1、台州中学 2017学年第一学期第三次统练试题高三数学一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题设条件，得 ， ，所以 ，故选 C考点：1、对数的运算；2、集合的并集运算2. 已知复 ，则复数的共轭复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ，所以复数的共轭复数 ，故选 C.3. “ ”是“函数 在区间 上为增函数”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析
2、】若函数 在区间 上为增函数，则对称轴 ，解得 ，则“ ”是“函数 在区间 上为增函数 ”的充分不必要条件，故选 A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据二次函数的单调性求出的取值范围是解决本题的关键4. 下列结论正确的是（ ）A. 若直线 平面 ，直线 平面 ，则B. 若直线 平面 ，直线 平面 ，则C. 若两直线 与平面 所成的角相等，则D. 若直线上两个不同的点 到平面 的距离相等，则【答案】A【解析】试题分析：A 中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线 平面 ，直线 平面 ，则 ，正确；B 中，若直线 平面 ，直线 平面 ，则两平面可能相交或平行，故 B错；C 中
3、，若两直线 与平面 所成的角相等，则 可能相交、平行或异面，故 C错；D中，若直线上两个不同的点 到平面 的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故D错，故选 A考点：空间直线与平面间的位置关系【思维点睛】解答此类试题的关键是对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理3中“不共线的三点” ， “不共线”是很重要的条件5. 已知双曲线 的一焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】C【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，根据条件正确求出 的值是解决本题的关键
4、6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 10 B. 20 C. 40 D. 60【答案】B【解析】试题分析：该三视图表示的几何体为如下图所示的四棱锥 ，其中 ，,，所以 ，点 到 的距离就是点 平面 的距离 ，即 ，所以该几何体的体积 ，故选 B.考点：1.三视图；2.多面体的体积.7. 函数 部分图象如图所示，且 ，对不同的，若 ，有 ，则（ ）A. 在 上是减函数 B. 在 上是增函数C. 在 上是减函数 D. 在 上是增函数【答案】B【解析】试题分析：由图可知 ， ，所以 ，所以 ， ，所以 ，由此可知函数在 上是增函数,故选 B.考点：三角函数的图象与性质.【名师
5、点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定 ，再根据周期确定 ，由最高点的值或最低点的值确定 ，求出解析式后再研究函数相关性质.8. 已知圆 ： ，点 为直线 上一动点，过点 向圆 引两条切线 ，为切点，则直线 经过定点（ ）A. B. C. D 【答案】A【解析】设 ，过点 向圆 引两条切线 ， 为切点，则 ，是以 为直径的圆 与圆 的公共弦，求得圆 的方程为 ，又知圆 的方程为 ，-可得公共弦 所在直线的方程为，令 可得 ，所以直线 经过定点 ，故选 A.【方法点睛】本题主要考查圆的方程、直线和圆
6、的位置关系、最值问题及直线过定点问题.属于难题. 探索直线过定点的常见方法有两种： 可设出直线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为 的形式，根据 求解） ；可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点； 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.9. 如图，三个边长为 2的等边三角形有一条边在同一直线上，边 上有 10个不同的点，记 ，则 的值为（ ）A. B. 45 C. D. 180【答案】D【解析】因为 与 垂直,设垂足为 ，所以 在 投影为 ， ，从而 的值为 选 D.点睛：本题解题关键为运用向量数量积的几何意义：投影. 其有两个要素，一是有个定向量，二是明确垂足位置
7、.10. 定义在 上的偶函数 ，当 时， ，且 在上恒成立，则关于 的方程 的根的个数判断正确的是（ ）A. 有两个 B. 有一个 C. 没有 D. 上述情况都有可能【答案】A【解析】由于函数 ，为偶函数，且在 单调递增，如图所示， 函数，在 上恒成立，函数 在 上的图象位于 的图象上方，当 时，由 可得，解得 ，故 的图象至少向左平移两个单位，才符合题意，即 ，由于函数 的值域为 ，故函数的图象和直线 有 个交点， 关于 的方 的根有 个，故选 A.【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性以及函数图象的应用，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数
8、量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质解答本题的关键是根据把在 上恒成立转化为函数 在 上的图象位于的图象上方，然后求出 ，再利用数形结合将方程 f(2x+1)=t的根转化为函数的图象和直线 的交点.二填空题（本大题共 7小题，每题 5分，共 35分 ）11. 已知函数 ，则 _.【答案】4【解析】因为函数 ，所以 ， ，所以，故答案为 .12. 曲线 在 处的切线方程为_【答案】【解析】由 可得 , ,即曲线 在 处的切线斜率为 ，由点斜式可得曲线 在 处的切线方程为 ，化为，故答案
9、为 .13. 若 、 满足约束条件 ，则 的最大值为 _【答案】2【解析】试题分析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，因为 表示点 与区域内任意一点连线的斜率，由图可知，当 与点的连线斜率最大，所以 ，所以应填 .考点：线性规划.14. 已知 ，若不等式 恒成立，则 的最大值为_【答案】16【解析】因为 ，所以 恒成立等价于 恒成立，因为 ( 时等号成立) ，所以 ， 的最大值为 ，故答案为 .【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（
10、和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.15. 已知数列 的各项均为正数， ，若数列 的前 项和为 5，则 _【答案】120【解析】试题分析：数列 的前 项和为，所以 ，又 ，所以 ，由此可得，即应填 .考点：1.数列求和；2.累和法求数列通项.【名师点睛】本题考查数列求和，累和法求数列通项，属中档题；由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 an1 a nf（n）或 an1 f（n）a n，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，数列求
11、和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.16. 已知 的面积为 ，内角 所对的边分别为 ，且 成等比数列， ，则 的最小值为_【答案】【解析】试题分析：因为 成等比数列，所以 ，所以，整理得 ，所以 ，所以，因为 ，所以 ，因为 ，所以，则 ，令，因为 ，可知当 时， 取得最大值，所以 的最小值为 .考点：等比数列的应用；余弦定理及三角形的面积公式；导数的应用.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式，余弦定理及三角形的面积公式、导数的综合应用，试题有一点的难度，属于难题，着重考查了学生的推理、运算能力及转化与化归思想方法的应用，
12、本题的解答中根据题设条件先得出 ，在利用三角恒等变换和三角形的面积公式表示成三角形的面积，进而得到的取值范围，再代入 ，利用导数研究其单调性确定最值即可.17. 若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是_【答案】点睛：本题主要考查了绝对值不等式以及导数在不等式恒成立中的应用，属于难题；首先根据绝对值不等式的解法，将其转化为 在给定区间内恒成立问题，继而可转换为，分别将不等号两边看成两个不同的函数，然后利用导数与 0的关系得其单调性，得其最值.三解答题（本大题共 5小题，每小题满分 15分，共 75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）18. 已知向量 , ，记 (1) 若
13、，求 的值；(2) 在锐角 中，角 的对边分别是 且满足 ，求 的取值范围【答案】 （1） （2） 【解析】试题分析：（1）由 , ， ，利用平面向量数量积公式可得 ，利用二倍角的余弦公式可得结果；(2)由 ，根据正弦定理得 ，再由两角和的正弦公式化简可得 ，从而求得 ，求得 ，利用三角函数的有界性即可得结果.试题解析：（1） ，由 ，得 ，所以 （2）因为 ，由正弦定理得，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，且 ，所以 ，又 ，所以 ，则 ，又 ，则 ，得 ，所以 ，又因为 ，故函数 的取值范围是 19. 设数列 的前 和为 ， （1）求证：数列 为等差数列，并分别写出 和 关于 的表达式；（2
14、）是否存在自然数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在, 请说明理由；（3）设 ， 若 ,对 恒成立, 求 的最大值【答案】 （1）见解析.（2） （3） 【解析】试题分析：（1）利用 ，求得 ，这是等差数列，故；（2） ，这是等差数列，前 向和为 ，故 ；（3） ，利用裂项求和法求得 ，解得 ，故 .试题解析：（1）由 ,得 ,相减得.故数列 是以 为首项,以 公差的等差数列. .（2）由（1）知 ,由,得 ,即存在满足条件的自然数 .（3）, ,即 单调递增, 故 要使 恒成立, 只需 成立, 即 .故符合条件 的最大值为 .考点：数列的基本概念，数列求和，不等式20. 如图，四边形 是
15、直角梯形， ，又，直线 与直线 所成的角为 （1）求证： ；（2）求二面角 的余弦值【答案】(1)见解析.（2） .【解析】试题分析：方法 1：（1） ， 平面 ABC， 5 分（2）取 BC的中点 N，连 MN ， ， 平面 ABC作，交 AC的延长线于 H，连结 MH由三垂线定理得 ， 为二面角的平面角直线 AM与直线 PC所成的角为 ，在 中， 在 中， 在 中， 在 中， 在 中， ， 故二面角 的余弦值为 13 分方法 2：（1） ， 平面 ABC， 5 分（2）在平面 ABC内，过 C作 BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示设 ，则 5 分 ，且 ， ，得 ， 8 分设平面 M
16、AC的一个法向量为 ，则由 得 得 10 分平面 ABC的一个法向量为 12分显然，二面角 为锐二面角，二面角 的余弦值为 13 分考点：二面角的平面角，线线垂直点评：解决的关键是借助于空间向量法或几何性质法来得到证明和求解，属于基础题。21. 如图，已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆的一个焦点为 ， 是椭圆上的一点（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为 ， （ ）是椭圆上异于 的任意一点，轴， 为垂足， 为线段 中点，直线 交直线 于点 , 为线段的中点，若 的面积为 ，求 的值【答案】 （1） （2） 【解析】试题分析：(1)设椭圆方程为 ,由题意, 得 ,再由 是椭圆上的
17、一个点,即可求出椭圆方程;(2)根据题意,求出直线 AB的方程、点 M,C,N的坐标,计算 ,可得 ,再利用,结合椭圆方程,求解可得结果.试题解析：（1）设椭圆方程为 ，由题意，得 因为 ，所以又 是椭圆上的一个点，所以 ，解得 或 （舍去） ，从而椭圆的标准方程为 （2）因为 ， ，则 ，且 因为 为线段 中点， 所以 又 ，所以直线 的方程为 因为 令 ，得 又 ， 为线段 的中点，有 所以 因此，= 从而 因为 ， ，所以在 中， ，因此 从而有，解得 22. 已知函数 （1）当 时，若存在 ，使得 ，求实数的取值范围；（2）若 为正整数，方程 的两个实数根 满足 ，求的最小值【答案】 （1） 或 .（2）11【解析】试题分析：（1）存在 ，使得 等价于 在上有两个不等实根，或 在 上有两个不等实根，结合二次函数的顶点在直线下方或上方列不等式组求解即可；（2）利用一元二次方程方程根的分别，列不等式组，根据 为正整数，先初步判断 的范围，再利用分类讨论思想求解即可.试题解析：（1）当 时，由题意可知， 在 上有两个不等实根，或 在 上有两个不等实根，则或 ,解得 或即实数的取值范围是 或 .（2）设 ，则由题意得 ，即 ，所以 ，由于 当 时， ，且 无解，当 时， ，且 ，于是 无解，当 时， ，且 ，由 ，得 ，此时有解 ，综上所述， ，当 时取等号，即 的最小值为 11
