1、目 录 第一部分 名校考研真题 . 4 第 1 章 多项式 . 4 第 2 章 行列式 . 8 第 3 章 线性方程组 . 14 第 4 章 矩阵 . 19 第 5 章 二次型 . 25 第二部分 课后习题 . 33 第 1 章 多项式 . 33 第 2 章 行列式 . 52 第 3 章 线性方程组 . 73 第 4 章 矩阵 . 101 第 5 章 二次型 . 125 第三部分 章节题库 . 156 第 1 章 多项式 . 156 第 2 章 行列式 . 161 第 3 章 线性方程组 . 212 第 4 章 矩阵 . 253 第 5 章 二次型 . 278 第四部分 模拟试题 . 307
2、北京大学数学系高等代数（第 3 版）配套模拟试题及详解 . 307 第一部分 名校考研 真题 第 1 章 多项式 一、判断题 1 设 Q 是有理数域，则 P i|， Q也是数域，其中 1i （ ） 南京大学 研 【答案】 对 【解析】 首先 0， 1 P，故 P 非空；其次令 a 1 1i， b 2 2i 其中 1， 2， 1， 2 为有理数，故 a b（ 1 1i） （ 2 2i）（ 1 2）（ 1 2） i P ab（ 1 1i）（ 2 2i）（ 12 12）（ 12 21） i P 又令 c 3 3i， d 4 4i， 其中 3， 4， 3， 4 为有理数且 d 0，即 4 0， 4 0
3、，有 3 3 4 43 4 3 4 3 4 3 42244() ( )/ ( )( i)iicdP 综上所述得 P 为数域 2 设 f（ x） 是数域 P 上的多项式， a P，如果 a 是 f（ x） 的三阶导数 f（ x） 的 k 重根 （ k 1） 并且 f（ a） 0，则 a 是 f（ x） 的 k 3 重根 （ ） 南京大学 研 【答案】 错 【解析】 反例是 f（ x）（ x a） k 3（ x a） 2，这里 f（ a） 0，并且 f（ x） （ k 3）（ k 2）（ k 1）（ x a） k 满足 a 是 f（ x）的三阶导数 f（ x） 的 k 重根 （ k 1） 3 设
4、f（ x） x4 4x 3，则 f（ x）在有理数域上不可约 （ ） 南京大学 研 【答案】 对 【解析】 令 x y 1，则 f（ y） y4 4y3 6y2 8y 2，故由艾森斯坦因 判别法知，它在有理数域上不可约 二、计算题 1 f（ x） x3 6x2 3px 8，试确定 p 的值，使 f（ x）有重根，并求其根 清华大学 研 解： f（ x） 3（ x2 4x p） 且（ f（ x）， f（ x） 1，则 （ 1） 当 p 4 时，有（ f（ x）， f（ x） x2 4x 4 所以 x 2 是 f（ x）的三重因式，即 f（ x）（ x 2） 3，这时 f（ x）的三个根为 2，
5、2， 2 （ 2） 若 p 4，则继续辗转相除，即 当 p 5 时，有 （ f（ x）， f（ x） x 1 即 x 1 是 f（ x）的二重因式，再用（ x 1） 2 除 f（ x）得商式 x 8故 f（ x） x3 bx2 15x 8（ x 1） 2（ x 8） 这时 f（ x）的三个根为 1， 1， 8 2 假设 f1（ x）与 f2（ x） 为次数不超过 3 的首项系数为 1 的 互异多项式，且 x4 x2 1 整除 f1（ x3） x4f2（ x3） ，试求 f1（ x）与 f2（ x） 的最大公因式 上海交通大学 研 解： 设 6 次单位根分别为 22c o s s i n , 0
6、 , 1 , 2 , , 566k kkik 由于 x6 1（ x2） 3 1（ x2 1）（ x4 x2 1） ，所以 1， 2， 4， 5 是 x4 x2 1 的 4 个根 . 由于 13 53 1， 且 x4 x2 1 f1（ x3） x4f2（ x3） ，所以，分别将 1， 5 代入 f1（ x3） x4f2（ x3） 可得 1 1 21 5 21 1 01 1 0ff 从而 f1（ 1） f2（ 1） 0 即 x 1 是 f1（ x）与 f2（ x） 的一个公因式 同理，将 2， 4 代入 f1（ x3） x4f2（ x3） 可得 f1（ 1） f2（ 1） 0，即 x 1 是 f1
7、（ x）与 f2（ x） 的一个公因式 所以 （ x 1）（ x 1）是 f1（ x）与 f2（ x） 的一个公因式 又因为 f1（ x）， f2（ x） 为次数不超过 3 的首项系数为 1 的 互 异多项式，所以 （ f（ x）， g（ x） x2 1 三、证明题 1设不可约的有理分数 p/q 是整系数多项式 f（ x） a0 xn a1xn 1 an 1x an 的根，证明： q a0， pan华中科技大学 研 证明： 因为 p/q 是 f（ x）的根，所以 （ x p/q） f（ x） ，从而（ qx p） f（ x） 又因为 p， q 互素，所以qx p 是本原多项式 即多项式的系数没
8、有异于 l 的公因子 ，且 f（ x）（ qx p）（ bn 1xn 1 b0， bi z 比较两边系数，得 a0 qbn 1， an pb0q a0， p an 2设 f（ x）和 g（ x） 是数域 P 上两个一元多项式， k 为给定的正 整数求证： f（ x） g（ x） 的充要条件是 fk（ x） gk（ x） 浙江大学 研 证明： （ 1） 先证必要性设 f（ x） g（ x） ，则 g（ x） f（ x） h（ x），其中 h（ x） P（ x），两边 k 次方得gk（ x） fk（ x） hk（ x）， 所以 fk（ x） gk（ x） （ 2） 再证充分性设 fk（ x） gk
9、（ x） （ i）若 f（ x） g（ x） 0，则 f（ x） g（ x） （ ii）若 f（ x）， g（ x）不全为 0，则令 d（ x）（ f（ x）， g（ x），那么 f（ x） d（ x） f1（ x）， g（ x） d（ x） g1（ x），且（ f1（ x）， g1（ x） 1 所以 fk（ x） dk（ x） f1k（ x）， gk（ x） dk（ x） g1k（ x） 因为 fk（ x） gk（ x）， 所以存在 h（ x） Px（ x），使得 gk（ x） fk（ x） h（ x） 所以 dk（ x） g1k（ x） dk（ x） f1k（ x） h（ x） ， 两边消
10、去 dk（ x），得 g1k（ x） f1k（ x） h（ x） 由得 f1（ x） g1k（ x） ， 但 （ f1（ x）， g1（ x） 1，所以 f1（ x） g1k 1（ x） 更多考研资料 v/q:344647 公众号/小程序：顺通考试资料这样继续下去，有 f1（ x） g1（ x），但（ f1（ x）， g1（ x） ） 1 故 fl（ x） c，其中 c 为非零常数 所以 f（ x） d（ x） f1（ x） cd（ x） f（ x） g（ x） 3设 f（ x）， g（ x）都是 Px中的非零多项式，且 g（ x） sm（ x） g1（ x） ，这里 m 1又若 （ s（ x
11、）， g1（ x） 1， s（ x） f（ x）证明：不存在 f1（ x）， r（ x） Px，且 r（ x） 0， （ r（ x） （ s（ x） 使 ) 11 1()( ) ( )( ( ) ( ) ( )mm fxf x r xg x s x s x g x 浙江大学 研 证明： 用反证法，若存在 f1（ x）， r（ x）使式成立，则用 g（ x） 乘 式两端，得 f（ x） r（ x） g1（ x） f1（ x） s（ x） 因为 s（ x） f（ x）， s（ x） f1（ x） s（ x） ，由式有 s（ x） r（ x） g1（ x） 但（ s（ x）， g1（ x） 1，所以
12、 s（ x） r（ x）这与 （ r（ x） （ s（ x） 矛盾 4设 f（ x）是有理数域上 n 次 n 2多项式，并且它在有理数 域上不可约，但知 f（ x） 的一根的倒数也是 f（ x）的根证明： f（ x）每一根的倒数也 是 f（ x） 的根 南开大学 研 证明 ： 设 b 是 f（ x）的一根， 1/b 也是 f（ x） 的根再设 c 是 f（ x）的任一根下证 1/c 也是 f（ x） 的根 令 g（ x） f（ x） /d，其中 d 为 f（ x）的首项系数，不难证明： g（ x） 与 f（ x）有相同 的根，其中 g（ x）是首项系数为 l 的有理系数不可约多项式 设 g（
13、x） xn an 1xn 1 a1x a0，（ a0 0）由于 bn an 1bn 1 a1b a0 0 （ 1/b） n an 1（ 1/b） n 1 a1（ 1/b） a0 0 a0bn a1bn 1 a n 1b 1 0 bn（ a1/a0） bn 1 （ a n 1/a0） b 1/ a0 0 由 g（ x） 不可约及 ， 两式可得 1/a0 a0， ai/a0 an i（ i 1， 2， ， n 1）故 a0 1， ai an i（ i 1， 2， ， n 1） 由式可知，当 f（ c） 0 时，有 f（ c） 0，且 g（ 1/c） 0，从而 f（ 1/c） 0 5.设 f（ x）
14、是复系数一元多项式，对任意整数 n 有 f（ n）都是整数证明 ： f（ x）的系数都是有理数举例说明存在不是整系数的多项式，满足对任意整数 n，有 f（ n）是整数 浙江大学 研 证明： 设 f（ x） g（ x） ih（ x）， g（ x）， h（ x） Rx 由于 n Z， f（ n） g（ n） ih（ n） Z，所以 h（ x） 0 下证 g（ x） Qx事实上，令 g（ x） a0 a1x amxm， am 0， ai R， i 1， 2， ， m 则有 a0 a1 am g（ 1） Z， a0 a12 am2 m g（ 2） Z， a0 a1（ m 1） am（ m 1） m g
15、（ m 1） Z. 记 1 1 11 2 11 2 ( 1 )mmmTm 则有 （ a0， a1， ， am） T（ g（ 1）， g（ 2）， ， g（ m 1） 又显见 T m!（ m 1） ! 2!1! 0，由 式得 （ a0， a1， ， am）（ g（ 1）， g（ 2）， ， g（ m 1） T 1 这里 T 1 是有理数域上的矩阵 ， g（ 1）， g（ 2）， ， g（ m 1） 均为整数，所以 a0， a1， ， am Q 因此 f（ x） g（ x） Qx 取 f（ x） x2/2 1/2，有 f（ x）（ x n）（ x/2 n/2）（ n2 1） /2 可见存在不是整系
16、数的多项式 f（ x），对任一整数 n，有 f（ n）（ n2 1） /2 Z 第 2 章 行列式 一、填空题 设 A*是 3 阶方阵 A 的伴随阵， A 1/2，则 A 1 2A* _ 华东 师范大学研 【答案】 16 【解析】 因为 A A 1 2A* AA 1 2AA* E 2 A E 2E 23，所以 31 22 * 1 6AAA 二、计算题 1计算 n 阶行列式 21 1 2 122 1 2 2212, ( 0 )nnn n na a a a aa a a a aDa a a a a其 中 武汉大学 研 解： 利用行列式的性质，对原 n 阶行列式进行化简，得以下（ n 1）阶行列式
17、11111 2 n21 1 2 122 1 2 22121 2 n11 , 2 , ,2n21211 , 2 , ,1211000100000010 0 00 0 00 0 0( ) ( )iiijnnn n nr a rinnknkaaajnnnnkka a aa a a a aD a a a a aa a a a aa a aaaaaa a aaa 2 计算 n 阶行列式 0 1 11 1 2 22 2 3 322 1 1110 0 0 00 0 00 0 00 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0nnn n nn n na a aa a a aa a a aDaa a aa a a
18、 上海 交通大学研 解： 将 Dn 按第 n 列拆分得 0 1 11 1 2 22 2 32 1 1110 1 11 1 2 22221100nn n nn n nnnnnna a aa a a aa a aDa a aa a aa a aa a a aaaaaaa 对如上第一个行列式 ri 1 ri（ i n， n 1， ， 2） ，第 2 个行列式按第 n 列展开得 01112110 1 1 0 1 2 1 20 1 1 0 1 2 1 20 1 1 0 1 2 0 1 2 4 1 3 2()n n nnnnn n n n nn n n n n nn n n n n naaaD a Daa
19、aa a a a a a a a Da a a a a a a a a Da a a a a a a a a a a a a a a D 又 D2 a0a1 a0a2 a1a2，故 Dn a0a1 an 1 a0a1 an 2an a1a2a3 an 3 设1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1A ，又 Aij 为 A 中的 （ i， j） 元素在 A 中的代数余子式，试 求 4,1ijijA 南开大学 研 解： 解法 1： 因为 1 1 1 11 1 1 1 16 01 1 1 11 1 1 1A 所以 A 可逆 又 11 1 1 14 4 4 41 1 1 14 4 4
20、41 1 1 14 4 4 41 1 1 14 4 4 4A 所以 *14 4 4 44 4 4 44 4 4 44 4 4 4A A A 即 , 1 , 2 , 3, 44 ,4,ij ijA ij ij 从而 4,132ijijA 解法 2： 同解法 1， A 16，又因为 4,12 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1ijijA 所以 4,11 6 1 6 ijijA 从而 4,1=32ijijA 4计算 n 阶行列式 111nxyzxD
21、yzx 其中 x yz 武汉大学 研 解： 按第 1 行展开得 1 2 1 221 1 2 2 12( 1 ) ( 1 )( ) ( )1( 1 )1n n n n nnn n n nnnD x D y zD x D x DD D x D D x D Dxyxxzxx 由式得 Dn Dn 1 xn（ Dn 2 xn 1） xn （ D2 x3） x4 xn 1 xn 1 x x2 xn 1xn。 三、证明题 若 n 阶方阵 A 与 B 只是第 j 列不 同，试证 21 n A B A B 北京航空航天大学 、 华中师范大学 研 证明： 设 11 1 11nn n nna x aAa x a 1
22、1 1 11Bnn n nna y aa y a 则 11 1 1 112222nn n n nna x y aABa x y a 于是 1 1 1 1 1111()| | 2()2 ( | | | |)nnn n n n nna x y aABa x y aAB 所以 A B 21 n A B 第 3 章 线性方程组 一、计算题 1设 1 1 12 2 20 3 2A a ba a b 133B 123xxxx 试就 a， b 的各种取值情况，讨论非齐次方程组 AX B 的解，如有解，并求出解 清华大学 研 解 ： 因为系数行列式 A a（ a b），所以 （ 1） 当 a 0，且 b a
23、时，方程组有唯一解 x1（ a 1） /a， x2 1/a， x3 0 （ 2） 当 a 0 时，原方程组无解 （ 3） 当 a b 0 时，原方程组有无穷多解，其通解为 12311axaxkaxk 其中 k 为任意常数 2设 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 42 3 02 6 4 13 2 7 162x x x xx x x xx x p x xx x x x t 试讨论 p， t 取什么值时，方程组有解或无解，并在有解时，求其全部解 清华大学 研 解： 计算如下 1 1 2 3 0 1 0 4 1 12 1 6 4 1 0 1 2 2 13 2 7 1 0 0 8 0
24、 01 1 6 1 2 0 0 0 0 2pptt （ 1）当 t 2 时，原方程组无解 （ 2）当 t 2 时 当 p 8 时，原方程组有无穷多个解，其通解为 1 1 22 1 23142141 2 2x k kx k kxkxk 其中 k1， k2 为任意常数 当 p 8 时，原方程组也有无穷多个解，其通解为 12341120 xkxkxxk 其中 k 为任意常数 3设向量 1 1， 2， 0， 4， 2（ 5， 0， 3， 1）， 3（ 3， 1， 4， 2）， 4（ 2， 4， 5， 9）， 5（ 1， 3， 1， 7） （ 1）求向量组 1， 2， 3， 4， 5 的秩； （ 2）求
25、向量组 1， 2， 3， 4， 5 的一个极大线性无关组； （ 3）将向量组 1， 2， 3， 4， 5 中其余向量表为极大线性无关组的线性组合 南京大学 研 解 ： （ 1）将 1， 2， 3， 4， 5 按行排成 5 4 矩阵，并对其作初等行变换，有 1 2 0 4 1 2 0 45 0 3 1 0 5 1 1 13 1 4 2 0 0 5 12 4 5 9 0 0 0 01 3 1 7 0 0 0 0 故向量组 1， 2， 3， 4， 5 的秩为 3 （ 2）由上述得知 1， 2， 5 为向量组 1， 2， 3， 4， 5 的极大线性无关组 （ 3）由初等变换过程易知： 3 1 2 5，
26、 4 1 2 25 4 把实数域 R 看成有理数域 Q 上的线性空间， b p3q2r，这里的 P， q， r Q 是互不相同的素数判断向量组 211, , , ,nnnn b b b 是否线性相关 ？说明理由 北京大学 研 解 ： 向量组 211, , , ,nnnn b b b 是线性无关的，可用数学归纳法证之 当 n 1 时，结论显然成立；假设结论对于 n 1 成立，下证对于 n 结论也正确 为此，设有 k1， k2， k3， ， kn， k Q，使得 211 2 310nn nn nk k b k b k b 若 kn 0，则有 1 2 231121n n nnnn nn n n nk
27、kkkb b b bk k k k 这是不可能的 若 kn 0，则有 221 2 3 110nn nn nk k b k b k b 根据归纳假设，知 k1 k2 kn 1 0 故向量组 211, , , ,nnnn b b b 是线性无关的这就证得：对于任意正整数 n，结论均成立 5设 A， B 是数域 K 上的 n 阶方阵， X 是未知量 x1， x2， xn 所构成的 n 1 矩阵已知齐次线性方程组AX 0 和 BX 0 分别有 l， m 个线性无关的解向量，这里 l 0， m 0证明： （ 1）方程组 ABX 0 至少有 maxl， m个线性无关的解向量； （ 2）如果 l m n，那
28、么（ A B） X 0 必有非零解； （ 3）如果 AX 0 和 BX 0 无公共的非零解向量，且 l m n，那么 Kn 中任一向量 都可唯一地表示成 ，这里 ， 分别是 AX 0 和 BX 0 的解向量 武汉大学 研 解 ： （ 1）由题设， l n rank（ A）， m n rank（ B），而 rank（ AB） min（ rank A， rank B，所以另一方面，方程组 ABx 0 有 n rank（ AB） 个线性无关的解向量 故所证结论成立 （ 2）因 l m n，所以 rank（ A B） rank（ A） rank（ B） （ n l） （ n m） n，因此齐次方程组
29、（ A B） X 0 必有非零解 （ 3）设 AX 0 和 BX 0 的解空间分别为 V1 和 V2，则 dimV1 l， dimV2 m据题设， V1 V2 0 ，所以 V1 与 V2 的和是直和，故 dim（ V1 V2） dimV1 dimV2 l m n dimKn 又 dim（ V1 V2） dimKn，所以 dim（ V1 V2） dimKn从而有 Kn V1 V2 所证结论成立 6解方程组 12111 221 3 2 1111 2 2 22222nnnnnnnn n nx x xx C x C xx C x C xx C x C x 上海 交通大学研 解： 利用 111r r r
30、n n nC C C 可得方程组系数行列式 1 1 1232 2 23 4 11 1 11 2 21 1 11 2 12 2 21 231 1 11 2 11 1 11 2 12221111 1 1 11111 1 1 100, , , 3 , 201 1 1 1000 100 0 0nnn n nn n nnii nn n nn n nnnnnC C CD C C CC C CC C Cr r i n C C CC C CC C CCCC 由克莱姆法则知，原方程组有唯一解又显见方程组常数项组成的列（ 2， 2， ， 2） 换系数行列式 D 的第：列得： D1 2D， Di 0（ i 2， ，
31、 n） ， 故方程组解为（ 2， 0， ， 0） 7设 是复数域 C 上的本原 n 次单位根（即 n 1，而当 0 l n 时 l 1）， s， b 都是正整数，而且 s n，令 ( 1 ) ( 1 )2 ( 1 )1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 2 ( 1 )111n b sb b n bb b n bb s b sA 任取 Cs 判断线性方程组 AX 有无解，有多少解，写出理由 北京大学研 解： A 是一个 s n 矩阵，其前 s 列组成的子式 ( 1 )1 ( 1 ) ( 1 )11 ( 1 ) ( 1 )111b s bb s bb s s b sA 为一范德蒙行列式 因
32、 s n，所以 b， b 1， b s 1 互不相同，从而 A1 0这样立知 r（ A） s所以对方程组 AX 有 r（ A） r（ A ） s n，说明对 ， AX 有无穷多解 二、证明题 1 设 向量组 1， 2， 3 线性无关，向量组 2， 3， 4 线性相关，试证： 1 不能由 2， 3， 4 线性表示 同济大学 研 证明： 用反证法，若 1 可以由 2， 3， 4 线性表示，即 1 k22 k33 k44 则 k4 0 否则若 k4 0则由知 1， 2， 3 线性相关，矛盾 由 可解得 324 1 2 34 4 41 kkk k k 再由 2， 3， 4 线性相关，存在不全为零的秩
33、l2， l3， l4 使 l22 l33 l44 0 类似可证 l4 0否则 2， 3 线性相关，这与 1， 2， 3 线性无关矛盾 由解得 233222 3 1 34 4 4 40lllll l l l 但 1， 2， 3 线性无关，表示法唯一，由，可得 1/k4 0，矛盾，即证 1 不能由 2， 3， 4 线性表示 2已知 m 个向量 1， 2， ， m线性相关，但其中任意 m 1 个都线性无关，证明： （ 1） 如果等式 k11 k22 kmm 0，则这些 k1， k2， ， km或者全为 0，或者 全不为 0； （ 2） 如果存在两个等式 k11 k22 kmm 0 l11 l22 l
34、mm 0 其中 l1 0则 k1/l1 k2/l2 km/lm 清华大学 研 证明： （ 1） 若 k1 k2 km 0，则证毕否则总有一个 k 不等于 0，不失一般设 k1 0 那么其余的 ki 都不能等于 0，否则有 ki 0即 0jjjik ， 其中 k1 0，这与任意 m 1 个都线性无关的假设矛盾，从而得证 k1， k2， ， km全不为 0 （ 2） 由于 l1 0，由上面 （ 1） 知， l1， l2， ， lm全不为 0 再看 k 如果 k1 km 0则式成立若k1， ， km全不为 0，则由 l1 k1 得 （ l1l2 k1k2） 1（ l1k3 k1l3） 3 （ llk
35、m kllm） m 0 所以 0 l1k2 k1l2 l1km lmkmk1/l1 k2/l2 km/lm 第 4 章 矩阵 一、判断题 1设 A， B 均为 n 阶方阵，若 AB 0，则 A 0 或 B 0 （ ） 上海机械学院 研 【答案】 对 【解析】 比如 10A00 ， 00B=01， 则 AB 0，但 A 0 且 B 0 2设 A， B 均为 n 阶方阵， （ A B） 2 A2 2AB B2 （ ） 上海机械学院 研 【答案】 错 【解析】 比如 11A=01， 11B=10，则 2 226 6 7 5A + B = = A + 2 A B + B3 3 3 2 3设 A， B
36、均为 n 阶方阵， （ AB） AB （ ） 上海机械学院 研 【答案】 错 【解析】 一般应为 （ AB） BA 4设 A， B 均为 n 阶方阵， （ AB） 1 B 1A 1（当 A 0， B 0 时） （ ） 上海机械学院 研 【答案】 对 【解析】 （ AB）（ B 1A 1） E 5设 A， B 均为 n 阶方阵， kA k A，（ k 为常数） （ ） 上海机械学院 研 【答案】 错 【解析】 比如 A E2， k 2，则 kA 8， k A 2 kA kn A，一般应为 kA kn A，其中 A 为 n 阶方阵 二、计算题 设 A 为数域 F 上的 m n 矩阵，其秩为 r，试
37、求满足下式的所有矩阵 X（给出公式）： AXA A 清华大学研 解： 因为 r（ A） r，所以存在 m 阶可逆矩阵 P， n 阶可逆矩阵 Q，使 rEOA P QOO 首先，如 AXA A，即 r r rE O E O E OP Q X P Q P QO O O O O O 则有 ()r r rE O E O E OQ X PO O O O O O 令nmBCQ XPDF ，这里 B 为 r 阶方阵 则式 等价于 rB O E OO O O O 则 B Er 所以 11rECX Q PDF 其次，由式 ，直接验证可知 11r r rrE O E C E OA X A P Q Q P P QO
38、 O D F O OEOP Q AOO 所以，满足 AXA A 的所有解为 11rECX Q PDF 三、证明题 1 设 A 为 n 阶方阵，证明：（ A*） * A n 2A， n 2 浙江大学 研 证明： 当 A 0 时，有 A* A n 1 0， 而 A*（ A*） * A* E， 所以 112( ) | | ( ) | |nnAA A A AAAA 当丨 A 丨 0 时，有 r（ A） n 1： r（ A） n 1 时， A* 0，从而（ A*） * 0，显然有 （ A*） * A n 2A； r（ A） n 1 时，有 r（ A*） 1，结合 n 2 时知（ A*） * 0，故仍有
39、（ A*） * A n 2A 2设 A 为非零矩阵，但不必为方阵，证明 AX E 有解当且 仅当 CA 0 必有 C 0，其中 E 为单位矩阵 上海交 通 大 学研 证明： 设 A 为 m n 矩阵 ，则如果 AX E 有解 Bn m，即 AB Em，有 m r（ A） r（ Em） m，所以 r（ A） m 又 CA 0，所以有 r（ A） r（ C） m，从而可得 r（ C） 0，即 C 0 如果 r（ An m） m，则线性方程组 AXm 1 有非零解，任取一个非零解 X1，令 C（ X1， 0， 0） m 1，则有 C 0，且 AC 0，即 CA 0，矛盾 ，所以 r（ An m） m
40、 由此可知 A 存在可 逆矩阵，即 AX E 有解 3 设 A、 B 都是 n 阶方阵， E 为 n 阶单位矩阵 证明： ABA B 1 的充要条件是 r（ E AB） r（ E AB） n 厦门大学 研 证明 ：由 ABA B 1 得（ AB） 2 E，所以有： E （ AB） 2（ E AB）（ E AB） 0 故 r（ E AB） r（ E AB） n（ 1） 又 n r（ 2E） r（ E AB）（ E AB） r（ E AB） r（ E AB） （ 2） 结合式 （ 1）、式（ 2）可得 ： r（ E AB） r（ E AB） n 如果 r（ E AB） r（ E AB） n，则有
41、E A B OrnO E A B 又由 22221 ( ) 221 ( ) 2E AB O E AB E ABO E AB O E ABE E ABE E ABE AB E AB O E ABEOO E AB 知 21( 2 ) ( ) 2r E r E A B n 所以 21 ( ) 2 E AB O 因此有（ AB） 2 E 即 ABA B 1 4求证： A UV A VA U 其中 A 为 n 阶矩阵， U， V 为 n 维列向量 浙江大学 研 证明： 设 A（ aij） m n， U（ u1， ， un） ， V（ V1， ， Vn） 则 1 1 1 1 1 2 1 2 1 11 1
42、2 2|nnn n n n n n n na u V a u V a u VA U Va u V a u V a u V 这时，将式右端拆成 2m 个 n 阶行列式之和，但其中有许多行列式等于 0（ 比如 有两列都取 uiVi 时 ） ，因此 11 1 1 1 12 11 1 1 211 1 2 1 11 1 , 1 11 1 2 1 , 11 1 11 1 1 1 2 12 2 211| | ( ) ( )()|nnn nn n nnn n nn nn n n n n nn n n nn n n n nna a u V a aA U Va a u V a aa u V a a a u Va
43、u V a a a u VA u V A u V A u V A u V Au V A u V AA V A U 5设 A（ aij） 为 n n 实矩阵，已知 aij 0（ i 1， 2， ， n）， aij 0（ i j， i， j 1， 2， ， n） 且 10 ( 1 , 2 , , )n ijja i n 证明秩 A n 1 北京大学 研 证明： 把所有各列都加到第一列上去，并注意到式，那么 A 0， 秩 A n 1 其次，考虑 a11 的代数余子式 2 2 2112nn n naaAaa 因为ii ijjiaa，所以 , ( 1 , 2 , )ii ijjia a i n 故在行列
44、式中满足： aij ai2 ai3 ai， i 1 ain（ i 1， 2， ， n） 即主对角严格占优，所以 A11 0 即秩 A n 1， 从而秩 A n 1 6设 A1， A2， Ak 是 k 个实对称方阵， 1 k n， 而且 A1 A2 Ak E， 证明下述二条件等价： （ 1） A1， A2， Ak 都是幂等方阵； （ 2） 秩 A1 秩 A2 秩 Ak n 中国科技大学 研 证明： 先证 （ 1） （ 2） ； 因为 Ai2 Ai秩 Ai trAi（ i 1， 2， ， k），所以 1 1 1n k kiii i ii tr A tr A t E nA r 秩 再证 （ 2） （
45、 1） 设秩 Ai ri（ i 1， 2， ， k）， 再令： B A1 Ai 1 Ai 1 Ak 由于 Ai 是实对称阵， 所以 存在正交阵 T，使 100iriA T T 但 1110000iirirE A B T T BT B T 其中 B1 TBT， 再用 T左乘， T 右乘 式两边，得 1111001111iirrBEB 所以秩 B 秩 B1 n r 另一方面 秩 B 秩 （ A1 Ai 1 Ai 1 Ak） 秩 A1 秩 Ai 1秩 Ai 1 秩 Ai n r， 从而秩 B 秩 B1 n ri 由式得 111 1 0 1 1iirr 将它们代入式得 21100i i iA T T
46、A A 由 i 的任意性，即证 A1 都是幂等阵 7设 A 是 s n 实矩阵，求证： 秩 （ En AA） 秩（ Es AA） n s复旦大学 研 证明： 因为 0000s s s sn n n nE A E A E E A AE A E A E E 所以 0 ()0ss snnE A E A A E A A nA E E 秩 秩 又因为 0000s s s sn n n nE E A E A EA E A E E E A A 所以 ( ) ( )s s n nnEA E E A A s E A AAE 秩 秩 秩 秩 由可解得： 秩（ Es AA） 秩（ Es AA） n s 8 设 A
47、是秩为 r 的 n 阶方阵 证明： A2 A 的充要条件是存在秩为 r 的 r n 矩阵 B 和秩为 r 的 n r 矩阵 C，使得 A CB，而且 BC E 浙江大学 研 证明： 先证充分性 设 A CB，其中 C， B 分别为 n r 和 r n 矩阵，且 BC Er 则 A2 （ CB）（ CB） C（ BC） B CB A 再证必要性 因为 A2 A 所以 A 可对角化，且其特征值只能是 0 和 1 于是存在 可逆阵 T，使 110 00 0 0rr rEEA T T T E T C B 其中 1 00 ， r rEC T B E T 那么 C 是 n r 矩阵， B 是 r n 矩阵
48、， 秩 C 秩 B r， 且 10 0 rrrEB C E T T E 第 5 章 二次型 一、填空题 设 A 是 n 阶实可逆矩阵，则 OAAO的正惯性指数是 _，符号差是 _ 厦门大学 研 【答案】 n； 0 【解析】 取1112EEP AA ，则 P 为可逆矩阵，且 O A E OPPA O O E 可见 OAAO的正、负惯性指数均为 n，符号差为 0 二、计算题 1设 n 阶实方阵 A 如下，试求 b 的取值范围使 A 为正定 方阵 8 3 33 1 113 1 1bbAb 清华大学 研 解： 记 （ 3， 1， ， 1） ， Ak 为 A 的 k 阶顺序主子式，则 kk111131|
49、 | de t ( b 1 ) E ( 3 , 1 , , 1 )1de t( ( b 1 ) E( b 1 ) ( ( b 1 ) E( b 1 ) ( 1 9 1 )= ( b 1 ) ( 7 )kkkkAbkbk 由于 A 正定的充要条件是 Ak 0（ k 1， 2， ， n） ，所以， A 为正定矩阵的充 要条件是 1( 7) , 1 , 2 , ,bb k k n 即 b 1 2设 3201A （ 1） 求 A 1； （ 2） 求非奇异矩阵 P，使 P 1AP 成为对角阵； （ 3） 求非奇异矩阵 R 使 R（ AA） R 为对角阵 复旦大学 研 解： （ 1） 1 1211*033
50、121033AAA （ 2） 计算可得 E A （ 3）（ 1） 所以 A 的特征值为 1 3， 2 1 并可求出相应的线性无关特征向量为 1（ 1， 0） ， 2（ 1， 2） 令12 11( , ) 02P 有 1 3001P AP （ 3） 9665A 作二次型并配方得 f（ x1， x2） 9x12 5x22 12x1x2（ 3x1 2x2） 2 x22 令 11223201yx 则 f（ x1， x2） y12 y22且退化线性替换为 1122xyR 其中 13 2 1 210 1 0 33R 故 10() 01R A A R 3用正交变换，将二次曲面 2x12 5x22 5x32
