1、bb第 14 讲 空间向量与立体几何知识要点一空间向量1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示 奎 屯王 新 敞新 疆 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。； ;baABObaOBA运算律：加法交换律： a加法结合律： )()( cbc数乘分配律： ba运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， 平行于
2、，记作 。abba/（2）共线向量定理：空间任意两个向量 、 （ ）， / 存在实数 ，使 。ab0abab（3）三点共线：A、B、C 三点共线 ACB( ）Oyx1yx其 中（4）与 共线的单位向量为aa4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量 不共线， 与向量 共面的条件是存在实数 使,abp,ab,xy。pxaybbb（3）四点共面：若 A、B、C、P 四点共面 ACyBxAP)1( zOzByOx其 中5. 空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有,
3、abc p序实数组 ，使 。,xyzpxyz若三向量 不共面，我们把 叫做空间的一个基底， 叫做基向量，空间任abc,c,abc意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设 是不共面的四点，则对空间任一点 ，都存在唯一的三个有序实数 ，,OABCP,xyz使 。zyxP6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 中，对空间任一点 ，存在唯一的有序实数组 ，xyzA(,)xyz，有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，记kixOA(,)xyzO作 ， 叫横坐标， 叫纵坐标， 叫竖坐标。(,)yz 注：点 A（x,y,z）关于 x 轴的的对称点为
4、(x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在 y 轴上的点设为(0,y,0),在平面 yOz中的点设为(0,y,z)（ 2） 若 空 间 的 一 个 基 底 的 三 个 基 向 量 互 相 垂 直 ， 且 长 为 ， 这 个 基 底 叫 单 位 正 交 基 底 ， 用1表 示 。空间中任一向量 =（x,y,z）,ijk kzjyixa（3）空间向量的直角坐标运算律：若 ， ，则 ，123(,)a123(,)b 123(,)abab， ， 23,ba23(,)R，12， 1233/,()abRbb。1230aba
5、b若 ， ，则 。(,)Axyz2(,)Bxyz ),(121212zyxAB一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式：若 ， ， ，则点 P 坐标为 1(,)22(,)xyzBP。推导：设 P（x,y,z ）则 ,1( 2212zyx,显然，当 P 为 AB 中点时， ),(), 221, zyxzy),2(1xP ，三角形重心 P 坐标为),(),(, 321 zyxCzyxB（zyAxBC中2,3( 323121yxABC 的五心：内心 P：内切圆的圆心，角平分线的交点： （单位向量）)(ACBAP外心 P：外接圆的圆心，中垂线的交点
6、：垂心 P：高的交点： （移项，内积为 0，则垂直）PCPAB重心 P：中线的交点，三等分点（中位线比） )(31ACB中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若 ， ，123(,)a123(,)b则 ，| a 2213|bb（5）夹角公式： 。123221cos|aabABC 中 A 为锐角 A 为钝角，钝角 0ACB0ACB（6）两点间的距离公式：若 ， ，1(,)xyz2(,)xyz则 ，2211|bb或 222, 111()()()ABdxyz7. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 ，在空间任取一点 ，作 ，,abObBaA,则 叫做向量 与 的夹角
7、，记作 ；且规定 ，显然有 AOBab,0,b；若 ，则称 与 互相垂直，记作： 。,ab,2a（2）向量的模：设 则有向线段 的长度叫做向量 的长度或模，记作： 。,OA|（3）向量的数量积：已知向量 ，则 叫做 的数量积，记作,ab|cos,bab,，即 。ab|cos,（4）空间向量数量积的性质： 。 。 。|cs,eae 0ba2|a（5）空间向量数量积运算律： 。 （交换律）。()()()ab （分配律）。cac不满足乘法结合率： )()(ba二空间向量与立体几何1线线平行 两线的方向向量平行1-1 线面平行 线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行 两面的法向量平行2.线线垂直
8、（共面与异面） 两线的方向向量垂直2-1 线面垂直 线与面的法向量平行2-2 面面垂直 两面的法向量垂直3.线线夹角 （共面与异面） 两线的方向向量 的夹角或夹角的补角，90,O2,1n2,1cosn3-1 线面夹角 ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量 与面的法向量 的夹角，若为,0O APn锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角. AP,cossibb3-2 面面夹角（二面角） ：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量180,O的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. 2,1n21,coscsn4点面距离 ：求点 到平面 的距离： 在平面 上取一点 ，得向量 ; 计算平h0Pxy,QxyP面 的法向量 ;.nQ4-1 线面距离（线面平行）：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行）：转化为点面距离随堂演练 一选择题bbbb2填空题5.（2017徐汇区校级模拟）在正三棱柱 中，各棱长都相等， 是 的中点，则1CBAM1B与平面 所成角的正弦值是 .1BCMA1三解答题bbbbbb
