1、跟踪强化训练( 二十六)1(2017合肥质检 )已知点 F 为椭圆 E： 1( ab0)的左x2a2 y2b2焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线 1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M.x4 y2(1)求椭圆 E 的方程；(2)设直线 1 与 y 轴交于 P，过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交x4 y2于不同的两点 A，B ，若 |PM|2|PA|PB|，求实数 的取值范围解 (1)由 题意，得 a 2c，b c，则椭圆 E 为 1，由3x24c2 y23c2Error!，得 x22x4 3c20.直线 1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M，x4 y244(43c 2)0c
2、 21，椭圆 E 的方程 为 1.x24 y23(2)由(1)得 M ，(1，32)直线 1 与 y 轴交于 P(0,2)，x4 y2|PM|2 ，54当直线 l 与 x 轴垂直时，|PA|PB|(2 )(2 )1，3 3|PM|2| PA|PB| ，45当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 ykx2，A(x 1，y1)，B(x2，y2)，由Error!(34k 2)x216kx40，依题意得，x 1x2 ，且 48(4k 21)0，43 4k2|PA|PB| (1k 2)x1x2(1k 2) 1 ，43 4k2 13 4k2 54 45，(1 13 4k2)k2 ， 0.由根
3、与系数的关系得，x 1x 2 ，8 2bkk2x1x2 .b2k2因为 x 轴是 PBQ 的平分线，所以 ，即 y1(x21)y 2(x1 1)0，y1x1 1 y2x2 1(kx1 b)(x21)( kx2b)(x 11)0，整理得 2kx1x2(bk)(x 1x 2)2b0，将代入并化简得 8(bk )0，kb，此 时 0，直线 l 的方程为 yk(x 1)，即直线 l 过定点(1,0)3(2018湖北部分重点中学高三起点考试)已知椭圆C： 1(a b0)的离心率为 ，左焦点为 F(1,0) ，过点x2a2 y2b2 22D(0,2)且斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点(1)求
4、椭圆 C 的标准方程；(2)在 y 轴上，是否存在定点 E，使 恒为定值？若存在，AE BE 求出 E 点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由解 (1)由已知可得 Error!解得 a22， b21 ，所以椭圆 C 的标准方程为 y 21.x22(2)设过 点 D(0,2)且斜率为 k 的直线 l 的方程为ykx 2，由Error!消去 y 整理得 (12k 2)x28kx6 0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x 2 ，8k1 2k2x1x2 .61 2k2又 y1y2(kx 12)( kx2 2)k 2x1x22k (x1x 2)4 ，2k2 42k2 1y1y 2(kx
5、12)(kx 22)k (x1x 2)4 .42k2 1设存在点 E(0，m)，则 ( x 1，my 1)，AE (x 2，my 2)，BE 所以 x 1x2m 2m( y1y 2)y 1y2AE BE m2m 62k2 1 42k2 1 2k2 42k2 1 .2m2 2k2 m2 4m 102k2 1要使得 t( t 为常数)，AE BE 只需 t，从而(2m 222t )2m2 2k2 m2 4m 102k2 1k2m 24m 10t 0，即Error!解得 m ，从而 t ，114 10516故存在定点 E ，使 恒为定值 .(0，114) AE BE 105164(2017广东惠州第
6、三次调研) 已知椭圆 C： 1(ab0)x2a2 y2b2的左、右焦点分别为 F1(1,0)，F 2(1,0)，点 A 在椭圆 C 上(1，22)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)是否存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆 C 有两个不同交点 M，N 时，能在直线 y 上找到一点 P，在椭圆 C 上找到一点53Q，满足 ？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理PM NQ 由解 (1)设椭圆 C 的焦距为 2c，则 c1，因为 A 在椭圆 C 上，所以 2a|AF 1|AF 2|2 ，(1，22) 2因此 a ，b2a 2c 21，2故椭圆 C 的方程为 y 21.x22(2)椭圆 C 上
7、不存在这样的点 Q，证明如下：设直线的方程为y2x t，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P ，(x3，53)Q(x4，y4)，MN 的中点为 D(x0，y0)，由Error!消去 x，得 9y22ty t 280，所以 y1y 2 ，且 4t 236(t 28)0，2t9故 y0 ，且3 t3.y1 y22 t9由 得 (x 4x 2，y4y 2)PM NQ (x1 x3，y1 53)所以有 y1 y 4y 2，y4y 1y 2 t .53 53 29 53(也可由 知四边形 PMQN 为平行四边形，而 D 为线段PM NQ MN 的中点，因此，D 也 为线段 PQ 的中点，所以 y0 ，可得53 y42 t9y4 )，2t 159又3t3，所以 y41，73与椭圆上点的纵坐标的取值范围1,1矛盾因此点 Q 不在椭圆上
