1、2018 届浙江省台州中学高三上学期第三次统练数学试题（解析版）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）A=x|x23x+2=0 B=x|logx4=2 AB=A. B. C. D. 2,1,2 2,2 1,2 2【答案】C【解析】试题分析：由题设条件，得 ， ，所以 ，故选 CA=1,2 B=2 AB=1,2考点：1、对数的运算；2、集合的并集运算2. 已知复 ，则复数的共轭复数 （ ）z=12i(1+i)2 z=A. B. C. D. 34+14i 14+34i 112i 1+12
2、i【答案】C【解析】因为 ，所以复数的共轭复数 ，故选 C.z=-1-2i(1+i)2 z=-1-12i3. “ ”是“函数 在区间 上为增函数 ”的( )a1 f(x)=x24ax+1 4,+)A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数 在区间 上为增函数，f（ x） =x24ax+1 4,+)则对称轴 ，解得 ，x=4a2 2a4 a2则“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件，a1 f（ x） =x24ax+1 4,+)故选 A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据二次函数的单调性求出的取值范围是
3、解决本题的关键4. 下列结论正确的是（ ）A. 若直线 平面 ，直线 平面 ，则l l B. 若直线 平面 ，直线 平面 ，则l l C. 若两直线 与平面 所成的角相等，则l1、 l2 l1l2D. 若直线上两个不同的点 到平面 的距离相等，则A、 B l【答案】A【解析】试题分析：A 中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线 平面 ，直线 平面 ，l l 则 ，正确； B 中，若直线 平面 ，直线 平面 ，则两平面可能相交或平行，故 B 错；C 中，若两直线/ l/ l/ 与平面 所成的角相等，则 可能相交、平行或异面，故 C 错；D 中，若直线上两个不同的点l1、 l2 l1、
4、l2到平面 的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故 D 错，故选 AA、 B 考点：空间直线与平面间的位置关系【思维点睛】解答此类试题的关键是对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理 3 中“不共线的三点” ， “不共线”是很重要的条件5. 已知双曲线 的一焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )x23y2b=1 y2=8xA. B. C. D. y=13x y=3x y=33x y= 3x【答案】C【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，根据条件正确求出 的值是解决本题的关键b6
5、. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 10 B. 20 C. 40 D. 60【答案】B【解析】试题分析：该三视图表示的几何体为如下图所示的四棱锥 ，其中 ， ,ABCDE ABAE BC=5，所以 ，点 到 的距离就是点 平面 的距离 ，即 ，所以该几何体的体积AB=4,AE=3 BE=5 A BE A BCDE d d=125，故选 B.V=1355125=20考点：1.三视图；2.多面体的体积.7. 函数 部分图象如图所示，且 ，对不同的 ，若f(x)=Asin(2x+)(2,A0) f(a)=f(b)=0 x1,x2a,b，有 ，则（ ）f(x1)=f(x2) f
6、(x1+x2)= 3A. 在 上是减函数 B. 在 上是增函数f(x) f(x) (512,12)C. 在 上是减函数 D. 在 上是增函数f(x) (3,56) f(x) (3,56)【答案】B【解析】试题分析：由图可知 ， ，所以 ， ，所以A=2 x1+x2= f(x1+x2)=2sin(2+)= 3， ，所以 ，由此可知函数 在 上是增函数,故选 B.sin=32 =3 f(x)=2sin(2x+3) f(x) (512,12)考点：三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与
7、最小值确定 ，再根据周期确定 ，由最高点的值或最低点的值A 确定 ，求出解析式后再研究函数相关性质.8. 已知圆 ： ，点 为直线 上一动点，过点 向圆 引两条切线 ， 为切点，C x2+y2=4 P x+2y9=0 P C PA,PB A,B则直线 经过定点（ ）ABA. B. C. D (49,89) (29,49) (2,0) (9,0)【答案】A【解析】设 ，过点 向圆 引两条切线 ， 为切点，则 ， 是以 为直径的P(92m,m) P C PA,PB A,B OAPA,OBPB AB OP圆 与圆 的公共弦，求得圆 的方程为 ，又知圆 的方程为 D C D (x92m2)2+(ym2
8、)2=(92m)2+m24 C x2+y2=4，-可得公共弦 所在直线的方程为 ，令 可得 ，所以直线 经过AB m(2xy)+(49x)=0 2xy=049x=0 x=49y=89 AB定点 ，故选 A.(49,89)【方法点睛】本题主要考查圆的方程、直线和圆的位置关系、最值问题及直线过定点问题.属于难题. 探索直线过定点的常见方法有两种： 可设出直线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为 的形式，根据 求解） ；可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点； 从tf(x,y)+g(x,y=0) f(x,y)=0g(x,y)=0特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.9. 如
9、图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上，边 上有 10 个不同的点 ，记B3C3 P1,P2,P10，则 的值为（ ）m1+m2+m10A. B. 45 C. D. 180153 603【答案】D【解析】因为 与 垂直,设垂足为 ，所以 在 投影为 ， AB2 B3C3 C APi AB2 AC mi=AB2APi，从而 的值为 选 D.=|AB2|AC|=2333=18 m1+m2+m10 1810=180.点睛：本题解题关键为运用向量数量积的几何意义：投影. 其有两个要素，一是有个定向量，二是明确垂足位置.10. 定义在 上的偶函数 ，当 时， ，且 在 上恒成R f(x)
10、x0 f(x)=ex+x2+ln(x2+1) f(x+t)f(x) x(1,+)立，则关于 的方程 的根的个数判断正确的是（ ）x f(2x+1)=tA. 有两个 B. 有一个 C. 没有 D. 上述情况都有可能【答案】A【解析】由于函数 ，为偶函数，且在 单调递增，如图所示， 函数 ，在f(x)=ex+x2+ln(x2+1) (0,+) f(x+t)f(x)上恒成立，函数 在 上的图象位于 的图象上方，当 时，由x(1,+) y=f(x+t) x(1,+) y=f(x) x=1可得 ，解得 ，故 的图象至f(1+t)=f(1) t=2 f(x)少向左平移两个单位，才符合题意，即 ，由于函数
11、的值域为 ，故函数 的t2 y=f(2x+1) 1,+) y=f(2x+1)图象和直线 有 个交点， 关于 的方 的根有 个，故选 A.y=t 2 x f(2x+1)=t 2【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性以及函数图象的应用，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、 求参数的取值范围 ；3、求不等式的解集；4、研究函数性质解答本题的关键是根据把 在 上恒成立转化为函数 在 上f(x+t)f(x) x(-1,+) y=f(x+t) x(1,+)的图象位
12、于 的图象上方，然后求出 ，再利用数形结合将方程 f(2x+1)=t 的根转化为函数y=f(x) t2的图象和直线 的交点.y=f(2x+1) y=t二填空题（本大题共 7 小题，每题 5 分，共 35 分 ）11. 已知函数 ，则 _.f(x)= (12)x1,x0log2x+1,x0 f(1)+f(2)=【答案】4【解析】因为函数 ，所以 ， ，所以f(x)=(12)x-1,x0log2x+1,x0 f(-2)=(12)-2-1=3，故答案为 .f(1)+f(-2)=1+3=4 412. 曲线 在 处的切线方程为_f(x)=2x23x (1,1)【答案】 xy2=0【解析】由 可得 , ,
13、即曲线 在 处的切线斜率为 ，由点f(x)=2x2-3x f(x)=4x-3f(1)=4-3=1 f(x)=2x2-3x (1,-1) 1斜式可得曲线 在 处的切线方程为 ，化为 ，故答案为 .f(x)=2x2-3x (1,-1) y+1=x1 x-y-2=013. 若 、 满足约束条件 ，则 的最大值为_x yx10xy0x+y40 y1x【答案】2【解析】试题分析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，因为 表示点 与区域内任意一点连y1x P(0,1)线的斜率，由图可知，当 与点的连线斜率最大，所以 ，所以应填 .P (y1x)max=kPA=3110=2 2考点：线性规划.14. 已
14、知 ，若不等式 恒成立，则 的最大值为 _a0,b0m3a+b3a1b0 m【答案】16【解析】因为 ，所以 恒成立等价于 恒成立，0,b0m3a+b-3a-1b0因为 ( 时等号成立) ，所以 ， 的最大值为 ，故答案为 .10+3ba+3ab10+23ba3ab=16ab=ba m16 m 16 16【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在
15、定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立） . 15. 已知数列 的各项均为正数， ，若数列 的前 项和为 5，则an a1=2， an+1an=4an+1+an 1an1+an n_n=【答案】120【解析】试题分析：数列 的前 项和为1an1+an n，所以 ，1a1+a2+ 1a2+a3+ 1an1+an=a2a14 +a3a24 +a2a14 =an+1a14 =5 an+1=22又 ，所以 ，由此可得 ，即应填 .an+1an=4an+1+an an+12an2=4 an+12=a12+4n=4+4n,222=4+4n,n=120 120考点：1.数列求和；2.累和法求数列通项.
16、【名师点睛】本题考查数列求和，累和法求数列通项，属中档题；由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 an1 a nf（n）或 an1 f （n）a n，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.16. 已知 的面积为 ，内角 所对的边分别为 ，且 成等比数列，ABC S A,B,C a,b,c 2sinC, sinB,cosA，则 的最小值为_b=23a,212c2+32ac18 4(c+1)292S+16a【答案】34【解析】试题分析：因
17、为 成等比数列，所以 ，所以 ，整2sinC, sinB,cosA sinB=2sinCcosA b=2cb2+c2a22bc理得 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，c=a S=12acsinB=b4a2b24 b=23a S=22a29因为 ，所以 ，则 ，令212c2+32ac18 212c2+32ac181a3 4(c+1)292S+16a= 4(a+1)29222a29+16a=4(a+1)2a2+4a=12a1a2+4a，因为 ，可知当 时， 取得最大值， ，所以 的最f(a)=2a1a2+4af(a)=2(a2)(a+1)(a2+4a)2 1a3 a=2 f(a) f(2)=14
18、4(c+1)292S+16a小值为 .34考点：等比数列的应用；余弦定理及三角形的面积公式；导数的应用.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式，余弦定理及三角形的面积公式、导数的综合应用，试题有一点的难度，属于难题，着重考查了学生的推理、运算能力及转化与化归思想方法的应用，本题的解答中根据题设条件先得出 ，在利用三角恒等变换和三角形的面积公式表示成三角形的面积，进而得到c=a的取值范围，再代入 ，利用导数研究其单调性确定最值即可.4(c+1)292S+16a17. 若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是x x|xa|m32(mZ)对 恒成立, 求 的最大值nN m【答案】
19、（1）见解析.（2） （3 ） n=10 7【解析】试题分析：（1）利用 ，求得 ，这是等差数列，故 ；an=SnSn1 anan1=4 an=4n3,Sn=2n2n（2 ） ，这是等差数列，前 向和为 ，故 ；（3） ，利用裂项求和Snn=2n1 n n=10 cn=12(1n1n+1)法求得 ，解得 ，故 .Tn=n2(n+1)m32 m0,Tnm32成立, 即 .m32|=| AMCP|AM|CP|= z23+z2|z|且 ， ，得 ， 8 分z0zz2+3=12 z=1 AM=(32,32,1)设平面 MAC 的一个法向量为 ，则由 得 得 10n=(x,y,1) nAM=0,nCA=
20、0 32x+32y+1=0,32x12y=0, x=33,y=1, n=(33,1,1)分平面 ABC 的一个法向量为 12 分CP=(0,0,1)cos= nCP|n|CP|=217显然，二面角 为锐二面角， 二面角 的余弦值为 13 分MACB MACB217考点：二面角的平面角，线线垂直点评：解决的关键是借助于空间向量法或几何性质法来得到证明和求解，属于基础题。21. 如图，已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆的一个焦点为 ， 是椭圆上的一点x ( 3,0) (1,32)（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为 ， （ ）是椭圆上异于 的任意一点， 轴， A,B P(x0,y
21、0) x00 A,B PQy为垂足， 为线段 中点，直线 交直线 于点 , 为线段 的中点，若 的面积为 ，Q M PQ AM l:y=1 CN BC MON32求 的值y0【答案】 （1） （2） x24+y2=1 y0=45【解析】试题分析：(1)设椭圆方程为 ,由题意,得 ,再由 是椭圆上的一个点,即可求x2a2+y2b2=1 c= 3 (1, 32)出椭圆方程;(2)根据题意,求出直线 AB 的方程、点 M,C,N 的坐标,计算 ,可得 ,再利用 ,结OMMN SMON=32合椭圆方程,求解可得结果.试题解析：（1）设椭圆方程为 ，由题意，得 因为 ，所以 又 是c= 3 a2-c2=
22、b2 b2=a2-3 (1,32)椭圆上的一个点，所以 ，解得 或 （舍去） ，从而椭圆的标准方程为 1a2+ 34a2-3=1 a2=4 a2=34 x24+y2=1（2）因为 ， ，则 ，且 因为 为线段 中点， 所以 又 ，所P(x0,y0) x00 Q(0,y0)x024+y02=1 M PQ A(0,1)以直线 的方程为 因为 令 ，得 又 ， 为线段 的AM y=2(y0-1)x0 x+1 x00,y01, y=-1 C( x01-y0,-1) B(0,-1) N中点，有 N(x02(1-y0),-1)所以 NM=(x02- x02(1-y0),y0+1)因此，= 从而 (x024
23、+y02)- x024(1-y0)+y0=1-(1+y0)+y0=0 OMMN因为 ， ，|OM|= x024+y02=1 |ON|= x204(1-y0)2+1= 1-y20(1-y0)2+1= 21-y0所以在 中， ，因此 从而有 ，解得RtMON |MN|= |ON|2-|OM|2=SMON=12|OM|MN|=121+y01-y0 121+y01-y0=32y0=4522. 已知函数 f(x)=ax2+bx+c（1）当 时，若存在 ，使得 ，求实数的取值范围；a=1,b=2 x1,x22,0(x1x2) |f(xi)|=2 (i=1,2)（2）若 为正整数，方程 的两个实数根 满足 ，求 的最小a,b,c ax2+bx+c=0 x1, x2 10f(1)0-10 a-b+c12a-b1b2-4ac1 所以 ，由于 a+b+c=(a-b+c)+2b1+2b b24ac+15当 时， ，且 无解，b=3 a+c4 acb2-14 =2当 时， ，且 ，于是 无解，b=4 a+c5 acb2-14 =154 ac3当 时， ，且 ，由 ，得 ，此时有解 ，b=5 a+c6 acb2-14 =6 2a-b1 a3 a=5,c=1综上所述， ，当 时取等号，即 的最小值为 11a+b+c11 a=5,b=5,c=1 a+b+c
