1、15.2 异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断命题角度 1 两条异面直线所成的角 高考真题体验对方向1.(2018 全国 9)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, AB=BC=1,AA1= ,则异面直线 AD1与 DB1所成3角的余弦值为( )A. B. C. D.15 56 55 22答案 C解析以 DA,DC,DD1为轴建立空间直角坐标系如图,则 D1(0,0, ),A(1,0,0),D(0,0,0),B1(1,1, ).3 3 =(-1,0, ), =(1,1, ).设异面直线 AD1与 DB1所成的角为 . cos =1 3 1 3.|11|1|1|=|225|=55 异面直线
2、 AD1与 DB1所成角的余弦值为 .5522.(2017 全国 10)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中, ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与 BC1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.32 155 105 33答案 C解析方法一:如图,取 AB,BB1,B1C1的中点 M,N,P,连接 MN,NP,PM,可知 AB1与 BC1所成的角等于 MN 与 NP 所成的角 .由题意可知 BC1= ,AB1= ,2 5则 MN= AB1= ,NP= BC1= .12 52 12 22取 BC 的中点 Q,连接 PQ,QM,则可知 PQM 为直角三角形 .在 AB
3、C 中, AC2=AB2+BC2-2ABBCcos ABC=4+1-221 =7,即 AC= .(-12) 7又 CC1=1,所以 PQ=1,MQ= AC= .12 72在 MQP 中,可知 MP= .2+2=112在 PMN 中,cos PNM= =- ,2+2-22 =(52)2+(22)2-(112)225222 105又异面直线所成角的范围为 ,(0,2故所求角的余弦值为 .105方法二:把三棱柱 ABC-A1B1C1补成四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,如图,连接 C1D,BD,则 AB1与 BC1所成的角为 BC1D.由题意可知 BC1= ,23BD= ,C1D=AB1= .可知
4、 B +BD2=C1D2,22+12-22160=3 5 21所以 cos BC1D= ,故选 C.25=1053.(2016 全国 11)平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A, 平面 CB1D1, 平面ABCD=m, 平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( )A. B. C. D.32 22 33 13答案 A解析 (方法一) 平面 CB1D1,平面 ABCD平面 A1B1C1D1, 平面 ABCD=m,平面 CB1D1平面 A1B1C1D1=B1D1,m B1D1. 平面 CB1D1,平面 ABB1A1平面 DCC1D1, 平面 ABB1A1=n,平面 CB
5、1D1平面DCC1D1=CD1,n CD1.B 1D1,CD1所成的角等于 m,n 所成的角,即 B1D1C 等于 m,n 所成的角 . B1D1C 为正三角形, B1D1C=60,m ,n 所成的角的正弦值为 .32(方法二)由题意画出图形如图,将正方体 ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面 AEF平面 CB1D1,所以平面 AEF 即为平面 ,m 即为 AE,n 即为 AF,所以 AE 与 AF 所成的角即为 m 与 n 所成的角 .因为 AEF 是正三角形,所以 EAF=60,故 m,n 所成角的正弦值为 .324.(2017 全国 16)a,b 为空间中
6、两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC所在直线与 a,b 都垂直,斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论: 当直线 AB 与 a 成 60角时, AB 与 b 成 30角; 当直线 AB 与 a 成 60角时, AB 与 b 成 60角; 直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45; 直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60.其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号) 答案 解析 由题意, AB 是以 AC 为轴, BC 为底面半径的圆锥的母线,由 AC a,AC b,得 AC圆锥底面,在底面内可以过点 B,作 BD a,交底面圆 C 于点 D,如图所示,连接
7、 DE,则DE BD,DE b.连接 AD,在等腰三角形 ABD 中,设 AB=AD= ,当直线 AB 与 a 成 60角时,24 ABD=60,故 BD= .又在 Rt BDE 中, BE=2,DE= ,过点 B 作 BF DE,交圆 C 于点 F,连2 2接 AF,由圆的对称性可知 BF=DE= ,2 ABF 为等边三角形, ABF=60,即 AB 与 b 成 60角, 正确, 错误 .由最小角定理可知 正确;很明显,可以满足直线 a平面 ABC,直线 AB 与 a 所成的最大角为 90,错误 .故正确的说法为 .新题演练提能刷高分1.(2018 百校联盟全国联考)如图所示,在四棱锥 P-
8、ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,AB=2, BAD=60,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,F,F 分别为 PD,CD 的中点,则异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.13 34 14 710答案 B解析 如图,取 AD 的中点 O,连接 OP,OB,由题意可得 PO平面 ABCD.在 AOB 中, OA=1,AB=2, OAB=60,则由余弦定理得 OB= ,所以 OB AD,3因此可建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.则 A(1,0,0),E - ,0, ,B(0, ,0),F - ,0 ,12 32 3 32, 32 = - ,
9、0, , = - ,- ,0 ,32 32 32 32 cos= .,|=9433=34 异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为 .选 B.3452.(2018 陕西质量检测)已知 ABC 与 BCD 均为正三角形,且 AB=4.若平面 ABC 与平面 BCD垂直,且异面直线 AB 和 CD 所成角为 ,则 cos = ( )A.- B.154 154C.- D.14 14答案 D解析如图,设等边三角形的边长为 4. 等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直, 取 BC 中点 O,则 AO BC OD,以 O 为原点,建立如图空间直角坐标系 O-xyz.则 A(0,0,2 ),B(
10、0,-2,0),C(0,2,0),D(2 ,0,0), =(0,-2,-2 ), =(2 ,-2,0),3 3 3 3故 cos= , 异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为 ,故选 D.,|=14 143.(2018 贵州凯里模拟)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,若其外接球的表面积为 16,则异面直线 BD1与 CC1所成的角的余弦值为 . 答案144解析 设外接球的半径为 R,则 4 R2=16,解得 R=2,设长方体的高为 x,则 x2+12+12=(2R)2=16,故x= ,在 Rt BDD1中, DD1B 即为异面直线所成的角,其余
11、弦值为 .141444.(2018 四川乐山半期联考)如图,在三棱锥 A-BCD 中, E,F,G 分别为 AB,AC,CD 中点,且AD=BC=2,EG= ,则异面直线 AD 与 BC 所成的角的大小为 . 3答案 60解析 由三角形中位线的性质可知 EF BC,GF AD,则 EFG 或其补角即为所求,由几何关系有 EF= BC=1,GF= AD=1,12 126由余弦定理可得 cos EFG= =- ,则 EFG=120,所以异面直线 AD12+12-(3)2211 12与 BC 所成的角的大小为 180-120=60.5.(2018 安徽淮南、宿城联考)在如图所示的三棱锥 P-ABC
12、中, PA底面 ABC,AB AC,D 是 PC的中点 .AB=2,AC=2 ,PA=2.则异面直线 PB 与 AD 所成角的余弦值为 . 3答案24解析如图所示,建立空间直角坐标系 A-xyz,则 B(2,0,0),C(0,2 ,0),A(0,0,0),P(0,0,2),D(0, ,1),3 3 =(0, ,1), =(2,0,-2), cos= ,故答案 3 ,|=248=24为 .246.(2018 安徽、山西等五省六校联考)如图 1,在矩形 ABCD 中, AB=2,BC=1,E 是 DC 的中点;如图 2,将 DAE 沿 AE 折起,使折后平面 DAE平面 ABCE,则异面直线 AE
13、 和 DB 所成角的余弦值为 . 答案66解析 取 AE 的中点为 O,连接 DO,BO,延长 EC 到 F 使 EC=CF,连接 BF,DF,OF,则 BF AE,所以 DBF 或它的补角为异面直线 AE 和 DB 所成角 .7DA=DE= 1,DO AE,且 |AO|=|DO|= ,在 ABO 中,根据余弦定理得 cos OAB=cos 2245= .|2+|2-|22| =22|BO|= .同理可得 |OF|= .102 262又 平面 DAE平面 ABCE,平面 DAE平面 ABCE=AE,DO平面 DAE,DO 平面 ABCE.BO 平面 ABCE,DO BO,|BD| 2=|BO|
14、2+|DO|2= =3,12+52即 |BD|= ,同理可得 |DF|= .3 7又 BF=AE= , 在 DBF 中,cos DBF= =-2|2+|2-|22| =3+2-7232,66 两直线的夹角的取值范围为 0, ,2 异面直线 AE 和 DB 所成角的余弦值为 .66命题角度 2 空间位置关系的综合判断 高考真题体验对方向1.(2018 全国 12)已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面 所成的角都相等,则 截此正方体所得截面面积的最大值为( )A. B. C. D.334 233 324 32答案 A解析 满足题设的平面 可以是与平面 A1BC1平行的平面,如图(1)所示
15、.图(1)再将平面 A1BC 平移,得到如图(2)所示的六边形 .8图(2)图(3)设 AE=a,如图(3)所示,可得截面面积为S= (1-a)+ a+ a2 -3 ( a)2 (-2a2+2a+1),所以当 a= 时,12 2 2 2 32 12 2 32=32 12Smax= .32(-214+212+1)=3342.(2015 安徽5)已知 m,n 是两条不同直线, , 是两个不同平面,则下列命题正确的是( )A.若 , 垂直于同一平面,则 与 平行B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行C.若 , 不平行,则在 内不存在与 平行的直线D.若 m,n 不平行,则 m 与 n
16、不可能垂直于同一平面答案 D解析 A 选项 , 可能相交;B 选项 m,n 可能相交,也可能异面;C 选项若 与 相交,则在 内平行于它们交线的直线一定平行于 ;由垂直于同一个平面的两条直线一定平行,可知 D 选项正确 .3.(2016 全国 14) , 是两个平面, m,n 是两条直线,有下列四个命题: 如果 m n,m ,n ,那么 . 如果 m ,n ,那么 m n. 如果 ,m ,那么 m . 如果 m n, ,那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 .其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 答案 解析 对于 ,若 m n,m ,n ,则 , 的位置关系无法确定,故错误
17、;对于 ,因为n ,所以过直线 n 作平面 与平面 相交于直线 c,则 n c.因为 m ,所以 m c,所以 m n,故 正确;对于 ,由两个平面平行的性质可知正确;对于 ,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确命题的编号有 .新题演练提能刷高分1.(2018 福建厦门期末)若 m,n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )9A.若 ,m ,则 m B.若 m ,n m,则 n C.若 m ,n ,m ,n ,则 D.若 m ,m , =n ,则 m n答案 D解析 选项 A 中, m 与 的关系是 m 或 m ,故 A 不正确;选项 B 中, n 与 的
18、关系是 n 或 n 与 相交但不垂直或 n ,故 B 不正确;选项 C 中, 与 之间的关系是 或相交,故 C 不正确;选项 D 中,由线面平行的性质可得正确 .故选 D.2.(2018 湖北重点高中协作体期中)已知直线 l,m,平面 , ,且 l ,m ,下列命题: l m; l m;l m ;l m ,其中正确的序号是( )A. B.C. D.答案 B解析 l , l ,而 m ,所以 l m, 对;l ,m , 时, l,m 位置关系不定;l ,l mm ,而 m ,所以 , 对;l ,m ,l m 时, , 位置关系不定 .故选 B.3.(2018 广西南宁期末)设 l,m,n 表示不
19、同的直线, , , 表示不同的平面,给出下列四个命题: 若 m l,且 m ,则 l ; 若 ,m ,n ,则 m n; 若 , ,则 ; 如果 m n,m ,n ,则 .则错误的命题个数为( )A.4 B.3 C.2 D.1答案 B解析 若 m l,且 m ,则 l 是正确的,垂直于同一个平面的直线互相平行; 若 ,m ,n ,则 m n 是错误的,当 m 和 n 平行时,也可能满足前边的条件; 若 , ,则 ,不对,垂直于同一个平面的两个平面可以是交叉的; 如果 m n,m ,n ,则 是错误的,平面 和 能相交 .故答案为 B.4.(2018 广东汕头期末)如图,在三棱锥 A-BCD 中
20、, AC AB,BC BD,平面 ABC平面 BCD.AC BD;AD BC; 平面 ABC平面 ABD; 平面 ACD平面 ABD.以上结论中正确的个数有( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 平面 ABC平面 BCD,平面 ABC平面 BCD=BC,BC BD,BD 平面 ABC,又 AC平面ABC,BD AC,故 正确 .BD 平面 ABD, 平面 ABD平面 ABC,故 正确 .AC AB,BD AC,AB BD=B,10AC 平面 ABD,又 AC平面 ACD, 平面 ACD平面 ABD,故 正确 .综上 正确,故选 C.5.(2018 东北三省三校二模)设 m,n 是两条
21、不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.若 ,m ,则 m B.若 m ,n ,则 m nC.若 =m ,n ,n ,则 m nD.若 ,且 =m ,点 A ,直线 AB m,则 AB 答案 C解析 若 ,m ,则 m 或 m ,故 A 错误;若 m ,n ,则 m,n 无交点,即平行或异面,故 B 错误;若 =m ,n ,n ,过 n 作平面与 , 分别交于直线 s,t,则s n,t n,所以 s t,再根据线面平行判定定理得 s ,因为 =m ,s ,所以 s m,即 m n,故 C 正确;若 ,且 =m ,点 A ,直线 AB m,当 B 在平面 内时才有AB
22、,故选 C.6.(2018 辽宁抚顺一模)给出下列四个命题: 如果平面 外一条直线 a 与平面 内一条直线 b 平行,那么 a ; 过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直; 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直; 若两个相交平面都垂直于第三个平面,则这两个平面的交线垂直于第三个平面 .其中真命题的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 对于 ,根据线面平行的判定定理,如果平面外一条直线 a 与平面 内一条直线 b 平行,那么 a ,故正确;对于 ,因为垂直同一平面的两直线平行,所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直,故正确;对于 ,平面内无数条直线均为平行线时,不能得出直线与这个平面垂直,故不正确;对于 ,因为两个相交平面都垂直于第三个平面,所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面,可得这两条直线平行,则其中一条直线平行于另一条直线所在的面,可得这条直线平行这两个相交平面的交线,从而交线垂直于第三个平面,故正确 .故选 C.7.(2018 广东茂名第一次综合测试)如图所示为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个命题:AF GC;BD 与 GC 成异面直线且夹角为 60;BD MN;BG 与平面 ABCD 所成的角为45.其中正确的个数是( )A.1 B.2
