截面:, 矩形截面上任一点的切应力计算公式,2.工字形截面梁,腹板部分的切应力：,其中：,腹板,翼缘,腹板部分的切应力关于截面高度成抛物线分布,即认为腹板部分的切应力近似均匀分布,翼缘部分的切应力：,分布复杂，而沿 y 轴方向的量很小，认为截面
9、上剪力 Fs 都由腹板承担，且均匀分布。,3.圆形截面梁,圆形截面梁的切应力假设：,(1)弦上各点切应力作用线都交于同一点；,(2)弦上各点切应力在 y 方向的分量ty相等，亦即假设ty 沿弦均匀分布。,二、弯曲切应力强度校核,说明：,（1）梁的剪切强度一般只作校核计算，而不作为设计计算条件。,(a) 梁的截面高度较大，而梁的跨度较小；,(b) 木材顺纹方向的剪切强度；,(c) 薄壁截面梁（如：工字形截面梁）；,(d) 梁的弯矩较小而剪力较大；,(e) 梁由几部分经焊接、胶合等而成，其焊缝、胶合面处剪切强度；,（2）下列情况需用梁的剪切强度校核计算：,圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力
10、s=160MPa，t=100MPa，试求最小直径dmin。,解：, 例题 5-8,弯曲正应力强度条件：,由弯曲切应力强度条件：,5.5 提高弯曲强度的措施,控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以,作为梁设计的主要依据,因此:,应使Mmax尽可能地小，使W尽可能地大。,一、合理安排梁的受力情况,1.合理布置梁的支座,2.合理设置载荷作用位置,3.加副梁,二、梁的合理截面,将梁的正应力强度条件改写为：,要取得较大的承载能力，,需增大抗弯截面系数W。,1.增大抗弯截面系数 W 的途径：,(1) 增大截面面积A ；,(2) 选择合理的截面形状。,合理、经济的截面形状应该：截面积较小而抗弯截面模量较大。,三、等强度梁的概念,梁各截面上的最大正应力都相等，且都等于许用应力，这种梁称为等强度梁。,车辆用叠板弹簧,
