1、1 休息 2 第二章 一元函数微分学 3 第一节 微商的概念 一 问题的提出 二 微商的定义 三 微商的几何意义 四 用定义求基本初等函数的微商 4 1 自由落体运动的瞬时速度问题 如图 取极限得 一 问题的提出 5 化学反应速度问题 所谓的化学反应速度 即浓度对时间的变化率 在化学反应过程中 浓度是时间t的函数 即C f t 我们现在要讨论在时刻的反应速度 设从时刻到时刻t 浓度从变到C f t 变化情况 用时 浓度变化 平均反应速度 6 时平均速度的极限 就是在时刻的反应速度 切线问题 割线的极限位置 切线位置 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT 直线MT就称为曲线C在点M处的切线
2、7 极限位置即 8 舍弃具体内容 可抽象出 二 微商的定义 定义设函数y f x 当自变量x从变到x 即自变量有增量时 函数y相应地有增量 若极限 存在 或微商 derivate 9 导数定义的不同形式 10 1 关于导数的说明 2 3 11 注意 我们今后要求导数或微商时 一般就是求导函数 简称导数 除非特别指出求某点的导数 如 求函数y sinx在点x 处的导数 掌握定义的实质 可以讨论一些函数在某些点是否存在导数的问题 不作要求 对我们来说 主要是利用定义求一些简单函数的导数 12 例 解 13 三 导数的几何意义 切线方程为 法线方程为 由引例 知 14 解 故由直线方程的点斜式 得
3、稍后我们可以求得曲线在x 点的导数值为12 即切线的斜率为12 而法线的斜率为 15 可导与连续的关系 定理凡可导函数都是连续函数 反之不真 即 可导 连续 定理的前半部分正确是因为 如果y f x 在点可导 则有 即 或 从而函数在点连续 见例 16 四 用定义求基本初等函数的导数 下面看一下如何使用微商的定义求出一个函数的导数 按定义可知 求导数的步骤为 可分开步骤写 也可合并写 例 解 17 例 解 更一般地 例如 18 例 解 注意 求几个幂函数的积和商的导数时 应先将它们化成幂指函数的形式并对指数作加减运算后再导 自己计算 sinx 19 例6 解 20 例7 解 21 五 小结 1 导数的实质 增量比的极限 2 导数的几何意义 切线的斜率 4 求导数最基本的方法 由定义求导数 3 函数可导一定连续 但连续不一定可导 思考问题 2 可导是否有切线 有切线是否可导 22 作业与练习 第47页习题 23 本节结束
