1、第三章 导数与微分,微分学的核心,导数与微分,1/22,第一节 导数的概念,一、问题的提出 二、导数的定义 三、由定义求导数 四、导数的物理意义与几何意义 五、可导与连续的关系 六、小结,2/22,一、问题的提出,1、瞬时速度问题,设运动物体的运动方程为 s = s(t), 则在 t 与 t0 之间平均速度,t0 时刻的（瞬时）速度,3/22,2、切线问题,切线割线的极限位置上的直线,4/22,二、导数的定义,(双侧)导数定义,注意,“导数为”时不可导，即导数不存在。,5/22,单侧导数：,可导性是局部性质。,双侧、单侧导数的关系,6/22,区间上可导性的定义,若 f(x) 在区间I的内部处处
2、可导，并且在 I所含的左（右）端点处右(左)导数存在，则称 f(x) 在区间I上可导。,导函数,7/22,三、由定义求导数,例1,解,8/22,例2,解,9/22,例3,解,一般地,10/22,*例4,解,11/22,*例5,解,12/22,例6,解,13/22,例7,解,14/22,四、导数的物理意义与几何意义,2、几何意义,1、物理意义,因变量关于自变量的变化率。,15/22,例8,解,由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,16/22,五、可导与连续的关系,定理 可导 连续.,证,证毕,17/22,注意: 该定理的逆定理不成立. 即 连续 可导,连续但不可导函数举例,y y=|x| O x,y y=f(x) O x,18/22,例9,解,19/22,*例10,解,20/22,六、小结,1. 导数的实质: 增量比的极限;,3. 导数的几何意义: 切线的斜率;,4.导数的物理意义: 变化率；,5.函数可导与连续的关系：可导一定连续，但连续不一定可导;,6.求导数最基本的方法: 由定义求导数.,21/22,思考题,22/22,
