1、1特殊角的锐角 三角函数值特殊角的三角函数值三角函数角度 sin cos tan3012 32 334522 2216032 12 3方法归纳：（1）解有关等边三角形、等腰直角三角形及与 30、45、60角相联系的其他三角形问题时，常常要用特殊角的三角函数值。（2）必须熟练掌握特殊角的三角函数值，既能由角求三角函数值，又能由三角函数值求角。（3）正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小） ，余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大） 。总结：1. 特殊角三角函数在计算及应用题里广泛使用，应理解概念并熟练应用。2. 能够解决含特殊角的三角函数问题，并能根据三角函数值求角的度数。
2、例题 1 如图所示，已知直线 y x ，求这条直线与 x 轴的夹角（锐角） 。3 3 xyOAB解 析 ： 直 线 与 x 轴 、 y 轴 相 交 围 成 一 个 直 角 三 角 形 ， 然 后 根 据 直 线 与 x 轴 、 y 轴 交 点坐 标 即 可 求 解 。答 案 ： 设 y x 与 x 轴 、 y 轴 交 点 为 A、 B 两 点 ， 则 A（ 1， 0） 、 B（ 0， ） ，3 3 3 OA 1， OB tan BAO ， BAO 60。3OBOA 3答 ： 直 线 与 x 轴 夹 角 （ 锐 角 ） 为 60。点拨：本题关键利用 RtAOB 来求出 OA、OB，进而求出BAO
3、 的正切值，最后求出度数，是已知两边求度数的一种常用方法。例题 2 已知：如图，RtABC 中，BAC90，D 是 AC 上一点 ，ABDC，直线EF 过点 D，与 BA 的延长线相交于 F，且 EFBC，垂足为 E。探索：设 t，若ADFACABEDB，试求 t 的值。2ABCDEF解 析 ： t 的值就是ABC 两边的比值，所以我们可以考虑通过相似三角形和其它特殊图形求出 AC 与 AB 的数量关系，再求其比值。或者能求出ABC 或C 的度数也可以，因为BAC90，在直角三角形中利用三角函数求 t 值。答 案 ： BAC90，EFBC， ADFCDE，FC。ABDC，FABD。ADFEDB
4、，FEBD，在 RtABC 中，C ABDEBD，又CABDEBD90，CABDEBD30，ABC60。 tanABC ，即 t 。ACAB 3 3点拨：本题中 t 值是C 的正切值，所以需要求出C 的度数要求一个角的度数，特别是在没有已知度数的角的情况下，应考虑利用三角形内角和或特殊的三角形、四边形来求。利用三角形内角和时，这三个内角必须具有倍分关系，才能转化成一元一次方程求出角的度数，本题中是证明的三个角相等且和为 90。锐角三角函数是角的度数与线段的长度之间相互转化的重要工具，是解决三角形边角关系的常用数学方法。在中考试题中对特殊角三角函数的考查有的直接考查，以填空题和选择题的形式出现，
5、一般比较容易；有的融入到其他知识或题型中间接考查，如三角形、四边形、圆等，常以解答题、操作说明题、阅读题等形式出现，综合性较强，难度较。满分训练 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30 ，cos30 ，则 sin230cos 230_；12 32sin45 ，cos45 ，则 sin245cos 245_；sin60 ，cos60 ，则 sin260cos 260_；32 12观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有 sin2Acos 2A_。（1）如图，在锐角三角形 ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理对A 证明你的猜想；3ABC（2）已知：A 为锐角（cosA0）且
6、sinA ，求 cosA。35解析：（1）证明：过点 B 作 BDAC 于 D，在 RtADB 中，sinA ，cosA ，由BDAB ADAB勾股定理得，BD 2AD 2AB 2，（ ） 2（ ）BDAB ADAB2 1，sin 2Acos 2A1；（2）A 为锐角（ cosA0） ，BD2+AD2AB2sinA ，sin 2Acos 2A1，cosA 。35 1 sin2A 45点拨：本题属于阅读理解题，读懂题意，弄清题目所给的定义和规律是解答这类问题的关键。比本题中可总结出同角的三角函数关系，sin 2Acos 2A1，类似的 还有 tanA等。sinAcosA（答题时间：30 分钟）一
7、、选择题1. 式子 2cos30tan45 的值是（ ）（ 1 tan60） 2A. 2 B. 0 C. 2 D. 23 32. 如图所示，矩形 ABCD 中，AB1，BC ，AC 与 BD 相交于 O，则 tanAOB 等于（ 3）A. B. C. 1 D. 333 32ABCDO*3. 如图所示是类似“羊头”的图案，它左右对称，由正方形、等腰直角三角形构成，如果标有数字“13”的正方形的边长是 ，那么标有数学“2”的等腰直角三角形斜边的2长是（ ）A. 2 B. 2 C. 2 D. 23242134567891023*4. 如图，在半径为 1 的O 中，AOB45，则 sinC 的值为（
8、）A. B. C. D. 22 2 22 2 22 24二、填空题5. 在 RtABC 中，C90，AB2BC，现给出下列结论：sinA ；cosB ；tanA ；tanB ，其中正确的结论是32 12 33 3_（只需填上正确结论的序号） 。*6. ABC 中， a、 b、 c 分别是A、B、C 的对边。已知a ， b ， c ，则 bsinB csinC 的值是_。10 3 2 3 2*7. 如图，RtABC 中，A90，ADBC 于点 D，若 BD：CD3：2，则tanB_。*8. 如图所示，已知 l1 l2 l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形ABC 的三个顶点分别在这
9、三条平行直线上，则 sin 的值是_。ABCl12l35三、解答题9. 已知 a 是锐角，且 sin（15） ，计算 4cos（3.14）32 80tan） ） 1 的 值。13*10. 对于钝角 ，定义它的三角函数值如下：sinsin（180） ，coscos（180） 。（1）求 sin120，cos120，sin150的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是 1：1：4，A、B 是这个三角形的两个顶点，sinA、cosB 是方程 4x2 mx10 的两个不相等的实数根，求 m 的值及A 和B 的大小。*11. 如图，风车的支杆 OE 垂直于桌面，风车中心 O 到桌面的距离 OE 为 25
10、cm，小小风车在风吹动下绕着中心 O 不停地转动，转动过程中，叶片端点 A、B、C、D 在同一圆 O 上，已知O 的半径为 10cm。（1）风车在转动过程中，当AOE45时，求点 A 到桌面的距离（结果保留根号） 。（2）在风车转动一周的过程中，求点 A 相对于桌面的高度不超过 20cm 所经过的路径长（结果保留 ） 。*12. 现场学习：我们知道，若锐角 的三角函数值为 sin m，则可通过计算器得到角 的大小，这时我们用 arc sin m 来表示 ，记作： arc sin m；若 cos m，则记 arc cos m；若 tan m，则记 arc tan m。解决问题：如图，已知正方形
11、ABCD，点 E 是边 AB 上一动点，点 F 在 AB 边或其延长线上，点 G 在边 AD 上。连接 ED、FG，交点为 H。（1）如图 1，若 AEBFGD，请直接写出EHF_；（2）如图 2，若 EF CD，GD AE，设EHF。请判断当点 E 在 AB 上运动时，25 25EHF 的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出 。ABCDEFGH图 1ABCDEFG图 261. B 解析：原式2 1（ 1） 1 10故选 B。32 3 3 32. A 解析：因为 ABCD 是矩形，所以 AOBO，则OABOBA。AB1，BC ，tanCAB ，CAB60，3 3OBA
12、OAB60。AOB180606060，tanAOBtan60 。故选 A。33. B 解析：可利用勾股定理或三角函数从标有“13”的正方形开始倒序计算至标有“2”的等腰直角三角形的斜边长。4. B 解析：过点 A 作 ADOB 于点 D，在 RtAOD 中，AO B45，OD ADOAcos45 1 ，BDOBOD 1 ，AB 22 22 22 AD2+BD2，AC 是O 的直径，ABC90，AC2，sinC ，故选2 2ABAC 2 22B。5. 解析：在 RtABC 中，C90，AB2BC，sinA ，故错误；BCAB 12A30，B60，cosBcos60 ，故正确；A30，12tanA
13、tan30 ，故正确；B60，tanBtan60 ，故正确。33 36. 解析：不难验证， a2 b2 c2，所以ABC 是直角三角形，其中 a 是斜边，10bsinB csinC b c a 。ba ca c2 b2a a2a 107. 解析：在 RtABC 中，ADBC 于点63D，ADBCDA，BBAD90，BADDAC90，BDAC，ABDACD， ，BD：CD3：2，设 BD3 x，CD2 x，AD x，BDAD ADDC 3x2x 6则 tanB 。ADBD 6x3x 638. 解析：分别过点 A、B 作 AE l1，BF l1，易得AECCFB（AAS） ，设平行1010线间距离
14、为 d1，CEBF1，AECF2，ACBC ，AB ，则 sin 5 10dAB 。110 10107ABCl12l3EF9. 解析：sin（15） ，1560，45。当 45时，32原式2 4cos451tan4532 2 1133。2 2 210. 解：（1）由题意得，sin120sin（180120）sin60 ，cos12032cos（180120）cos60 ，sin150sin（180150）sin3012 ；（2）三角形的三个内角的比是 1：1：4，三个内角分别为 30、30、120，12当A30，B120时，方程的两根为 和 ，将 代入方程得：4（ ）12 12 12 122
15、m 10，解得： m0，经检验 是方程 4x210 的根， m0 符合题意；当12 12A120，B30时，两根均为 ，不符合题意；当A30，B30时，32两根为 和 ，将 代入方程得：4（ ） 2 m 10，解得： m0，经检验 不是方12 32 12 12 12 32程 4x210 的根。综上所述： m0，A30，B120。11. 解：（1）当AOE45时，过点 A 作 AFOE 于 F，则 OFOAcosAOE105 cm；（2）过点 A 作 AGOE 于 G，交O 于另一点 H。OE25 cm，当 OG5 cm22 2时点 A 到桌面的距离正好是 20cm。在 RtOAG 中，OG5
16、cm，OA10 cm，即sinOAG ，OAG30，AOG60，AOH120。在扇形 OAH 中，OGOA 510 12劣弧 的长度 （ cm） 。即风车转动一周，点 A 相对于桌面的高度不 AH 120 10180 203超过 20cm 所经过的路径长为 cm。20312. 解：（1）45 提示：连接 FC、GC，则ADE BCFDCG，从而 DEFC，CGF 是等腰直角三角形，所以EHFGFC45。8ABCDEFGH图 1ABCDEFG图 2M（2）不会变化。证明：如图 2，过点 F 作 FED 交 CD 于，连接 G。正方形ABCD 中，ABCD，四边形 EFMD 为平行四边形。EF DM，DE FM。EDCFMC，EHFHFM 。EF CD，GD AE， 25 25 EFCD 。 ，AGDM90，DGMGDAE 25 DMAD GDAEAED。 ， 。GDHMDH90，GMDE 25 GMFM 25GD H DMG，MDHCMF ，DMGCMF90，GMF90。在 RtGFM 中，tan 。 arc tan 。GMFM 25 25
