1、,2.4函数与方程,把握热点考向,应用创新演练,第二章函数,考点一,考点二,考点三,2.4.1函数的零点,理解教材新知,给定一元二次函数yx22x3，其图象如下：,问题1：方程x22x30的根是什么？提示：方程的根为3,1.,问题2：函数的图象与x轴的交点是什么？提示：交点为(3,0)，(1,0)问题3：方程的根与交点的横坐标有什么关系？提示：相等 问题4：通过图象观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？提示：在每一交点两侧函数值符号异号,1函数的零点： 如果函数yf(x)在实数处的值 ，即 ，则 叫做这个函数的零点.在坐标系中表示图象与x轴的公共点是 ,等于零,f()0,(，0),
2、2二次函数的零点与相应二次方程根的关系,(1)并非所有的函数都有零点，若函数yf(x)有零点，则零点一定在函数定义域内 (2)函数的零点其实就是函数yf(x)图像与x轴交点的横坐标，函数的零点不是点，而是一个实数 (3)若c是函数yf(x)的零点，则一定有f(c)0.,例1求下列函数的零点：(1)f(x)x22x3；(2)f(x)x41. 思路点拨根据函数零点与相应方程的根之间的关系知，求函数的零点就是求相应方程的根,精解详析(1)f(x)x22x3 (x3)(x1)，方程x22x30的两根分别是3和1.故函数的零点是3,1.(2)f(x)x41(x21)(x1)(x1)，方程x410的实数根
3、是1或1.故函数的零点是1,1.,一点通函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根； (2)几何法：对于不能用求根公式求解的方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点,1若f(x)axb(b0)有一个零点3，则函数g(x)bx23ax的零点是_解析：f(x)axb的零点是3，f(3)0，即3ab0，也就是b3a.g(x)bx23axbx2bxbx(x1)g(x)的零点为1,0.答案：1,0,2求下列函数的零点：(1)f(x)x3x2x1；(2)f(x)x42x23.,思路点拨由yf(x)与x轴公共点的个数或方程f(x)0的实数根的个
4、数来判断函数零点的个数,一点通判断函数零点个数的主要方法：(1)转化为解相应方程，有几个根就有几个零点 (2)画出函数yf(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数 (3)结合单调性，利用f(a)f(b)的符号，可判定yf(x)在(a，b)上零点的个数 (4)转化成两个函数图象的交点问题,答案：C,解：(1)由f(x)0，得x27x120.4941210，方程x27x120有两个不相等的实数根3,4.函数f(x)有两个零点，分别是3,4.,5已知二次函数yax2bxc，且ac0.方程ax2bxc0有两个不相等的实数根，所以二次函数yax2bxc有两个零点,例3(10分)已知关于x
5、的二次方程ax22(a1)xa10有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围 思路点拨根据二次方程根的分布画出相应的函数图象，数形结合建立关于a的不等式组,一点通解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论,6若f(x)xb的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为 _,答案：(1,0),7若函数yax2x1只有一个零点，求实数a的取值范围,（ 1 ）函数是否有零点是针对相应方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点反映在图象上就是函数图象与x轴无交点，如函数y1，yx21就没有零点 （ 2 ）判断函数的零点，可利用的结论： 若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解,点击此图片进入创新演练,
