1、5.2 异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断命题角度 1 两条异面直线所成的角 高考真题体验对方向1.(2018 全国 9)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1, AA1=,则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案 C解析以 DA,DC,DD1 为轴建立空间直角坐标系如图,则 D1(0,0,),A(1,0,0),D(0,0,0),B1(1,1,). =(-1,0,),=(1,1,).设异面直线 AD1 与 DB1 所成的角为 . cos =. 异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为.2.(2017 全国 10)已知直三棱柱
2、 ABC-A1B1C1 中,ABC=120,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案 C解析方法一:如图,取 AB,BB1,B1C1 的中点 M,N,P,连接 MN,NP,PM,可知 AB1 与 BC1 所成的角等于 MN 与 NP 所成的角.由题意可知 BC1=,AB1=,则 MN=AB1=,NP=BC1=.取 BC 的中点 Q,连接 PQ,QM,则可知 PQM 为直角三角形.在ABC 中,AC 2=AB2+BC2-2ABBCcosABC= 4+1-221=7,即 AC=.又 CC1=1,所以 PQ=1,MQ=AC=.在M
3、QP 中,可知 MP=.在PMN 中,cosPNM=- ,又异面直线所成角的范围为,故所求角的余弦值为.方法二:把三棱柱 ABC-A1B1C1 补成四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,如图,连接 C1D,BD,则 AB1 与 BC1 所成的角为BC 1D.由题意可知 BC1=,BD=,C1D=AB1=.可知 B+BD2=C1D2,所以 cosBC 1D=,故选 C.3.(2016 全国 11)平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,平面 CB1D1,平面ABCD=m,平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( )A. B. C. D.答案 A解析 (方法一) 平面
4、CB1D1,平面 ABCD平面 A1B1C1D1,平面 ABCD=m,平面 CB1D1平面 A1B1C1D1=B1D1, mB 1D1. 平面 CB1D1,平面 ABB1A1平面 DCC1D1,平面 ABB1A1=n,平面 CB1D1平面DCC1D1=CD1, nCD 1. B1D1,CD1 所成的角等于 m,n 所成的角,即B 1D1C 等于 m,n 所成的角 . B1D1C 为正三角形, B 1D1C=60, m,n 所成的角的正弦值为.(方法二) 由题意画出图形如图,将正方体 ABCD-A1B1C1D1 平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面 AEF平面 CB1D1,所以平面 AEF
5、 即为平面 ,m 即为 AE,n 即为 AF,所以 AE 与 AF 所成的角即为 m 与 n 所成的角.因为AEF 是正三角形,所以EAF= 60,故 m,n 所成角的正弦值为.4.(2017 全国 16)a,b 为空间中两条互相垂直的直线 ,等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a,b 都垂直,斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论: 当直线 AB 与 a 成 60角时,AB 与 b 成 30角; 当直线 AB 与 a 成 60角时,AB 与 b 成 60角; 直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45; 直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60.其中正确的是 .
6、(填写所有正确结论的编号 ) 答案 解析 由题意,AB 是以 AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线,由 ACa,ACb,得 AC圆锥底面,在底面内可以过点 B,作 BDa,交底面圆 C 于点 D,如图所示,连接 DE,则DEBD, DEb.连接 AD,在等腰三角形 ABD 中,设 AB=AD=,当直线 AB 与 a 成 60角时,ABD= 60,故 BD=.又在 RtBDE 中,BE=2, DE=,过点 B 作 BFDE,交圆 C 于点 F,连接AF,由圆的对称性可知 BF=DE=, ABF 为等边三角形 , ABF=60,即 AB 与 b 成 60角, 正确, 错误.由最小角定理可知 正
7、确;很明显,可以满足直线 a平面 ABC,直线 AB 与 a 所成的最大角为 90, 错误.故正确的说法为 .新题演练提能刷高分1.(2018 百校联盟全国联考)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,AB=2, BAD=60,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,F,F 分别为 PD,CD 的中点,则异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案 B解析 如图,取 AD 的中点 O,连接 OP,OB,由题意可得 PO 平面 ABCD.在AOB 中,OA=1,AB=2,OAB=60,则由余弦定理得 OB=,所以 OBAD,因此可建立
8、如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.则 A(1,0,0),E -,0, ,B(0,0),F -,0 , = -,0, ,= -,-,0 , cos=, 异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为,故选 D.3.(2018 贵州凯里模拟)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,若其外接球的表面积为 16,则异面直线 BD1 与 CC1 所成的角的余弦值为 . 答案解析 设外接球的半径为 R,则 4R2=16,解得 R=2,设长方体的高为 x,则 x2+12+12=(2R)2=16,故 x=,在 RtBDD1 中,DD 1B 即为异面直线所成的角,其余弦
9、值为.4.(2018 四川乐山半期联考)如图,在三棱锥 A-BCD 中,E ,F,G 分别为 AB,AC,CD 中点,且AD=BC=2,EG=,则异面直线 AD 与 BC 所成的角的大小为 . 答案 60解析 由三角形中位线的性质可知 EFBC,GF AD,则EFG 或其补角即为所求,由几何关系有 EF=BC=1,GF=AD=1,由余弦定理可得 cosEFG=-,则EFG=120,所以异面直线 AD 与 BC 所成的角的大小为 180-120=60.5.(2018 安徽淮南、宿城联考 )在如图所示的三棱锥 P-ABC 中,PA底面 ABC,ABAC ,D 是PC 的中点.AB=2,AC=2,P
10、A=2.则异面直线 PB 与 AD 所成角的余弦值为 . 答案解析如图所示,建立空间直角坐标系 A-xyz,则 B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,0),P(0,0,2),D(0,1), =(0,1),=(2,0,-2), cos=,故答案为.6.(2018 安徽、山西等五省六校联考 )如图 1,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=1,E 是 DC 的中点;如图 2,将DAE 沿 AE 折起,使折后平面 DAE平面 ABCE,则异面直线 AE 和 DB 所成角的余弦值为 . 答案解析 取 AE 的中点为 O,连接 DO,BO,延长 EC 到 F 使 EC=CF,连接 BF,DF
11、,OF,则 BFAE,所以DBF 或它的补角为异面直线 AE 和 DB 所成角. DA=DE=1, DOAE ,且|AO|=|DO|=,在 ABO 中,根据余弦定理得 cosOAB=cos 45=. |BO|=.同理可得 |OF|=.又 平面 DAE平面 ABCE,平面 DAE平面 ABCE=AE,DO平面 DAE, DO平面ABCE. BO平面 ABCE, DOBO, |BD|2=|BO|2+|DO|2=3,即|BD|=,同理可得 |DF|=.又 BF=AE=, 在 DBF 中,cosDBF=-, 两直线的夹角的取值范围为 0, , 异面直线 AE 和 DB 所成角的余弦值为.命题角度 2
12、空间位置关系的综合判断 高考真题体验对方向1.(2018 全国 12)已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面 所成的角都相等,则 截此正方体所得截面面积的最大值为( )A. B. C. D.答案 A解析 满足题设的平面 可以是与平面 A1BC1 平行的平面,如图 (1)所示.图(1)再将平面 A1BC 平移,得到如图(2) 所示的六边形.图(2)图(3)设 AE=a,如图(3)所示,可得截面面积为S=(1-a)+a+a2-3(a)2(-2a2+2a+1),所以当 a=时,S max=.2.(2015 安徽5) 已知 m,n 是两条不同直线, 是两个不同平面,则下列命题正确的是( )A.若
13、 , 垂直于同一平面,则 与 平行B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行C.若 , 不平行,则在 内不存在与 平行的直线D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面答案 D解析 A 选项 , 可能相交;B 选项 m,n 可能相交,也可能异面;C 选项若 与 相交,则在 内平行于它们交线的直线一定平行于 ;由垂直于同一个平面的两条直线一定平行,可知 D 选项正确.3.(2016 全国 14), 是两个平面 ,m,n 是两条直线,有下列四个命题: 如果 mn,m,n ,那么 . 如果 m,n,那么 mn. 如果 ,m,那么 m. 如果 mn,那么 m 与 所成的角和
14、n 与 所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 答案 解析 对于 ,若 mn,m,n,则 , 的位置关系无法确定,故错误;对于 ,因为 n ,所以过直线 n 作平面 与平面 相交于直线 c,则 nc.因为 m ,所以 mc,所以 mn,故 正确;对于 ,由两个平面平行的性质可知正确;对于 ,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确命题的编号有 .新题演练提能刷高分1.(2018 福建厦门期末)若 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面 ,则下列命题正确的是( )A.若 ,m ,则 mB.若 m,nm,则 nC.若 m,n,m ,n,则 D.若 m,m,=n ,
15、则 mn答案 D解析 选项 A 中,m 与 的关系是 m 或 m,故 A 不正确;选项 B 中,n 与 的关系是 n 或 n 与 相交但不垂直或 n,故 B 不正确;选项 C 中, 与 之间的关系是 或相交,故 C 不正确;选项 D 中,由线面平行的性质可得正确 .故选 D.2.(2018 湖北重点高中协作体期中 )已知直线 l,m,平面 ,且 l,m,下列命题: lm; lm; lm ; lm ,其中正确的序号是( )A. B.C. D.答案 B解析 l, l ,而 m,所以 lm, 对;l,m, 时,l,m 位置关系不定;l,lmm,而 m,所以 , 对;l,m,lm 时, 位置关系不定.
16、故选 B.3.(2018 广西南宁期末)设 l,m,n 表示不同的直线, , 表示不同的平面,给出下列四个命题: 若 ml,且 m,则 l; 若 ,m,n,则 mn; 若 ,则 ; 如果mn,m ,n ,则 .则错误的命题个数为( )A.4 B.3 C.2 D.1答案 B解析 若 ml,且 m,则 l 是正确的,垂直于同一个平面的直线互相平行; 若 ,m,n,则 mn 是错误的,当 m 和 n 平行时,也可能满足前边的条件; 若 , ,则 ,不对,垂直于同一个平面的两个平面可以是交叉的; 如果 mn,m,n ,则 是错误的,平面 和 能相交.故答案为 B.4.(2018 广东汕头期末)如图,在
17、三棱锥 A-BCD 中,AC AB,BCBD ,平面 ABC平面 BCD. ACBD; ADBC; 平面 ABC平面 ABD; 平面 ACD平面 ABD.以上结论中正确的个数有( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 平面 ABC平面 BCD,平面 ABC平面 BCD=BC,BCBD , BD平面 ABC,又 AC平面 ABC, BDAC,故 正确. BD平面 ABD, 平面 ABD平面 ABC,故 正确. ACAB,BD AC,ABBD=B, AC平面 ABD,又 AC平面 ACD, 平面 ACD平面 ABD,故 正确.综上 正确,故选 C.5.(2018 东北三省三校二模)设 m,
18、n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.若 ,m ,则 mB.若 m,n,则 mnC.若 =m,n ,n,则 mnD.若 ,且 =m,点 A ,直线 ABm,则 AB答案 C解析 若 ,m,则 m 或 m,故 A 错误;若 m,n ,则 m,n 无交点,即平行或异面,故B 错误; 若 =m,n ,n ,过 n 作平面与 , 分别交于直线 s,t,则 sn,t n,所以 st,再根据线面平行判定定理得 s,因为 =m,s,所以 sm ,即 mn,故 C 正确; 若 ,且=m,点 A,直线 ABm,当 B 在平面 内时才有 AB,故选 C.6.(2018 辽宁抚顺一
19、模)给出下列四个命题: 如果平面 外一条直线 a 与平面 内一条直线 b 平行,那么 a; 过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直; 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直; 若两个相交平面都垂直于第三个平面,则这两个平面的交线垂直于第三个平面.其中真命题的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 对于 ,根据线面平行的判定定理,如果平面外一条直线 a 与平面 内一条直线 b 平行,那么 a,故正确;对于 ,因为垂直同一平面的两直线平行,所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直,故正确;对于 ,平面内无数条直线均为平行线时,不能得出直线与这
20、个平面垂直,故不正确;对于 ,因为两个相交平面都垂直于第三个平面,所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面,可得这两条直线平行,则其中一条直线平行于另一条直线所在的面,可得这条直线平行这两个相交平面的交线,从而交线垂直于第三个平面,故正确.故选C.7.(2018 广东茂名第一次综合测试 )如图所示为一正方体的平面展开图 ,在这个正方体中,有下列四个命题: AFGC; BD 与 GC 成异面直线且夹角为 60; BDMN; BG 与平面 ABCD 所成的角为 45.其中正确的个数是( )A.1 B.2C.3 D.4答案 B解析将平面展开图还原成正方体(如图所示) .对于 ,由图形知 AF 与 GC 异面垂直,故 正确;对于 ,BD 与 GC 显然成异面直线 .连接 EB,ED,则 BMGC,所以MBD 即为异面直线BD 与 GC 所成的角(或其补角) .在等边BDM 中,MBD= 60,所以异面直线 BD 与 GC 所成的角为 60,故 正确;对于 ,BD 与 MN 为异面垂直 ,故 错误;对于 ,由题意得 GD平面 ABCD,所以GBD 是 BG 与平面 ABCD 所成的角.但在 RtBDG 中 ,GBD 不等于 45,故 错误.综上可得 正确.故选 B.
