1、第二章导数与微分 导数思想最早由法国 数学家Fermat在研究 极值问题中提出 微积分学的创始人 德国数学家Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 从微观上研究函数 英国数学家Newton 一 导数 微商 的背景 t很小 速度近乎均匀 则 2 1导数概念 1 自由落体运动的瞬时速度问题 割线的极限位置 切线位置 切线 2 切线问题 过点M做割线MN 当N沿曲线C向M滑动时 若割线MN极限位置MT存在 则称直线MT为曲线C在M处的切线 切线可看作曲线上过某定点的一系列割线的极限位置 抽去具体的物理 几何内容 从抽象的数量关系来看 都归结为下
2、面形式的极限 二 导数概念 1 导数定义 1 2 3 例3求函数y f x x在x 2的导数 解用 1 式 在x 2处 当自变量有改变量 x时 相应的函数改变量为 y f 2 x f 2 2 x 2 x 因此 在x 2处函数y x的导数 1 用 2 式 1 练习 求函数在的导数 2 单侧导数 例4讨论函数f x x 在x 0处是否可导 解由于f 0 0 根据左导数与右导数的定义 1 1 因为 所以函数f x x 在x 0处不可导 函数f x 在点x0的导数 正是该函数的导数在该点x0的值 即 类似可以得出 例5求函数y x3在x 2的导数y 并求y x 2 解先求导函数 将x 2代入导函数中求
3、出导数值 12 例6求常量函数y C的导数 解对函数y C在定义域上的任意一点x 若自变量有改变量 x 则相应的函数改变量为 y C C 0 于是 即有常量函数的导数公式 C 0 练习 P 412 1 2 3 证 例7设函数y 证明 特别地 当a e时 有导数公式 例8设函数y sinx 证明 y cosx 即 sinx cosx 用同样的方法可得 cosx sinx 证明 练习 P 413 1 2 3 3 导数的几何意义与物理意义 1 几何意义 切线方程为 法线方程为 2 物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率 变速直线运动 路程对时间的导数为物体的瞬时速度 交流电路 电量对时间的导数为电流强度
4、 非均匀的物体 质量对长度 面积 体积 的导数为物体的线 面 体 密度 解 可得 例9求曲线y x3在点 2 8 处的切线方程和法线方程 y 3x2 y x 2 12 所以 切线方程为 y 8 12 x 2 或12x y 16 0 或x 12y 98 0 法线方程为 练习 P 414 1 三 可导与连续的关系 推论凡可导函数都是连续函数 证 可导 连续 例 问题连续函数是否可导 连续 可导 而 不可导 1 可导 连续 极限存在2 极限不存在 不连续 不可导 极限存在 连续 可导 例11讨论在x 1及x 2处的可导性 f x 在x 2极限不存在 因此不连续 也不可导 对于x 1 小结 导数定义用定义求导数的方法导数的实际意义可导与连续 1 求增量 y 2 求比值 3 求极限 作业 P41A组 1 2 2 2 4 5 3 2 4 4 3 4 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置
