1、偏 导 数,我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。,一、偏导数的定义及其计算法,偏导数的求法,由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法,求 时把 y 视为常数而对 x 求导,求 时把 x 视为常数而对 y 求导,这仍然是一元函数求导问题,如 在 处,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,
2、一般地 设,解,证,原结论成立,解,不存在,证,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,计算 f x (x0 ,y0 ) 时可先将 y = y0 代入 f (x ,y ),再对 x 求导然后代入 x = x0,计算 f y (x0 ,y0 ) 时同理,解,3、,4、,偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量，但由于变量较多，易产生混乱-重要的是区分清函数的类型这是出错的主要原因。,5、,若 f( x , y ) =f( y , x ),则称 f( x , y ) 关于 x , y 具有轮换对称性,在求 时,只需将所求的
3、,中的 x , y 互换即可,6、偏导数存在与连续的关系,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,7、偏导数的几何意义,如图,几何意义:,二、高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：,原函数图形,偏导函数图形,偏导函数图形,二阶混合偏导函数图形,解,问题：,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,解,全 微 分,一、全微分的定义,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,全增量的概念,全微分的定义,事实上,二、可微的条件,证,总成立,同理可得,一元函数在
4、某点的导数存在 微分存在,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,？,例如,则,当 时,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，,证,（依偏导数的连续性）,同理,习惯上，记全微分为,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,解,所求全微分,解,解,所求全微分,证,令,则,同理,不存在.,多元函数连续、可导、可微的关系,复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？,这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数,如,由于 f 没有具体给出,一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还
5、要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。,一、链式法则,证,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,链式法则如图示,称为标准法则或,这个公式的特征：,函数,有两个自变量 x 和 y,故法则中包含,两个公式；,由于在复合过程中有两个中间变量 u 和 v,故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有,每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，,即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数”,多元复合函数的求导法则简言之即：,“分道相加，连线相乘”,特殊地,其中,即,令,两者的区别,区别类
6、似,注,此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形,如,则,从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关,关于多元复合函数求偏导问题,这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式,用图示法表示出函数的复合关系,函数对某个自变量的偏导数的结构,（项数及项的构成）,仍是复合函数,且复合结构与原来的 f ( u , v ) 完全相同,即仍是以 u , v 为中间变量，以 x , y 为自变量的复合函数,因此求它们关于
7、 x , y 的偏导数时必须使链式法则,求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量,注意引用这些公式的条件,外层函数可微（偏导数连续）,内层函数可导,的合并问题,视题设条件,解,解,解,由链式法则,故,同理可得,解,令,记,同理有,于是,二、全微分形式不变性,全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理,且作微分运算的结果对自变量的微分,来说是线性的,从而为解题带来很多方便，而且也不易出错,例5 设,各函数满足求导条件,求,解一,变量间的关系如下图所示,这里变量间的关系比较混乱,用全微分来解,由全微分定理,注意到 x , z 是独立自变量,解二,由全微分定义,注,解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错,故,
