1、5.3 空间向量与立体几何命题角度 1 空间位置关系证明与线面角求解 高考真题体验对方向1.(2018 全国 18)如图,四边形 ABCD 为正方形,E,F 分别为 AD,BC 的中点,以 DF 为折痕把DFC 折起,使点 C到达点 P 的位置,且 PFBF.(1)证明:平面 PEF平面 ABFD;(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值.(1)证明 由已知可得,BFPF,BFEF ,所以 BF平面 PEF.又 BF平面 ABFD,所以平面 PEF平面 ABFD.(2)解 作 PHEF,垂足为 H.由(1)得,PH 平面 ABFD.以 H 为坐标原点,的方向为 y 轴正方向,| 为单位
2、长,建立如图所示的空间直角坐标系 H-xyz.由(1)可得,DE PE.又 DP=2,DE=1,所以 PE=.又 PF=1,EF=2,故 PEPF.可得 PH=,EH=.则 H(0,0,0),P,D 为平面 ABFD 的法向量.设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ,则 sin =.所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为.2.(2018 全国 20)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O 为 AC 的中点.(1)证明:PO 平面 ABC;(2)若点 M 在棱 BC 上,且二面角 M-PA-C 为 30,求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值.(
3、1)证明 因为 AP=CP=AC=4,O 为 AC 的中点,所以 OPAC,且 OP=2.连接 OB,因为 AB=BC=AC,所以 ABC 为等腰直角三角形,且 OBAC,OB=AC=2.由 OP2+OB2=PB2 知 POOB.由 OPOB ,OPAC 知 PO平面 ABC.(2)解 如图,以 O 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向,建立空间直角坐标系 O-xyz.由已知得 O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),=(0,2,2).取平面 PAC 的法向量=(2,0,0),设 M(a,2-a,0)(0=.由已知可得|cos|=.所以,解得
4、a=-4(舍去 ),a=.所以 n=.又=(0,2,- 2),所以 cos=.所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为.3.(2016 全国 19)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点.(1)证明 MN平面 PAB;(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.(1)证明 由已知得 AM=AD=2.取 BP 的中点 T,连接 AT,TN,由 N 为 PC 中点知TNBC ,TN=BC=2.又 ADBC,故 TNAM,四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MNAT.
5、因为 AT平面PAB,MN平面 PAB,所以 MN平面 PAB.(2)解 取 BC 的中点 E,连接 AE.由 AB=AC 得 AEBC ,从而 AEAD,且 AE=.以 A 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz.由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C (,2,0),N=(0,2,-4),.设 n=(x,y,z)为平面 PMN 的法向量,则可取 n=(0,2,1).于是|cos|=.4.(2015 全国 18)如图,四边形 ABCD 为菱形,ABC= 120,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE平面 ABCD,DF平面 ABCD,BE=
6、2DF,AEEC.(1)证明:平面 AEC平面 AFC;(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.(1)证明 连接 BD,设 BDAC=G,连接 EG,FG,EF.在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1.由ABC=120,可得 AG=GC=.由 BE平面 ABCD,AB=BC,可知 AE=EC.又 AEEC,所以 EG=,且 EGAC.在 RtEBG 中,可得 BE=,故 DF=.在 RtFDG 中,可得 FG=.在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE=,DF=,可得 EF=.从而 EG2+FG2=EF2,所以 EGFG.又 ACFG=G,可得 EG平面 AFC.因为 EG平面
7、AEC,所以平面 AEC平面 AFC.(2)解 如图,以 G 为坐标原点,分别以的方向为 x 轴、y 轴正方向,|为单位长,建立空间直角坐标系 G-xyz.由(1) 可得 A(0,-,0),E(1,0,),F,C(0,0),所以=(1,),.故 cos0),则 A1(2,t,0),C(0,0,2),E(0,0,0),F -2,0 ,D -,0, ,所以=( -2,-t,2),= -2,0 ,因为 A1CEF, 所以=0,所以(-2) (-2)-t+20=0,解得 t=2.所以=( -2,0),= -,0, ,设平面 DEF 的法向量为 n=(x,y,z),则所以取 x=1,则 n=(1,),又
8、因为=(- 2,0,2),设直线 A1C1 与平面 DEF 所成的角为 ,所以 sin =|cos|=,所以直线 A1C1 与平面 DEF 所成的角的正弦值为.4.(2018 东北三省三校二模)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面为菱形,BAD=120,AB=2,E,F 为 CD,AA1 的中点.(1)求证:DF 平面 B1AE;(2)若 AA1底面 ABCD,且直线 AD1 与平面 B1AE 所成线面角的正弦值为,求 AA1 的长.(1)证明 设 G 为 AB1 的中点,连接 EG,GF,因为 FGA1B1,又 DEA1B1,所以 FGDE,所以四边形 DEGF 是平行四边形,所
9、以 DFEG ,又 DF平面 B1AE,EG平面 B1AE,所以 DF平面 B1AE.(2)解 因为 ABCD 是菱形,且ABC=60,所以 ABC 是等边三角形.取 BC 中点 M,则 AMAD,因为 AA1平面 ABCD,所以 AA1AM,AA 1AD,建立如图的空间直角坐标系 A-xyz,令 AA1=t(t0),则 A(0,0,0),E ,0 ,B1(,-1,t),D1(0,2,t),= ,0 ,=(,-1,t),=(0,2,t),设平面 B1AE 的一个法向量为 n=(x,y,z),则 n(x+y)=0 且 nx-y+tz=0,取 n=(-t,t,4),设直线 AD1 与平面 B1AE
10、 所成角为 ,则 sin =,解得 t=2,故线段 AA1 的长为 2.5.(2018 湖南长沙一模,18)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为梯形, ADE,BCF 均为等边三角形,EFAB ,EF=AD=AB.(1)过 BD 作截面与线段 FC 交于点 N,使得 AF平面 BDN,试确定点 N 的位置,并予以证明;(2)在(1)的条件下,求直线 BN 与平面 ABF 所成角的正弦值 .解 (1)当 N 为线段 FC 的中点时,使得 AF平面 BDN.证法如下:连接 AC,BD,设 ACBD=O, 四边形 ABCD 为矩形, O 为 AC 的中点,又 N 为 FC 的中点,
11、 ON 为ACF 的中位线, AFON. AF平面 BDN,ON平面 BDN, AF平面 BDN,故 N 为 FC 的中点时,使得 AF平面 BDN.(2)过点 O 作 PQAB 分别与 AD,BC 交于点 P,Q,因为 O 为 AC 的中点,所以 P,Q 分别为AD,BC 的中点, ADE 与BCF 均为等边三角形,且 AD=BC, ADEBCF,连接 EP,FQ,则得 EP=FQ, EFAB,AB PQ,EF=AB, EFPQ ,EF=PQ, 四边形 EPQF 为等腰梯形.取 EF 的中点 M,连接 MO,则 MOPQ,又 ADEP,ADPQ,EPPQ=P, AD平面 EPQF,过点 O
12、作 OGAB 于点 G,则 OGAD, OGOM ,OGOQ.分别以的方向为 x,y,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 O-xyz,不妨设 AB=4,则由条件可得 O(0,0,0),A(1,-2,0),B(1,2,0),F(0,1,),D(-1,-2,0),N.设 n=(x,y,z)是平面 ABF 的法向量 ,则所以可取 n=(,0,1),由,可得|cos|=, 直线 BN 与平面 ABF 所成角的正弦值为 .命题角度 2 空间位置关系证明与二面角求解 高考真题体验对方向1.(2018 全国 19)如图,边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M 是上异于 C,D 的
13、点.(1)证明:平面 AMD平面 BMC;(2)当三棱锥 M-ABC 体积最大时,求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值.(1)证明 由题设知,平面 CMD 平面 ABCD,交线为 CD.因为 BCCD,BC平面 ABCD,所以BC平面 CMD,故 BCDM.因为 M 为上异于 C,D 的点,且 DC 为直径,所以 DMCM.又 BCCM=C,所以 DM平面 BMC.而 DM平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC.(2)解 以 O 为坐标原点 ,的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.当三棱锥 M-ABC 体积最大时,M 为的中点.由题设得 D(0,0,0)
14、,A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),=(-2,1,1),=(0,2,0),=(2,0,0).设 n=(x1,y,z)是平面 MAB 的法向量,则可取 n=(1,0,2),是平面 MCD 的法向量,因此 cos=,sin=.所共面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是.2.(2017 全国 18)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD,且BAP=CDP= 90.(1)证明:平面 PAB平面 PAD;(2)若 PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角 A-PB-C 的余弦值.(1)证明 由已知BAP= CDP=90,得 ABAP,CDPD.由于
15、 ABCD,故 ABPD,从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB,所以平面 PAB平面 PAD.(2)解 在平面 PAD 内作 PFAD,垂足为 F.由(1)可知,AB平面 PAD,故 ABPF ,可得 PF平面 ABCD.以 F 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 F-xyz.由(1)及已知可得 A,P,B,C.所以=(,0,0),=(0,1,0).设 n=(x,y,z)是平面 PCB 的法向量,则可取 n=(0,-1,-).设 m=(x,y,z)是平面 PAB 的法向量 ,则可取 m=(1,0,1).则 cos=-.所以二面角 A-PB-C
16、的余弦值为-.3.(2017 全国 19)如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD= ABC=90,E 是 PD 的中点.(1)证明:直线 CE平面 PAB;(2)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45,求二面角 M-AB-D 的余弦值.(1)证明 取 PA 的中点 F,连接 EF,BF.因为 E 是 PD 的中点 ,所以 EFAD,EF=AD.由BAD= ABC= 90得 BCAD,又 BC=AD,所以 EFBC,四边形 BCEF 是平行四边形,CE BF,又 BF平面 PAB,CE平面 PAB,
17、故 CE平面 PAB.(2)解 由已知得 BAAD,以 A 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).设 M(x,y,z)(0|=sin 45,即(x-1) 2+y2-z2=0.又 M 在棱 PC 上,设= ,则x=,y=1,z=.由 , 解得(舍去),所以 M,从而.设 m=(x0,y0,z0)是平面 ABM 的法向量,则所以可取 m=(0,-,2).于是 cos=.因此二面角 M-AB-D 的余弦值为.4.(2017 全国 19)如图
18、,四面体 ABCD 中, ABC 是正三角形,ACD 是直角三角形,ABD= CBD,AB=BD.(1)证明:平面 ACD平面 ABC;(2)过 AC 的平面交 BD 于点 E,若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角 D-AE-C 的余弦值.(1)证明 由题设可得, ABDCBD,从而 AD=DC.又ACD 是直角三角形,所以ADC= 90.取 AC 的中点 O,连接 DO,BO,则 DOAC,DO=AO.又由于ABC 是正三角形,故 BOAC.所以DOB 为二面角 D-AC-B 的平面角.在 RtAOB 中,BO 2+AO2=AB2,又 AB=BD,所以 BO2+
19、DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.所以平面 ACD平面ABC.(2)解 由题设及(1) 知,OA,OB,OD 两两垂直,以 O 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向,| 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.则 A(1,0,0),B(0,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由题设知,四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的,从而 E 到平面 ABC 的距离为D 到平面 ABC 的距离的,即 E 为 DB 的中点 ,得 E.故= (-1,0,1),=(-2,0,0),.设 n=(x,y,z)是平面 DAE 的法向量,则可取 n=.设 m 是平
20、面 AEC 的法向量,则同理可取 m=(0,-1,).则 cos=.所以二面角 D-AE-C 的余弦值为.5.(2016 全国 18)如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60.(1)证明:平面 ABEF平面 EFDC;(2)求二面角 E-BC-A 的余弦值.(1)证明 由已知可得 AFDF,AFFE,所以 AF平面 EFDC.又 AF平面 ABEF,故平面 ABEF平面 EFDC.(2)解 过 D 作 DGEF,垂足为 G,由(1)知 DG平面 ABEF.以 G 为坐标原
21、点,的方向为 x 轴正方向,| 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 G-xyz.由(1)知DFE 为二面角 D-AF-E 的平面角,故DFE= 60,则|DF|=2,|DG|=,可得 A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,).由已知,ABEF,所以 AB平面 EFDC.又平面 ABCD平面 EFDC=CD,故 ABCD,CDEF.由 BEAF,可得 BE平面 EFDC,所以CEF 为二面角 C-BE-F 的平面角,CEF=60.从而可得 C(-2,0,).所以=(1,0,),=(0,4,0),=(-3,-4,),= (-4,0,0),设 n=(x,y,z)是
22、平面 BCE 的法向量,则所以可取 n=(3,0,-).设 m 是平面 ABCD 的法向量 ,则同理可取 m=(0,4),则 cos=-.故二面角 E-BC-A 的余弦值为-.新题演练提能刷高分1.(2018 重庆二诊)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC ,C1C平面 ABC,侧面 ABB1A1 是正方形,点 E 为棱 AB 的中点,点 M,N 分别在棱 A1B1,AA1 上,且 A1M=A1B1,AN=AA1.(1)证明:平面 CMN平面 CEN;(2)若 ACBC, 求二面角 M-CN-A1 的余弦值.(1)证明 设 AB=8,则 A1M=3,AN=2,A1N=6,tan
23、NEA= ,tanMNA 1=, NEA=MNA 1,又NEA=- ENA ,所以MNA 1=-ENA,所以 MNEN.因为 BC=AC,E 为 AB 中点,所以 CEAB.因为 ABC-A1B1C1 为直三棱柱 ,所以 CE平面 AA1B1B,所以 MNCE,因为 CENE=N,所以 MN平面 CEN,因为 MN平面 CMN,所以平面 CMN平面 CEN.(2)解 由 ACBC ,以 C 为原点,分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,M ,8 ,N(0,4,2),设平面 CMN 的法向量为 n1=(x,y,z),解得 n1=(9,-4).平面 CNA1 的法向量 n2=(1,0,0),设
24、所求二面角平面角为 ,cos =.2.(2018 河北石家庄一模)四棱锥 S-ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形,ABCD,ABBC,AB=2BC=2CD=2,SAD 为正三角形.(1)点 M 为棱 AB 上一点,若 BC平面 SDM,=,求实数 的值;(2)若 BCSD,求二面角 A-SB-C 的余弦值.解 (1)因为 BC平面 SDM,BC平面 ABCD,平面 SDM平面 ABCD=DM,所以 BCDM.因为 ABDC,所以四边形 BCDM 为平行四边形,又 AB=2CD,所以 M 为 AB 的中点.因为=, =.(2)因为 BCSD,BC CD,SD CD=D,所以 BC平面 SCD
25、,又因为 BC平面 ABCD,所以平面 SCD平面 ABCD,平面 SCD平面 ABCD=CD,在平面 SCD 内过点 S 作 SE直线 CD 于点 E,则 SE平面 ABCD,在 RtSEA 和 RtSED 中,因为 SA=SD,所以 AE=DE,又由题知EDA=45,所以 AEED,所以 AE=ED=SE=1,以下建系求解:以点 E 为坐标原点,EA 方向为 x 轴,EC 方向为 y 轴,ES 方向为 z 轴建立如图所示空间坐标系,则 E(0,0,0),S(0,0,1),A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),=(1,0,-1),=(0,2,0),=(0,2,-1),=(1,
26、0,0),设平面 SAB 的法向量 n1=(x,y,z),则所以令 x=1 得 n1=(1,0,1)为平面 SAB 的一个法向量,同理得 n2=(0,1,2)为平面 SBC 的一个法向量,cos=,因为二面角 A-SB-C 为钝角,所以二面角 A-SB-C 余弦值为-.3.(2018 海南期末)如图,是一个半圆柱与多面体 ABB1A1C 构成的几何体 ,平面 ABC 与半圆柱的下底面共面,且 ACBC,P 为弧上(不与 A1,B1 重合) 的动点.(1)证明:PA 1平面 PBB1;(2)若四边形 ABB1A1 为正方形 ,且 AC=BC,PB 1A1=,求二面角 P-A1B1-C 的余弦值.
27、解 (1)在半圆柱中,BB 1平面 PA1B1,所以 BB1PA 1.因为 A1B1 是上底面对应圆的直径,所以PA1PB 1.因为 PB1BB1=B1,PB1平面 PBB1,BB1平面 PBB1,所以 PA1平面 PBB1.(2)以点 C 为坐标原点,以 CA,CB 为 x,y 轴,过点 C 作与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 C-xyz.如图所示,设 CB=1,则 B(1,0,0),A(0,1,0),A1(0,1,),B1(1,0,),P(1,1,).所以=(0,1,),=(1,0,).平面 PA1B1 的一个法向量 n1=(0,0,1).设平面 CA1B1 的一个
28、法向量 n2=(x,y,z),则令 z=1,则所以可取 n2=(-,-,1),所以 cos=.由图可知二面角 P-A1B1-C 为钝角,所以所求二面角的余弦值为-.4.(2018 江西南昌一模)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,ABCD 为直角梯形,ADBC,AD AB,AB=BC=AP=AD=3,ACBD=O,过 O 点作平面 平行于平面 PAB,平面 与棱 BC,AD,PD,PC 分别相交于点 E,F,G,H.(1)求 GH 的长度;(2)求二面角 B-FH-E 的余弦值.解 (1)因为 平面 PAB,平面 平面 ABCD=EF,OEF,平面 PAB平面 ABCD=AB
29、,所以EFAB,同理 EHBP,FG AP,因为 BCAD,AD=6,BC=3,所以BOCDOA,且,所以,CE=CB= 1,BE=AF=2,同理,连接 HO,则有 HOPA,所以 HOEO ,HO=1,所以 EH=PB=,同理,FG=PA= 2,过点 H 作 HNEF 交 FG 于 N,则 GH=.(2)建立如图所示空间直角坐标系,则 B(3,0,0),F(0,2,0),E(3,2,0),H(2,2,1),=(-1,2,1),=(2,0,1),设平面 BFH 的法向量为 n=(x,y,z),令 z=-2,得 n=,因为平面 EFGH平面 PAB,所以平面 EFGH 的法向量 m=(0,1,0
30、).cos=,故二面角 B-FH-E 的余弦值为.5.(2018 山东淄博二模,18)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB=CC 1=2,ACC 1=CC 1B1,直线 AC 与直线 BB1 所成的角为 60.(1)求证:AB 1CC 1;(2)若 AB1=,M 是 AB1 上的点,当平面 MCC1 与平面 AB1C 所成二面角的余弦值为时,求的值.(1)证明 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各侧面均为平行四边形,所以 BB1CC 1,则ACC 1 即为 AC与 BB1 所成的角,所以ACC 1=CC 1B1=60.连接 AC1 和 B1C,因为 CA=CB=CC1=2,所
31、以AC 1C 和 B1CC1 均为等边三角形.取 CC1 的中点 O,连 AO 和 B1O,则 AOCC 1,B1OCC 1.又 AOB1O=O,所以 CC1平面 AOB1.AB1平面 AOB1,所以 AB1CC 1.(2)解 由(1)知 AO=B1O=,因为 AB1=,则 AO2+B1O2=A,所以 AOB 1O,又 AOCC 1,所以 AO平面 BCC1B1.以 OB1 所在直线为 x 轴,OC 1 所在直线为 y 轴,OA 所在直线为 z 轴,如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,),C(0,-1,0),C1(0,1,0),B1(,0,0),=(0,-1,-),=(,0,-),=(0,
32、2,0),设=t,M(x,y,z),则(x,y,z-) =t(-x,-y,-z),所以 x=,y=0,z=,M,所以.设平面 ACB1 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),平面 MCC1 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),所以解得 n1=(1,-,1).解得 n2=(1,0,-t).所以 cos =.解得 t=或 t=2,即= 2.6.(2018 湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)如图,在几何体 ABCDEF 中,平面 ADE平面ABCD,四边形 ABCD 为菱形,且DAB=60,EA=ED=AB=2EF,EFAB,M 为 BC 中点.(1)求证:FM平面 BDE;(2)求二面角
33、D-BF-C 的平面角的正弦值.(1)证明 取 CD 中点 N,连接 MN,FN,因为 N,M 分别为 CD,BC 中点,所以 MNBD.又 BD平面 BDE,且 MN平面 BDE,所以 MN平面 BDE,因为 EFAB,AB=2EF,所以 EFCD,EF=DN.所以四边形 EFND 为平行四边形.所以 FNED.又 ED平面BDE 且 FN平面 BDE,所以 FN平面 BDE,又 FNMN=N,所以平面 MFN平面 BDE.又 FM平面 MFN,所以 FM平面 BDE.(2)解 取 AD 中点 O,连接 EO,BO.因为 EA=ED,所以 EOAD.因为平面 ADE平面 ABCD,所以 EO
34、平面 ABCD,EOBO.因为 AD=AB,DAB= 60,所以ADB 为等边三角形 .因为 O 为 AD 中点,所以 ADBO.因为 EO,BO,AO 两两垂直,设 AB=4,以 O 为原点,OA,OB,OE 为 x,y,z 轴,如图建立空间直角坐标系 O-xyz由题意得 A(2,0,0),B(0,2,0),C(-4,2,0),D(-2,0,0),E(0,0,2),F(-1,2).=(2,2,0),=(1,2),=(3,-,2),=(4,0,0).设平面 BDF 的法向量为 n=(x,y,z),则令 x=1,则 y=-,z=0,所以 n= 1,-,0 .设平面 BCF 的法向量为 m=(x,
35、y,z),则令 z=1,则 y=2,x=0,所以 m=(0,2,1). cos=-, 二面角 D-BF-C 平面角的正弦值为.7.(2018 辽宁大连一模)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形,PA平面 ABCD,E,F分别是线段 AD,PB 的中点,PA=AB=1.(1)求证:EF平面 DCP;(2)求平面 EFC 与平面 PDC 所成锐二面角的余弦值.解 (1)(方法一 )取 PC 中点 M,连接 DM,MF. M,F 分别是 PC,PB 中点, MFCB,MF=CB, E 为 DA 中点 ,ABCD 为正方形, DECB ,DE=CB, MFDE ,MF=DE, 四边形 DE
36、FM 为平行四边形, EFDM , EF平面 PDC,DM平面 PDC, EF平面 PDC.(方法二) 取 PA 中点 N,连接 NE,NF. E 是 AD 中点,N 是 PA 中点, NEDP,又 F 是 PB 中点 ,N 是 PA 中点, NEAB , ABCD, NFCD,又 NENF=N,NE平面 NEF,NF平面 NEF,DP平面 PCD,CD平面 PCD, 平面 NEF平面 PCD.又 EF平面 NEF, EF平面 PCD.(方法三) 取 BC 中点 G,连接 EG,FG,在正方形 ABCD 中,E 是 AD 中点,G 是 BC 中点, GECD,又 F 是 PB 中点 ,G 是
37、BC 中点, GFPC,又 PCCD=C,GE平面 GEF,GF平面GEF,PC平面 PCD,CD平面 PCD, 平面 GEF平面 PCD. EF平面 GEF, EF平面 PCD.(2) PA平面 ABC,且四边形 ABCD 是正方形, AD,AB,AP 两两垂直,以 A 为原点,AP,AB,AD 所在直线为 x,y,z 轴 ,建立空间直角坐标系 A-xyz,则 P(1,0,0),D(0,0,1),C(0,1,1),E 0,0, ,F ,0 .设平面 EFC 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),= ,- ,= -,1 ,则即取 n1=(3,-1,2),则设平面 PDC 的法向量为 n2=(
38、x2,y2,z2),=(-1,0,1),=(-1,1,1),则即取 n2=(1,0,1),cos=. 平面 EFC 与平面 PDC 所成锐二面角的余弦值为.命题角度 3 折叠问题、点到平面的距离 高考真题体验对方向1.(2016 全国 19)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB=5,AC=6,点 E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=,EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到 DEF 的位置,OD=.(1)证明:DH平面 ABCD;(2)求二面角 B-DA-C 的正弦值.(1)证明 由已知得 ACBD ,AD=CD.又由 AE=CF 得,故 ACEF.
39、因此 EFHD,从而 EFDH.由 AB=5,AC=6 得 DO=BO=4.由 EFAC 得.所以 OH=1,DH=DH=3.于是 DH2+OH2=32+12=10=DO2,故 DHOH.又 DHEF,而 OHEF=H,所以 DH平面 ABCD.(2)解 如图,以 H 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向,建立空间直角坐标系 H-xyz.则 H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D(0,0,3),=(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).设 m=(x1,y1,z1)是平面 ABD的法向量,则所以可取 m=(4,3,-5).设 n=(x2,y
40、2,z2)是平面 ACD的法向量,则所以可取 n=(0,-3,1).于是 cos=-.sin=.因此二面角 B-DA-C 的正弦值是.2.(2015 陕西18) 如图 ,在直角梯形 ABCD 中,ADBC,BAD=,AB=BC= 1,AD=2,E 是 AD 的中点,O 是 AC 与 BE 的交点,将 ABE 沿 BE 折起到A 1BE 的位置,如图 .(1)证明:CD 平面 A1OC;(2)若平面 A1BE平面 BCDE,求平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值 .(1)证明 在题图 中,因为 AB=BC=1,AD=2,E 是 AD 的中点 ,BAD=,所以 BEAC,即在题图 中,B
41、EOA 1,BEOC,从而 BE平面 A1OC,又 CDBE ,所以 CD平面 A1OC.(2)解 由已知,平面 A1BE平面 BCDE,又由(1)知,平面 A1BE平面 BCDE,又由(1)知,BEOA 1,BEOC,所以A 1OC 为二面角 A1-BE-C 的平面角,所以A 1OC=.如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 ,因为 A1B=A1E=BC=ED=1,BCED,所以 B,E,A1,C,得 =(-,0,0).设平面 A1BC 的法向量 n1=(x1,y1,z1),平面 A1CD 的法向量 n2=(x2,y2,z2),平面 A1BC 与平面A1CD 夹角为 ,则取 n1=(1,1
42、,1);取 n2=(0,1,1),从而 cos =|cos|=,即平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值为.新题演练提能刷高分1.(2018 河南 4 月适应性考试 )如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,DAB=60.点 E,F 分别在边 CD,CB 上,点 E 与点 C,D 不重合 ,EFAC ,EFAC=O.沿 EF 将 CEF 翻折到PEF 的位置,使平面 PEF平面 ABFED.(1)求证:PO 平面 ABD;(2)当 PB 与平面 ABD 所成的角为 45时,求平面 PBF 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值.(1)证明 EFAC, POEF. 平面 PEF平面 AB
43、FED,平面 PEF平面 ABFED=EF,且PO平面 PEF, PO平面 ABD.(2)解 如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O-xyz,连接 BO, PO平面 ABD, PBO 为 PB 与平面 ABD 所成的角,即PBO=45, PO=BO.设 AOBD=H, DAB= 60, BDA 为等边三角形 , BD=2,HB=,HC=3.设 PO=x,则 OH=3-x,由 PO2=OH2+HB2,得 x=2,即 PO=2,OH=1. P(0,0,2),A(4,0,0),B(1,0),D(1,-,0),F 0,0 .设平面 PAD,平面 PBF 的法向量分别为 m=(a,b,c),n=(
44、x,y,z),由取 a=1,得 m=(1,-,2).同理,得 n=(-1,1), cos=-, 平面 PBF 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值为.2.(2018 广东揭阳学业水平考试 )如图所示,平面多边形 ABCDE 中,AE=ED,AB=BD,且AB=,AD=2,AE=,CD=1,ADCD,现沿直线 AD,将 ADE 折起,得到四棱锥 P-ABCD.(1)求证:PBAD;(2)若 PB=,求 PD 与平面 PAB 所成角的正弦值.(1)证明 取 AD 的中点 O,连接 OB,OP, BA=BD,EA=ED,即 PA=PD, OBAD 且 OPAD,又 OBOP=O, AD平面 BOP,
45、而 PB平面 BOP, PBAD.(2)解 OP=1,OB=2,OP2+OB2=5=PB2, POOB , OP,OB,OD 两两互相垂直,以 O 为坐标原点,OB ,OD,OP 所在的直线为 x,y,z 轴建立如图所示空间直角坐标系 O-xyz,则 A(0,-1,0),B(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),=(0,-1,1),=(0,1,1),=(-2,0,1),设 m=(a,b,c)为平面 PAB 的一个法向量 ,则由令 a=1,则得 c=2,b=-2, m=(1,-2,2),设 PD 与平面 PAB 所成角为 ,则 sin =,即 PD 与平面 PAB 所成角的正弦值为.
46、3.(2018 东北三省三校三模)已知等腰直角 SAB,SA=AB=4,SAAB,C,D 分别为 SB,SA 的中点,将SCD 沿 CD 折到SCD 的位置,SA=2,取线段 SB 的中点为 E.(1)求证:CE平面 SAD;(2)求二面角 A-EC-B 的余弦值.(1)证明 取 SA 中点 F,连接 DF,EF, SE=EB,SF=FA, EFAB.又 CDAB, CDEF, 四边形 CDFE 为平行四边形, CEFD , CE平面 SAD,FD平面 SAD, CE平面 SAD.(2)解 SD=AD=2,SA=2, SD2+AD2=SA2. SDAD. SDCD,SD平面 SCD, SD平面
47、 ABCD, AD,CD平面 ABCD, SD AD,SDCD,又 ADDC, DA,DC,DS 两两互相垂直,如图所示,分别以 DA,DC,DS 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz,则 A(2,0,0),C(0,2,0),S(0,0,2),B(2,4,0),E(1,2,1),=(1,0,1),=(2,-2,0),=(2,2,0),设平面 ECA,平面 ECB 的法向量分别为 m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2),则取 m=(1,1,-1),取 n=(1,-1,-1). cos=, 二面角 A-EC-B 的平面角的余弦值为-.4.(2018 山东济南一模)如图 1,在高为 6 的等腰梯形 ABCD 中,ABCD,且 CD=6,AB=12,将它沿对称轴 OO1 折起,使平面 ADO1O平面 BCO1O.如图 2,点 P 为 BC 中点,点 E 在线段 AB 上(不同于 A,B 两点),连接 OE 并延长至点 Q,使 AQOB.(1)证明:OD平面 PAQ;(2)若 BE=2AE,求二面角 C-BQ-A 的余弦值.(1)证明 由题设知 OA,OB,OO1 两两垂直,所以以 O 为坐标原点,OA,OB,OO 1 所
