2019届高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复述的引入课时作业（打包4套）.zip

1第一节 平面向量的概念及线性运算课时作业A组——基础对点练1．(2017·杭州模拟)在△ ABC中，已知 M是 BC中点，设 ＝ a， ＝ b，则 ＝( )CB→ CA→ AM→ A. a－ b B. a＋ b12 12C． a－ b D． a＋ b12 12解析： ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－ b＋ a，故选 A.AM→ AC→ CM→ CA→ 12CB→ 12答案：A2．已知 ＝ a＋2 b， ＝－5 a＋6 b， ＝7 a－2 b，则下列一定共线的三点是( )AB→ BC→ CD→ A． A， B， C B． A， B， DC． B， C， D D． A， C， D解析：因为 ＝ ＋ ＋ ＝3 a＋6 b＝3( a＋2 b)＝3 ，又 ， 有公共点 A.所以AD→ AB→ BC→ CD→ AB→ AB→ AD→ A， B， D三点共线．答案：B3．已知向量 a， b， c中任意两个都不共线，但 a＋ b与 c共线，且 b＋ c与 a共线，则向量a＋ b＋ c＝( )A． a B． bC． c D．0解析：依题意，设 a＋ b＝ mc， b＋ c＝ na，则有( a＋ b)－( b＋ c)＝ mc－ na，即 a－ c＝ mc－ na.又a与 c不共线，于是有 m＝－1， n＝－1， a＋ b＝－ c， a＋ b＋ c＝0.答案：D4．设 D， E， F分别为△ ABC的三边 BC， CA， AB的中点，则 ＋ ＝( )EB→ FC→ A. B．BC→ 12AD→ C. D．AD→ 12BC→ 解析：如图， ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ( ＋ )＝ ·2 ＝ .EB→ FC→ EC→ CB→ FB→ BC→ EC→ FB→ 12AC→ AB→ 12 AD→ AD→ 答案：C5．已知 O， A， B， C为同一平面内的四个点，若 2 ＋ ＝0，则向量 等于( )AC→ CB→ OC→ 2A. － B．－ ＋23OA→ 13OB→ 13OA→ 23OB→ C．2 － D．－ ＋2 OA→ OB→ OA→ OB→ 解析：因为 ＝ － ， ＝ － ，所以 2 ＋ ＝2( － )＋( － )＝ －2 AC→ OC→ OA→ CB→ OB→ OC→ AC→ CB→ OC→ OA→ OB→ OC→ OC→ ＋ ＝0，所以 ＝2 － .OA→ OB→ OC→ OA→ OB→ 答案：C6．已知点 G是△ ABC的重心，过点 G作一条直线与 AB， AC两边分别交于 M， N两点，且＝ x ， ＝ y ，则 的值为( )AM→ AB→ AN→ AC→ xyx＋ yA．3 B．13C．2 D．12解析：由已知得 M， G， N三点共线，所以 ＝ λ ＋(1－ λ ) ＝ λx ＋(1－ λ )y AG→ AM→ AN→ AB→ .∵点 G是△ ABC的重心，∴ ＝ × ( ＋ )＝ ( ＋ )，AC→ AG→ 23 12AB→ AC→ 13AB→ AC→ ∴Error! 即Error!得 ＋ ＝1，即 ＋ ＝3，通分得 ＝3，∴ ＝ .13x 13y 1x 1y x＋ yxy xyx＋ y 13答案：B7．在△ ABC中，已知 D是 AB边上的一点，若 ＝2 ， ＝ ＋ λ ，则 λ 等于( )AD→ DB→ CD→ 13CA→ CB→ A. B．23 13C．－ D．－13 23解析：∵ ＝2 ，即 － ＝2( － )，AD→ DB→ CD→ CA→ CB→ CD→ ∴ ＝ ＋ ，∴ λ ＝ .CD→ 13CA→ 23CB→ 23答案：A8．设 a， b都是非零向量，下列四个条件中，使 ＝ 成立的充分条件是( )a|a| b|b|A． a＝－ b B． a∥ bC． a＝2 b D． a∥ b且| a|＝| b|解析： ＝ ⇔a＝ ⇔a与 b共线且同向⇔ a＝ λb 且 λ ＞0.B，D 选项中 a和 b可能a|a| b|b| |a|b|b|3反向．A 选项中 λ ＜0，不符合 λ ＞0.答案：C9．设 D为△ ABC所在平面内一点， ＝3 ，则( )BC→ CD→ A. ＝－ ＋ B． ＝ －AD→ 13AB→ 43AC→ AD→ 13AB→ 43AC→ C. ＝ ＋ D． ＝ －AD→ 43AB→ 13AC→ AD→ 43AB→ 13AC→ 解析：由题意得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ － ＝－ ＋ ，故选 A.AD→ AC→ CD→ AC→ 13BC→ AC→ 13AC→ 13AB→ 13AB→ 43AC→ 答案：A10．在△ ABC中，点 M， N满足 ＝2 ， ＝ .若 ＝ x ＋ y ，则AM→ MC→ BN→ NC→ MN→ AB→ AC→ x＝________； y＝________.解析：∵ ＝2 ，∴ ＝ .AM→ MC→ AM→ 23AC→ ∵ ＝ ，∴ ＝ ( ＋ )，BN→ NC→ AN→ 12AB→ AC→ ∴ ＝ － ＝ ( ＋ )－MN→ AN→ AM→ 12AB→ AC→ 23AC→ ＝ － .12AB→ 16AC→ 又 ＝ x ＋ y ，∴ x＝ ， y＝－ .MN→ AB→ AC→ 12 16答案： －12 1611．已知 O为四边形 ABCD所在平面内一点，且向量 ， ， ， 满足等式OA→ OB→ OC→ OD→ ＋ ＝ ＋ ，则四边形 ABCD的形状为________．OA→ OC→ OB→ OD→ 解析：由 ＋ ＝ ＋ 得 － ＝ － ，所以 ＝ ，所以四边形 ABCD为平行四边OA→ OC→ OB→ OD→ OA→ OB→ OD→ OC→ BA→ CD→ 形．答案：平行四边形12．在矩形 ABCD中， O是对角线的交点，若 ＝5 e1， ＝3 e2，则 ＝________.(用BC→ DC→ OC→ e1， e2表示)解析：在矩形 ABCD中，因为 O是对角线的交点，所以 ＝ ＝ ( ＋ )＝ ( ＋ )OC→ 12AC→ 12AB→ AD→ 12DC→ BC→ ＝ (5e1＋3 e2)．124答案： e1＋ e252 3213．已知 A(1,0)， B(4,0)， C(3,4)， O为坐标原点，且 ＝ ( ＋ － )，则| |等于OD→ 12OA→ OB→ CB→ BD→ __________．解析：由 ＝ ( ＋ － )＝ ( ＋ )，知点 D是线段 AC的中点，故 D(2,2)，所以OD→ 12OA→ OB→ CB→ 12OA→ OC→ ＝(－2,2)，故| |＝ ＝2 .BD→ BD→  － 2 2＋ 22 2答案：2 2B组——能力提升练1．已知 e1， e2是不共线向量， a＝ me1＋2 e2， b＝ ne1－ e2，且 mn≠0，若 a∥ b，则 等于( )mnA．－ B．12 12C．－2 D．2解析：∵ a∥ b，∴ a＝ λb ，即 me1＋2 e2＝ λ (ne1－ e2)，则Error!，故 ＝－2.mn答案：C2．在△ ABC中， ＝ ，若 P是直线 BN上的一点，且满足 ＝ m ＋ ，则实数 m的AN→ 14NC→ AP→ AB→ 25AC→ 值为( )A．－4 B．－1C．1 D．4解析：根据题意设 ＝ n (n∈R)，则 ＝ ＋ ＝ ＋ n ＝ ＋ n( － )＝ ＋ nBP→ BN→ AP→ AB→ BP→ AB→ BN→ AB→ AN→ AB→ AB→ ＝(1－ n) ＋ ，又 ＝ m ＋ ，∴Error!解得Error!故选 B.(15AC→ － AB→ ) AB→ n5AC→ AP→ AB→ 25AC→ 答案：B3．在平面上， ⊥ ，| |＝| |＝1， ＝ ＋ .若| | ，则| |的取值范围AB1→ AB2→ OB1→ OB2→ AP→ AB1→ AB2→ OP→ 12 OA→ 是( )A．(0， ] B．( ， ]52 52 72C．( ， ] D．( ， ]52 2 72 2解析：由题意得点 B1， B2在以 O为圆心的单位圆上，点 P在以 O为圆心、半径为 的圆内，125又 ⊥ ， ＝ ＋ ，所以点 A在以 B1B2为直径的圆上，当点 P与点 O重合时，|AB1→ AB2→ AP→ AB1→ AB2→ |最大，为 ，当点 P在半径为 的圆周上时，| |最小，为 ，故选 D.OA→ 2 12 OA→ 72答案：D4．在△ ABC中， ＝3 ，若 ＝ λ 1 ＋ λ 2 ，则 λ 1λ 2的值为( )BD→ DC→ AD→ AB→ AC→ A. B．116 316C. D．12 109解析：由题意得， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝ ＋ ，AD→ AB→ BD→ AB→ 34BC→ AB→ 34AC→ AB→ 14AB→ 34AC→ ∴ λ 1＝ ， λ 2＝ ，∴ λ 1λ 2＝ .14 34 316答案：B5．若点 M是△ ABC所在平面内的一点，且满足 5 ＝ ＋3 ，则△ ABM与△ ABC的面积AM→ AB→ AC→ 的比值为( )A. B．15 25C. D．35 45解析：设 AB的中点为 D，如图，连接 MD， MC，由 5 ＝ ＋3 ，得AM→ AB→ AC→ 5 ＝2 ＋3 ①，即 ＝ ＋ ，即 ＋ ＝1，故 C， M， D三AM→ AD→ AC→ AM→ 25AD→ 35AC→ 25 35点共线，又 ＝ ＋ ②，①②联立，得 5 ＝3 ，即在△ ABM与AM→ AD→ DM→ DM→ DC→ △ ABC中，边 AB上的高的比值为 ，所以△ ABM与△ ABC的面积的比值为 .35 35答案：C6．设 M是△ ABC所在平面上的一点，且 ＋ ＋ ＝0， D是 AC的中点，则 的值为( )MB→ 32MA→ 32MC→ |MD→ ||BM→ |A. B．13 12C．1 D．2解析：∵ D是 AC的中点，延长 MD至 E，使得 DE＝ MD(图略)，∴四边形 MAEC为平行四边形，6∴ ＝ ＝ ( ＋ )．MD→ 12ME→ 12MA→ MC→ ∵ ＋ ＋ ＝0，∴ ＝－ ( ＋ )＝－3 ，MB→ 32MA→ 32MC→ MB→ 32MA→ MC→ MD→ ∴ ＝ ＝ ，故选 A.|MD→ ||BM→ ||MD→ ||－ 3MD→ | 13答案：A7．如图所示，矩形 ABCD的对角线相交于点 O， E为 AO的中点，若 ＝ λ ＋ μ DE→ AB→ (λ ， μ 为实数)，则 λ 2＋ μ 2＝( )AD→ A. B．58 14C．1 D．516解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )＝ － ，所以 λ ＝ ， μ ＝－ ，故DE→ 12DA→ 12DO→ 12DA→ 14DB→ 12DA→ 14DA→ AB→ 14AB→ 34AD→ 14 34λ 2＋ μ 2＝ ，故选 A.58答案：A8．在△ ABC上，点 D满足 ＝2 － ，则( )AD→ AB→ AC→ A．点 D不在直线 BC上B．点 D在 BC的延长线上C．点 D在线段 BC上D．点 D在 CB的延长线上解析： ＝2 －AD→ AB→ AC→ ＝ ＋ －AB→ AB→ AC→ ＝ ＋ ；AB→ CB→ 如图，7作 ＝ ，连接 AD′，则：BD′→ CB→ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ；AB→ CB→ AB→ BD′→ AD′→ AD→ ∴ D′和 D重合；∴点 D在 CB的延长线上．答案：D9．如图，在直角梯形 ABCD中， AB＝2 AD＝2 DC， E为 BC边上一点， ＝3 ， F为 AE的中BC→ EC→ 点，则 ＝( )BF→ A. － B． －23AB→ 13AD→ 13AB→ 23AD→ C．－ ＋ D．－ ＋23AB→ 13AD→ 13AB→ 23AD→ 解析：如图，取 AB的中点 G，连接 DG， CG，则易知四边形 DCBG为平行四边形，所以 ＝BC→ ＝ － ＝ － ，∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ，于是 ＝GD→ AD→ AG→ AD→ 12AB→ AE→ AB→ BE→ AB→ 23BC→ AB→ 23(AD→ － 12AB→ ) 23AB→ 23AD→ BF→ － ＝ － ＝ － ＝－ ＋ ，故选 C.AF→ AB→ 12AE→ AB→ 12(23AB→ ＋ 23AD→ ) AB→ 23AB→ 13AD→ 答案：C10．设 D为△ ABC所在平面内一点，且 ＝3 ，则 ＝( )BC→ BD→ AD→ A. ＋ B． ＋23AB→ 13AC→ 13AB→ 23AC→ C. ＋ D． ＋43AB→ 13AC→ 23AB→ 53AC→ 解析：∵ ＝3BC→ BD→ 8∴ ＝ ＝ ( － )，BD→ 13BC→ 13AC→ AB→ 则 ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝ ＋ .AD→ AB→ BD→ AB→ 13AC→ AB→ 23AB→ 13AC→ 答案：A11．已知 O为坐标原点， B、 D分别是以 O为圆心的单位圆与 x轴正半轴、 y轴正半轴的交点，点 P为单位圆劣弧 上一点，若 ＋ ＝ x ＋ y ，∠ BOP＝ ， 则 x＋ y＝( )BD OB→ OD→ DB→ OP→ π3A．1 B． 3C．2 D．4－3 3解析：如图， ＝ － ，DB→ OB→ OD→ ∴ ＋ ＝ x( － )＋ y ，OB→ OD→ OB→ OD→ OP→ ∴ y ＝(1－ x) ＋(1＋ x) ，①OP→ OB→ OD→ ∵∠ BOP＝ ，∴ ＝ ＋ ，π3 OP→ 12OB→ 32OD→ ∴ y ＝ ＋ y ，②OP→ y2OB→ 32 OD→ 由①②得Error!解得 x＝2－ ， y＝2 －2，∴ x＋ y＝ ，故选 B.3 3 3答案：B12．已知向量 e1、 e2是两个不共线的向量，若 a＝2 e1－ e2与 b＝ e1＋ λe 2共线，则λ ＝________.解析：因为 a与 b共线，所以 a＝ xb， Error!，故 λ ＝－ .12答案：－1213．如图，在△ ABC中， AB＝2， BC＝3，∠ ABC＝60°， AH⊥ BC于点 H， M为 AH的中点．若＝ λ ＋ μ ，则 λ ＋ μ ＝________.AM→ AB→ BC→ 9解析：因为 AB＝2，∠ ABC＝60°， AH⊥ BC，所以 BH＝1.因为点 M为 AH的中点，所以 ＝ ＝ ( ＋ )＝ ＝ ＋ ，又AM→ 12AH→ 12AB→ BH→ 12(AB→ ＋ 13BC→ ) 12AB→ 16BC→ ＝ λ ＋ μ ，所以 λ ＝ ， μ ＝ ，所以 λ ＋ μ ＝ .AM→ AB→ BC→ 12 16 23答案：2314．(2018·临汾模拟)如图，△ ABC中， ＋ ＋ ＝0， ＝ a， ＝ b.若GA→ GB→ GC→ CA→ CB→ ＝ ma， ＝ nb， CG∩ PQ＝ H， ＝2 ，则 ＋ ＝________.CP→ CQ→ CG→ CH→ 1m 1n解析：由 ＋ ＋ ＝0，知 G为△ ABC的重心，取 AB的中点 D(图略)，则 ＝ ＝ ＝GA→ GB→ GC→ CH→ 12CG→ 13CD→ ( ＋ )＝ ＋ ，由 P， H， Q三点共线，得 ＋ ＝1，则 ＋ ＝6.16CA→ CB→ 16mCP→ 16nCQ→ 16m 16n 1m 1n答案：615.如图，在△ ABC中， ＝ ， P是 BN上的一点，若 ＝ m ＋AN→ 13NC→ AP→ AB→ ，则实数 m的值为________．211AC→ 解析：由 ＝ ，可知 ＝ ，AN→ 13NC→ AN→ 14AC→ 又∵ ＝ m ＋ ＝ m ＋ ，且 B、 P、 N共线，∴ m＋ ＝1，∴ m＝ .AP→ AB→ 211AC→ AB→ 811AN→ 811 311答案：3111第三节 平面向量的数量积课时作业A 组——基础对点练1．已知| a|＝6，| b|＝3，向量 a 在 b 方向上的投影是 4，则 a·b 为( )A．12 B．8C．－8 D．2解析：∵| a|cos〈 a， b〉＝4，| b|＝3，∴ a·b＝| a||b|·cos〈 a， b〉＝3×4＝12.答案：A2．已知向量 a＝(1， m)， b＝(3，－2)，且( a＋ b)⊥ b，则 m＝( )A．－8 B．－6C．6 D．8解析：由向量的坐标运算得 a＋ b＝(4， m－2)，由( a＋ b)⊥ b，( a＋ b)·b＝12－2( m－2)＝0，解得 m＝8，故选 D.答案：D3．(2018·云南五市联考)在如图所示的矩形 ABCD 中， AB＝4， AD＝2， E 为线段 BC 上的点，则 · 的最小值为( )AE→ DE→ A．12 B．15C．17 D．16解析：以 B 为坐标原点， BC 所在直线为 x 轴， BA 所在直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,4)， D(2,4)，设 E(x,0)(0≤ x≤2)，所以 · ＝( x，－4)·( x－2，－4)＝ x2－2 x＋16＝( x－1) 2＋15，于是当 x＝1，即 E 为 BCAE→ DE→ 的中点时， · 取得最小值 15，故选 B.AE→ DE→ 答案：B4．(2018·昆明市检测)已知 a， b 为单位向量，设 a 与 b 的夹角为 ，则 a 与 a－ b 的夹角π 3为( )A. B．π 6 π 32C. D．2π3 5π6解析：由题意，得 a·b＝1×1×cos ＝ ，所以π 3 12|a－ b|2＝ a2－2 a·b＋ b2＝1－2× ＋1＝1，所以 cos〈 a， a－ b〉＝ ＝12 a·〈 a－ b〉|a||a－ b|＝1－ ＝ ，所以〈 a， a－ b〉＝ ，故选 B.a2－ a·b1×1 12 12 π 3答案：B5．在△ ABC 中， BC＝5， G， O 分别为△ ABC 的重心和外心，且 · ＝5，则△ ABC 的形状OG→ BC→ 是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能解析：设 M 为 BC 的中点， G 在 BC 上的射影为 H， A 在 BC 上的射影为 N，由 · ＝5，又OG→ BC→ BC＝5，知 在 上的投影为 1，即 MH＝1，∴ HC＝1.5，OG→ BC→ 又 ＝ ＜ ， A 在 BC 上的射影在 MC 的延长线上，∴△ ABC 为钝角三角形，故选 B.MGGA 12 11.5答案：B6．已知平面向量 a＝(2,4)， b＝(1，－2)，若 c＝ a－( a·b)·b，则| c|＝__________.解析：由题意可得 a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴ c＝ a－( a·b)·b＝ a＋6 b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴| c|＝ ＝8 .82＋  － 8 2 2答案：8 27．已知两个单位向量 a， b 的夹角为 60°， c＝ t a＋(1－ t)b.若 b·c＝0，则t＝________.解析：由题意，将 b·c＝[ t a＋(1－ t)b]·b 整理得 ta·b＋(1－ t)＝0，又 a·b＝ ，所12以 t＝2.答案：28．(2018·九江市模拟)若向量 a＝(1,1)与 b＝( λ ，－2)的夹角为钝角，则 λ 的取值范围是________．解析：根据题意，若向量 a＝(1,1)与 b＝( λ ，－2)的夹角为钝角，则 a·b＜0，且 a 与 b不共线，即有 a·b＝1× λ ＋1×(－2)＝ λ －2＜0，且 1×λ ≠1×(－2)，3解可得： λ ＜2，且 λ ≠－2，即 λ 的取值范围是(－∞，－2)∪(－2,2)．答案：(－∞，－2)∪(－2,2)9．在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m＝ ， n＝(sin x，cos x)， x∈ .(22， － 22) (0， π 2)(1)若 m⊥ n，求 tan x 的值；(2)若 m 与 n 的夹角为 ，求 x 的值．π 3解析：(1)若 m⊥ n，则 m·n＝0.由向量数量积的坐标公式得 sin x－ ·cos x＝0，∴tan x＝1.22 22(2)∵ m 与 n 的夹角为 ，π 3∴ m·n＝| m||n|cos ＝1×1× ＝ ，π 3 12 12即 sin x－ cos x＝ ，22 22 12∴sin ＝ .(x－π 4) 12又∵ x∈ ，(0，π 2)∴ x－ ∈ ，π 4 (－ π 4， π 4)∴ x－ ＝ ，即 x＝ .π 4 π 6 5π1210．已知在△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，向量 m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)， m·n＝sin 2 C.(1)求角 C 的大小；(2)若 sin A，sin C，sin B 成等差数列，且 ·( － )＝18，求边 c 的长．CA→ AB→ AC→ 解析：(1) m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin( A＋ B)，对于△ ABC， A＋ B＝π－ C,00，所以 c＝3.故△ ABC 的面积为 bcsin A＝ .12 3321第二节 平面向量的基本定理及坐标表示课时作业A 组——基础对点练1．已知点 A(0,1)， B(3,2)，向量 ＝(－4，－3)，则向量 ＝( )AC→ BC→ A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)解析：设 C(x， y)，则 ＝( x， y－1)＝(－4，－3)，AC→ 所以Error! 从而 ＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．BC→ 故选 A.答案：A2．已知向量 a＝(2,4)， b＝(－1,1)，则 2a－ b＝( )A．(5,7) B．(5,9)C．(3,7) D．(3,9)解析：由 a＝(2,4)知 2a＝(4,8)，所以 2a－ b＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)．故选 A.答案：A3．设向量 a＝(2,4)与向量 b＝( x,6)共线，则实数 x＝( )A．2 B．3C．4 D．6解析：由向量 a＝(2,4)与向量 b＝( x,6)共线，可得 4x＝2×6，解得 x＝3.答案：B4．已知向量 a＝(2,3)， b＝(－1,2)，若( ma＋ nb)∥( a－2 b)，则 等于( )mnA．－2 B．2C．－ D．12 12解析：由题意得 ma＋ nb＝(2 m－ n,3m＋2 n)， a－2 b＝(4，－1)，∵( ma＋ nb)∥( a－2 b)，∴－(2 m－ n)－4(3 m＋2 n)＝0.∴ ＝－ .mn 12答案：C5．如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 CD 至 E，使得 DE＝ CD，若点 P 为 CD 的中点，且＝ λ ＋ μ ，则 λ ＋ μ ＝( )AP→ AB→ AE→ 2A．3 B．52C．2 D．1解析：由题意，设正方形的边长为 1，建立直角坐标系如图，则 B(1,0)， E(－1,1)，∴ ＝(1,0)， ＝(－1,1)，AB→ AE→ ∵ ＝ λ ＋ μ ＝( λ － μ ， μ )，AP→ AB→ AE→ 又∵ P 为 CD 的中点，∴ ＝( ，1)，AP→ 12∴Error! ，∴ λ ＝ ， μ ＝1，32∴ λ ＋ μ ＝ ，52答案：B6．已知向量 a＝( m,4)， b＝(3,4)，且 a∥ b，则 m＝________.解析：由题意得，4 m－12＝0，所以 m＝3.答案：37．设向量 a＝( m,1)， b＝(1,2)，且| a＋ b|2＝| a|2＋| b|2，则 m＝________.解析：由| a＋ b|2＝| a|2＋| b|2得 a⊥ b，则 m＋2＝0，所以 m＝－2.答案：－28．已知向量 a＝( m， n)， b＝(1，－2)，若| a|＝2 ， a＝ λb (λ ＜0)，则 m－ n＝________.5解析：∵ a＝( m， n)， b＝(1，－2)，∴由| a|＝2 ， a＝ λb (λ ＜0)，得 m2＋ n2＝20 5①，Error! ②，联立①②，解得 m＝－2， n＝4.∴ m－ n＝－6.3答案：－69．设两个非零向量 e1和 e2不共线．(1)如果 ＝ e1－ e2， ＝3 e1＋2 e2， ＝－8 e1－2 e2，AB→ BC→ CD→ 求证： A， C， D 三点共线；(2)如果 ＝ e1＋ e2， ＝2 e1－3 e2， ＝2 e1－ ke2，且 A， C， D 三点共线，求 k 的值．AB→ BC→ CD→ 解析：(1)证明：∵ ＝ e1－ e2， ＝3 e1＋2 e2，AB→ BC→ ＝－8 e1－2 e2，CD→ ∴ ＝ ＋ ＝4 e1＋ e2AC→ AB→ BC→ ＝－ (－8 e1－2 e2)＝－ ，12 12CD→ ∴ 与 共线．AC→ CD→ 又∵ 与 有公共点 C，∴ A， C， D 三点共线．AC→ CD→ (2) ＝ ＋ ＝( e1＋ e2)＋(2 e1－3 e2)＝3 e1－2 e2.AC→ AB→ BC→ ∵ A， C， D 三点共线，∴ 与 共线，从而存在实数 λ 使得 ＝ λ ，AC→ CD→ AC→ CD→ 即 3e1－2 e2＝ λ (2e1－ ke2)，得Error! 解得 λ ＝ ， k＝ .32 4310．已知 A(1,1)， B(3，－1)， C(a， b)．(1)若 A， B， C 三点共线，求 a， b 的关系式；(2)若 ＝2 ，求点 C 的坐标．AC→ AB→ 解析：由已知得 ＝(2，－2)， ＝( a－1， b－1)．AB→ AC→ ∵ A， B， C 三点共线，∴ ∥ .AB→ AC→ ∵2( b－1)＋2( a－1)＝0，即 a＋ b＝2.(2)∵ ＝2 ，∴( a－1， b－1)＝2×(2，－2)．AC→ AB→ ∴Error! 解得Error!∴点 C 的坐标为(5，－3)．B 组——能力提升练41．已知△ ABC 的三个顶点 A， B， C 的坐标分别为(0,1)，( ，0)，(0，－2)， O 为坐标原2点，动点 P 满足| |＝1，则| ＋ ＋ |的最小值是( )CP→ OA→ OB→ OP→ A. －1 B． －13 11C. ＋1 D． ＋13 11解析：设 P(cos θ ，－2＋sin θ )，则| ＋ ＋ |＝OA→ OB→ OP→ ＝ ＝ cos θ ＋ 2 2＋  sin θ － 1 2 4＋ 22cos θ － 2sin θ 4＋ 23cos θ ＋ φ ≥ ＝ －1.4－ 23 3答案：A2．已知向量 a＝(3，－2)， b＝( x， y－1)，且 a∥ b，若 x， y 均为正数，则 ＋ 的最小值3x 2y是( )A．24 B．8C. D．83 53解析：∵ a∥ b，∴－2 x－3( y－1)＝0，化简得 2x＋3 y＝3，又∵ x， y 均为正数，∴ ＋ ＝ × (2x＋3 y)3x 2y (3x＋ 2y) 13＝ ≥13(6＋ 9yx＋ 4xy＋ 6)× ＝8，13 (12＋ 2 9yx·4xy)当且仅当 ＝ 时，等号成立．9yx 4xy∴ ＋ 的最小值是 8.故选 B.3x 2y答案：B3．已知 AC⊥ BC， AC＝ BC， D 满足 ＝ t ＋(1－ t)· ，若∠ ACD＝60°，则 t 的值为( )CD→ CA→ CB→ A. B． －3－ 12 3 2C. －1 D．23＋ 12解析：由题意知 D 在直线 AB 上．令 CA＝ CB＝1，建立平面直角坐标系，如图，则 B 点坐标为(1,0)， A 点坐标为(0,1)．5令 D 点的坐标为( x， y)，因为∠ DCB＝30°，则直线 CD 的方程为 y＝ x，易知直线 AB 的33方程为 x＋ y＝1，由Error!得 y＝ ，即 t＝ .故选 A.3－ 12 3－ 12答案：A4．在△ ABC 中， AB＝3， AC＝2，∠ BAC＝60°，点 P 是△ ABC 内一点(含边界)，若＝ ＋ λ ，则| |的取值范围为( )AP→ 23AB→ AC→ AP→ A．[2， ] B．[2， ]210＋ 333 83C．[0， ] D．[2， ]2133 2133解析：因为 AB＝3， AC＝2，∠ BAC＝60°，所以 · ＝3，又 ＝ ＋ λ ，所以AB→ AC→ AP→ 23AB→ AC→ | |2＝ 2＋ · ＋ λ 2 2＝4 λ 2＋4 λ ＋4，因为点 P 是△ ABC 内一点(含边界)，所AP→ 49AB→ 4λ3AB→ AC→ AC→ 以点 P 在线段 DE 上，其中 D， E 分别为 AB， BC 的三等分点，如图所示，所以 0≤ λ ≤ ，13所以 4≤| |2≤ ，所以 2≤| |≤ ，故选 D.AP→ 529 AP→ 2133答案：D5．(2018·贵阳市检测)如图，在直角梯形 ABCD 中，AB⊥ AD， AB∥ DC， AB＝2， AD＝ DC＝1，图中圆弧所在圆的圆心为点 C，半径为 ，且点 P 在图中阴影部分(包括边界)运动．若 ＝ x ＋ y ，其中12 AP→ AB→ BC→ x， y∈R，则 4x－ y 的最大值为________．6解析：以 A 为坐标原点， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0)， D(0,1)， C(1,1)， B(2,0)，直线 BD 的方程为 x＋2 y－2＝0， C 到 BD 的距离 d＝ ，55∴圆弧以点 C 为圆心的圆方程为( x－1) 2＋( y－1) 2＝ ，14设 P(m， n)则 ＝( m， n)，AP→ ＝(0,1)， ＝(2,0)， ＝(－1,1)，AD→ AB→ BC→ 若 ＝ x ＋ y ，AP→ AB→ BC→ ∴( m， n)＝(2 x－ y， y)，∴ m＝2 x－ y， n＝ y，∵ P 在圆内或圆上，∴(2 x－ y－1) 2＋( y－1) 2≤ ，14设 4x－ y＝ t，则 y＝4 x－ t，代入上式整理得 80x2－(48 t＋32) x＋8 t2＋7≤0，设 f(x)＝80 x2－(48 t＋32) x＋8 t2＋7≤0， x∈[ ， ]，12 32则Error! ，解得 2≤ t≤3＋ ，52故 4x－ y 的最大值为 3＋ .52答案：3＋526．平面内给定三个向量 a＝(3,2)， b＝(－1,2)， c＝(4,1)．(1)求满足 a＝ mb＋ nc 的实数 m， n；(2)若( a＋ kc)∥(2 b－ a)，求实数 k.解析：(1)由题意得(3,2)＝ m(－1,2)＋ n(4,1)，所以Error! 解得Error!(2)a＋ kc＝(3＋4 k,2＋ k)，2 b－ a＝(－5,2)，由题意得 2×(3＋4 k)－(－5)×(2＋ k)＝0，解得 k＝－ .16137．已知点 O 为坐标原点， A(0,2)， B(4,6)， ＝ t1 ＋ t2 .OM→ OA→ AB→ (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件；7(2)求证：当 t1＝1 时，不论 t2为何实数， A， B， M 三点共线．解析：(1) ＝ t1 ＋ t2 ＝ t1(0,2)＋ t2(4,4)＝(4 t2,2t1＋4 t2)．OM→ OA→ AB→ 当点 M 在第二或第三象限时，有Error!故所求的充要条件为 t2＜0 且 t1＋2 t2≠0.(2)证明：当 t1＝1 时，由(1)知 ＝(4 t2,4t2＋2)．OM→ ∵ ＝ － ＝(4,4)，AB→ OB→ OA→ ＝ － ＝(4 t2,4t2)＝ t2(4,4)＝ t2 ，AM→ OM→ OA→ AB→ ∴ 与 共线，又有公共点 A，∴ A， B， M 三点共线．AM→ AB→ 1第四节 复数课时作业A 组——基础对点练1．复数 ＝( )2＋ i1－ 2iA．i B．－iC．2( ＋i) D．1＋i2解析：复数 ＝ ＝i，故选 A.2＋ i1－ 2i  1－ 2i i1－ 2i答案：A2．若 z＝ ，则复数 在复平面内对应的点在( )i2＋ i zA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：因为 z＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i， ＝ － i，所以复数 在复平面i2＋ i i 2－ i 2＋ i  2－ i 1＋ 2i5 15 25 z 15 25 z内对应点的坐标为( ，－ )，故选 D.15 25答案：D3．若 ＝ a＋ bi(a， b∈R)，i 是虚数单位，则乘积 ab 的值是( )1＋ 7i2－ iA．－15 B．3C．－3 D．5解析： ＝ ＝－1＋3i，∴ a＝－1， b＝3， ab＝－3. 1＋ 7i  2＋ i 2－ i  2＋ i － 5＋ 15i5答案：C4．若 z＝4＋3i，则 ＝( )z|z|A．1 B．－1C. ＋ i D． － i45 35 45 35解析： ＝ ＝ － i，故选 D.z|z| 4－ 3i42＋ 32 45 35答案：D5．已知复数 z1＝2＋6i， z2＝－2i.若 z1， z2在复平面内对应的点分别为 A， B，线段 AB 的中点 C 对应的复数为 z，则| z|＝( )A. B．552C．2 D．25 7解析：复数 z1＝2＋6i， z2＝－2i， z1， z2在复平面内对应的点分别为 A(2,6)， B(0，－2)，线段 AB 的中点 C(1,2)对应的复数 z＝1＋2i，则| z|＝ ＝ .故选 A.12＋ 22 5答案：A6．已知 z＝ m2－1＋ mi 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 m 的取值范围是( )A．(－1,1) B．(－1,0)C．(－∞，1) D．(0,1)解析：因为 z＝ m2－1＋ mi 在复平面内对应的点是( m2－1， m)，且该点在第二象限，所以Error!解得 0＜ m＜1，所以实数 m 的取值范围是(0,1)．答案：D7．已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 － ＝ ，则| z|＝( )11＋ i 11－ i 1＋ z1－ zA．1 B． 2C. D．23解析：因为 ＝ ，即 ＝ ，也即 ＝－i，故1－ i－  1＋ i 1＋ i  1－ i 1＋ z1－ z － 2i 1＋ i  1－ i 1＋ z1－ z 1＋ z1－ z(1－i) z＝－1－i，所以 z＝－ ＝－ ＝－i，则| z|＝1，应选 A. 1＋ i 2 1＋ i  1－ i 2i2答案：A8.如图，在复平面内，表示复数 z 的点为 A，则复数 对应的点在( )z1－ 2iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：由图可得 z＝－2＋i，所以 ＝ ＝ ＝ ，则对z1－ 2i － 2＋ i1－ 2i  － 2＋ i  1＋ 2i 1－ 2i  1＋ 2i － 4－ 3i5应的点在第三象限，故选 C.答案：C9．若 z＝1＋2i，则 ＝( )4izz－ 1A．1 B．－1C．i D．－i解析： ＝ ＝i.4izz－ 1 4i 1＋ 2i  1－ 2i － 1答案：C310．设 i 是虚数单位，如果复数 z＝ ，其实部与虚部互为相反数，那么实数 a＝( )a－ i2＋ iA．－3 B．3C．－ D．13 13解析：因为 z＝ ＝ ＝ － i，所以由题意，得 ＝ ，a－ i2＋ i  a－ i  2－ i 2＋ i  2－ i 2a－ 15 a＋ 25 2a－ 15 a＋ 25解得 a＝3，故选 B.答案：B11．已知 i 是虚数单位，复数 z＝ (a∈R)在复平面内对应的点位于直线 y＝2 x 上，则1a－ ia＝( )A．2 B．12C．－2 D．－12解析： z＝ ＝ ＝ ＋ i，其对应的点的坐标为 ，又该点位1a－ i a＋ ia2＋ 1 aa2＋ 1 1a2＋ 1 ( aa2＋ 1， 1a2＋ 1)于直线 y＝2 x 上，所以 a＝ .12答案：B12．i 是虚数单位，复数 z 满足(1＋i) z＝2，则 z 的实部为________．解析：因为 z＝ ＝1－i，所以 z 的实部是 1.21＋ i答案：113．已知 a， b∈R，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－ bi)＝ a，则 的值为________．ab解析：(1＋i)(1－ bi)＝1＋ b＋(1－ b)i＝ a，所以 b＝1， a＝2， ＝2.ab答案：214．|1＋ i|＋ 2＝__________.2 (1－ 3i1＋ i)解析：原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝i.12＋  2 2 1－ 3i 2 1＋ i 2 3 － 2－ 23i2i 3 － 22i － 23i2i答案：i15．复数 z1， z2满足 z1＝ m＋(4－ m2)i， z2＝2cos θ ＋( λ ＋3sin θ )i(m， λ ， θ ∈R)，并且 z1＝ z2，则 λ 的取值范围是__________．解析：由复数相等的充要条件可得Error!消去 m 得 4－4cos 2θ ＝ λ ＋3sin θ ，由此可得4λ ＝－4cos 2θ －3sin θ ＋4＝4sin 2θ －3sin θ ＝4 2－ .因为 sin (sin θ －38) 916θ ∈[－1,1]，所以 4sin2θ －3sin θ ∈ .[－916， 7]答案： [－916， 7]B 组——能力提升练1．下面是关于复数 z＝2－i 的四个命题， p1：| z|＝5； p2： z2＝3－4i； p3： z 的共轭复数为－2＋i； p4： z 的虚部为－1.其中真命题为( )A． p2， p3 B． p1， p2C． p2， p4 D． p3， p4解析：因为 z＝2－i，所以| z|＝ ≠5，则命题 p1是假命题； z2＝(2－i) 2＝3－4i，所以5p2是真命题；易知 z 的共轭复数为 2＋i，所以 p3是假命题； z 的实部为 2，虚部为－1，所以 p4是真命题．故选 C.答案：C2．设 z＝ ＋i，则| z|＝( )11＋ iA. B．12 22C. D．232解析： ＋i＝ ＋i＝ ＋i＝ ＋ i，则11＋ i 1－ i 1＋ i  1－ i 1－ i2 12 12|z|＝ ＝ ，选 B. 12 2＋  12 2 22答案：B3．若复数 z 满足 i·z＝－ (1＋i)，则 z 的共轭复数的虚部是( )12A．－ i B． i12 12C．－ D．12 12解析：由题意，得 z＝－ · ＝－ · ＝－ ＋ i，所以 z 的共轭复数的虚部12 1＋ ii 12 i 1＋ ii2 12 12是－ ，故选 C.12答案：C54．若 z＝( a2－1)＋( a－1)i 为纯虚数，其中 a∈R，则 等于( )a2＋ i1＋ aiA．－i B．iC．1 D．1 或 i解析：由题意Error!解得 a＝－1，所以 ＝ ＝ ＝ ＝i.故选 B.a2＋ i1＋ ai 1＋ i1－ i  1＋ i 2 1－ i  1＋ i 2i2答案：B5．已知 f(x)＝ x2，i 是虚数单位，则在复平面内复数 对应的点在( )f 1＋ i3＋ iA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析： 由题可知＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，所以其在复平面f 1＋ i3＋ i  1＋ i 23＋ i 1＋ 2i＋ i23＋ i 2i3＋ i 2i 3－ i32－ i2 2＋ 6i10 15 35内对应的点的坐标为 ，该点在第一象限，故选 A.(15， 35)答案：A6. ＝( )1＋ 2i 1－ i 2A．－1－ i B．－1＋ i12 12C．1＋ i D．1－ i12 12解析： ＝ ＝ ＝ ＝－1＋ i.1＋ 2i 1－ i 2 1＋ 2i－ 2i  1＋ 2i i2 － 2＋ i2 12答案：B7．如图，在复平面内，复数 z1和 z2对应的点分别是 A 和 B，则 ＝( )z2z1A. ＋ i15 25B. ＋ i25 156C．－ － i15 25D．－ － i25 15解析：由题图知 z1＝－2－i， z2＝i，则 ＝－ ＝－ ＝－ ＝－z2z1 i2＋ i i 2－ i 2＋ i  2－ i 2i－ i24－ i2.故选 C.1＋ 2i5答案：C8．(2018·长沙市模拟)若复数 z 满足 2z＋ z· ＝(2－i) 2(i 为虚数单位)，则 z 为( )zA．－1－2i B．－1－iC．－1＋2i D．1－2i解析：令 z＝ x＋ yi，则 2z＋ z· ＝ x2＋ y2＋2 x＋2 yi＝3－4i，所以Error!解得zx＝－1， y＝－2，则 z＝－1－2i.答案：A9．若复数 z 满足 z2＝－4，则|1＋ z|＝( )A．3 B． 3C．5 D． 5解析：由 z2＝－4 知 z2＝(±2i) 2，所以 z＝±2i，|1＋ z|＝|1±2i|＝ ，故选 D.5答案：D10．(2018·开封模拟)已知复数 z＝1＋ ai(a∈R)(i 是虚数单位)， ＝－ ＋ i，则 a＝( )zz 35 45A．2 B．－2C．±2 D．－12解析：由题意可得 ＝－ ＋ i，即1－ ai1＋ ai 35 45＝ ＝－ ＋ i，∴ ＝－ ， ＝ ，∴ a＝－2，故选 B. 1－ ai 21＋ a2 1－ a2－ 2ai1＋ a2 35 45 1－ a21＋ a2 35 － 2a1＋ a2 45答案：B11．已知复数 z＝(cos θ －isin θ )(1＋i)，则“ z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是( )A． θ ＝ B． θ ＝π 4 π 2C． θ ＝ D． θ ＝3π4 5π4解析： z＝(cos θ －isin θ )(1＋i)＝(cos θ ＋sin θ )＋(cos θ －sin θ )i.z 是纯虚7数等价于Error!，等价于 θ ＝ π＋ kπ， k∈Z.故选 C.34答案：C12．已知复数 z＝ x＋ yi，且| z－2|＝ ，则 的最大值为__________．3yx解析：复数 z＝ x＋ yi 且| z－2|＝ ，复数 z 的几何意义是复平面内以点(2,0)为圆心，3为半径的圆( x－2) 2＋ y2＝3. 的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率，设 ＝ k，3yx yx即 y＝ kx， ≤ ，可得 k∈[－ ， ]，则 的最大值为 .|2k|1＋ k2 3 3 3 yx 3答案： 313．设 a∈R，若复数(1＋i)( a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则 a＝________.解析：(1＋i)( a＋i)＝( a－1)＋( a＋1)i，由已知得 a＋1＝0，解得 a＝－1.答案：－114．若 ＝ ad－ bc，则满足等式 ＝0 的复数 z＝________.|a cb d| |z － i1－ i 1＋ i|解析：因为 ＝0，所以 z(1＋i)＝－i(1－i)，即|z － i1－ i 1＋ i|z＝ ＝ ＝－1.－ i 1－ i1＋ i － 1－ i1＋ i答案：－115．在复平面内，复数 对应的点到直线 y＝ x＋1 的距离是________．21－ i解析： ＝ ＝1＋i，所以复数 对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线21－ i 2 1＋ i 1－ i  1＋ i 21－ iy＝ x＋1 的距离为 ＝ .1－ 1＋ 112＋  － 1 2 22答案：22