1、第 十 五 讲 第 二 十 五 讲 . Einstein-Podolsky-Rosen佯谬和Bell 不等式 不等式 (1) Einstein-Podolsky-Rosen佯谬 ( ) y 爱因斯坦，帕多尔斯基和罗森认为：两个 粒子构成 个量子力学态 对 个粒子的测量 粒子构成一个量子力学态。对一个粒子的测量 将直接得知另一个粒子的状态。 将 接得知另 个粒子的状态例： 2 1 2 1 x x x , x 该态在动量表象中的表示为 2 1 2 1 p p p , p 爱因斯坦等认为，当测量第一个粒子的坐标， 测得值为 则第二个粒子的坐标必为 0 x 0 x 测得值为 ，则第二个粒子的坐标必为
2、； 测量第二个粒子的动量，测得值为 ，那第一 0 x 0 x 0 p 个粒子的动量必为 。所以， 0 p都是物理实在（即都有确定值），且 坐标和动量可同时具有确定值 i i p , x 坐标和动量可同时具有确定值。 这与两个自旋为 的粒子处于自旋 2 1 0 S 的态是等价的。 考虑两个自旋为 的粒子处于自旋单态 。 2 1 考虑两个自旋为 的粒子处于自旋单态。 在初始时，它们在一起，而后分开很大的距离， 2 1 在初始时，它们在 起，而后分开很大的距离， 但仍处于自旋单态。一旦测量第一个粒子的自 旋 那直接允许我们去推断第 个粒子的自旋 旋，那直接允许我们去推断第二个粒子的自旋， 它始终与第
3、一个粒子的自旋相反。 它始终与第 个粒子的自旋相反。量子力学否认这些假设，认为即使两个粒 子离开很远 对第 个粒子的测量将影响第二 子离开很远，对第一个粒子的测量将影响第二 个粒子的状态；另外，粒子本身并没有这种实 身实 在性（即粒子的所有物理量都有确定值）。 （2） ii （2） Bell Inqualities 两个自旋为 的粒子系统处于自旋单态 2 1 两个自旋为 的粒子系统处于自旋单态 1 z ) , , ( 2 1 0 , 0 ) ( 1 n ) , , ( 2 1 这是一个纠缠态。显然，在这个态中，测 量第一个粒子（在 方向）得到某一结果，则 知道第二个粒子随之测量（在 方向）的结
4、果。 z z 知道第二个粒子随之测量（在 方向）的结果。 现考虑对它们的自旋沿不同方向进行相继测 量 第 个粒子沿 方向测量 第 个粒子沿 z 量。第一个粒子沿 方向测量，第二个粒子沿 方向 测量。它们的测量结果都为 。 a b 1 如 ， 方向相同，则平均值为 。 如 方向相不同 这 相关联测 a b 1 b 如 ， 方向相不同，这一相关联测 量的平均值为 a b 0 , 0 b a 0 , 0 ) b , a ( C 2 1 0 , 0 b a 0 , 0 ) b , a ( C 2 1 ) b ( 不失 般性 假设 在 方向 cos ) b a ( 证： 不失一般性，假设 在 方向， 在
5、 平面 a z b xz 在 平面1 2 1 2 1 2 1 b z b z ( ) b , a ( C ) b z b z 2 1 2 1 令 与 轴间的夹角为 ，则 b z 令 与 轴间的夹角为 ，则 cos sin ( 1 ) b a ( C 2 2 cos sin ( 2 ) b , a ( C 2 z 2 x) cos sin ) cos sin 2 z 2 x A 对两个处于自旋单态的粒子 在三个 cos A. 对两个处于自旋单态的粒子，在三个 不同方向测量它们的自旋。 不同方向测量它们的自旋。 根据定域隐变量理论，它们的关联测量平 均值的关系为 均值的关系为 1 ) b ( C
6、) ( C ) b ( C 1 ) c , b ( C ) c , a ( C ) b , a ( C 这称为Bl l 不等式 这称为Bell不等式。 而对这一关联测量平均值的关系，量子 力学的预言为 ) c b cos( ) c a cos( ) b a cos( ) c , b ( C ) c , a ( C ) b , a ( C 若在测量时 取 个方向共面 b 若在测量时，取 三个方向共面， 且 c , b , a 且b a , b a , 2 c a c b 于是 cos 2 cos cos ) c , b ( C ) c , a ( C ) b , a ( C 实验结果与量子力学的
7、预言符合。 。B. 对两个处于自旋单态的粒子，在四个不 同方向测量它们的自旋 同方向测量它们的自旋。 根据定域隐变量理论，它们的关联测量平均 值的关系为 2 ) c , a ( C ) b , a ( C ) c , a ( C ) b , a ( C 这为另一个Bell不等式。而根据量子力学， 的平均值的绝对值 g 而根据量子力学， 的平均值的绝对值 应为 ) c a cos( ) b a cos( ) c a cos( ) b a cos( g 显然，当 共面，并取 , b / a a , c , b , a , b a , , 4 b a c a 2 c a ,这时 这时 2 2 2 2
8、 2 1 g 这与定域隐变量理论所推得的不等式是不 相符合的 相符合的。 若取 共面， a , c , b , a b a c a , b a , c a b 3 c a 则有 , b a 3 c a 则有 3 3 3 3 cos cos 3 3 cos cos cos cos g同样，实验的测量结果是与量子力学的预 言符合 言符合。 实验证实了定域隐变量理论是不正确的。 Einstein-Podolsky-Rosen的假设是不成立的 Einstein-Podolsky-Rosen的假设是不成立的. 全同粒子交换不变性波函数具有确定的 交换对称性 交换对称性 各种微观粒子有一定属性。实验证明每
9、一 种粒子，都是完全相同的（如两个氢原子中的 质子或电子都 样） 经典物理中 我们能按 质子或电子都一样）。经典物理中，我们能按 轨道来区分同一类粒子。 但从量子力学的观点来看，情况就发生变 化 它的描述不能用轨道概念 而只能用波函 化。它的描述不能用轨道概念，而只能用波函 数或根据一些力学量完全集来描述粒子所处状 数或根据 些力学量完全集来描述粒子所处状态。即 个粒子处于态 ； 个粒子处于态 或这些态的叠加态上 但它不可能告 1 n 1 2 n 或这些态的叠加态上。但它不可能告 你，那一个粒子处于 态，那一个粒子处 2 1 你 那 个粒子处于 态 那 个粒子处 于态 。 如 2 如 ) r
10、( ) r ( 2 1 2 1 ) r ( ) r ( 1 2 2 1 对它进行测量是分不清两者的差别。它们每一 2 1 个都不能用于对二个全同粒子的描述。全同粒子交换是不可观测的。 （1）交换不变性 （1）交换不变性 由于体系具有交换不变性， 时经交换后 0 t 具 演化到 ，应等于演化到 再进行交换，即 0 t t ) t , r , r ( P ) t , t ( U ) t , r , r ( P 0 2 1 12 0 2 1 12 由 的任意性 所以 ) t , r , r ( ) t , t ( U P 0 2 1 0 12 由于 的任意性，所以 0 0 P ) t ( U ) t
11、 ( U P 12 12 0 0 P ) , t ( U ) , t ( U P / t ) p , r , p , r ( H i e ) , t ( U 2 2 1 1 0 由于 任意 ) , ( t 于 任意 即 0 H , P 12 即 ) P r P r ( H ) P r P r ( H 1 1 2 2 2 2 1 1 ) P , r , P , r ( H ) P , r , P , r ( H 1 1 2 2 2 2 1 1 P 是运动常数。 若 是 的本征态，则 12 P ) t , r , r ( 2 1 12 P 若 是 的本征态，则 ) t , r , r ( 2 1
12、12) t , r , r ( ) t , r , r ( P 2 1 2 1 12 1 因此，有两种态，一种是交换下不变，称 为对称态 另 种是交换下改号 称为反对称态 为对称态；另一种是交换下改号，称为反对称态 ) t , r , r ( ) t , r , r ( ) t , r , r ( P 2 1 s 1 2 s 2 1 s 12 ) t r r ( ) t r r ( ) t r r ( P 2 1 A 1 2 A 2 1 A 12 ) t , r , r ( ) t , r , r ( ) t , r , r ( P 2 1 1 2 2 1 12 显然 ) t , r , r
13、( ) P 1 ( 1 ) t , r , r ( 2 1 12 2 1 s ) t , r , r ( ) P 1 ( 2 ) t , r , r ( 2 1 12 2 1 1 A ) t , r , r ( ) P 1 ( 2 1 ) t , r , r ( 2 1 12 2 1 A 下面一些结论是重要的： 下面 些结论是重要的： A. 由于是一运动常数，因此一开始体系处于 某种交换对称态下 则以后任何时刻都处 某种交换对称态下，则以后任何时刻都处 于这态下； 于这态下；B. 与其他运动常数根本不同之处在于，体 系称 态 称态 这粒 系要么处对称态，要么处于反对称态。这是粒 子固有的属性，
14、而不是人为地给初条件所能 子固有的属性，而不是人为地给 初条件所能 改变的； C. 实验表明：具有自旋为半整数的粒子体 系。当两粒子交换，波函数反号，即处于反对 系。当两粒子交换，波函数反号，即处于反对 称态；而自旋为整数的粒子，两者交换，波函 数不变，即处于对称态。(2) 全同粒子的波函数结构，泡利原理： 忽略粒子间的相互作用 则全同粒子的哈氏 忽略粒子间的相互作用，则全同粒子的哈氏 量为单粒子哈氏量之和 ) p , r ( ) p , r ( ) p , p , r , r ( H 2 2 1 1 2 1 2 1 显然，对任何一粒子，其哈氏量的形式完全 显然，对任何 粒子，其哈氏量的形式完
15、全 相同 2 2 ) r ( V 2 ) p , r ( h i 2 i i i 单粒子的能量本征方程为 ) ( ) ( ) ( h ) r ( ) r ( ) p , r ( h k k k ) ( ) ( ) ( ) r , r ( Eu ) r , r ( u ) p , p , r , r ( H N 1 N 1 E 2 1 2 1 ) p , r ( h ) , 2 , 1 ( H i i i 它的一个特解为 i ) r ( ) r ( ) r ( ) N , 2 , 1 ( u N 2 1 E N 2 1 N 2 1 E 但它不能作为体系的态函数，因体系真正 的态函数必须满足 定的
16、交换对称性 的态函数必须满足一定的交换对称性。 AN个费米子的波函数，泡利原理 个费米子的波函数 泡利原 由于费米子的波函数交换一对费米子是反 对称的 因此 它可以如此来构成 对称的，因此，它可以如此来构成： 取 作为标准排列。 ) r ( ) r ( ) r ( N 2 1 N 2 1 取 作为标准排列。 是经过某一置换 ) ( ) ( ) ( N 2 1 N 2 1 ) r ( ) r ( ) r ( N N 2 2 1 1 N 2 1 P 来实现 N 2 1 P 由于对换（transposition）一对粒子， 波函数改号 而对某 置换（Pt t i ） 波函数改号。而对某一置换（Per
17、mutation） 它相应的对换数的奇偶性是一定的。因此，置 它相应的对换数的奇偶性是 定的 因此 置 换后的这一项的符号与标准排列项的符号差别 取决于该置换的对换数的奇偶性 取决于该置换的对换数的奇偶性。 如 如 67 12345 23451768 12345678 23451768 67 12 13 14 15 所以有5个对换 其符号为负号 所以有5个对换，其符号为负号。 设一个置换 对应的对换数为 ，则真 P 正的波函数应为 ) r ( ) r ( P 1 A N 1 N 1 ） （ ) ( ) ( N 1 N 1 置换求和 对所有 置换求和这即行列式定义 这即行列式定义 ) ( ) (
18、 ) ( ) r ( ) r ( ) r ( N 2 1 1 1 1 ) r ( ) r ( ) r ( A N 2 1 2 2 2 ) r ( ) r ( ) r ( N 2 1 N N N 例如：对N2 ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( A ) r ( ) r ( A 1 2 2 1 2 1 1 1 ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( A ) r ( ) r ( A 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 可以看出，任意两个粒子变换（即两列交 换） 改号 若 与 态是完全相同的 换） 改号。若 与 态是完全相同的 态，那 。这表明，对两个全同的费米子 1
19、2 0 态，那 。这表明，对两个全同的费米子 不能处于这种态中，于是我们有下面的原理： 0 泡利原理（pauli exclusion principle）： 在客观实际的体系中 没有两个或多个全同费 在客观实际的体系中，没有两个或多个全同费 米子可处于一个完全相同的单态中（或：全同 米子可处于 个完全相同的单态中 或 全同 费米子体系的态中，具有同样量子数的单态不 大于 ） 大于1）。 对于 个粒子，有 项（有 个置换）， N ! N ! N 对于 个粒子，有 项（有 个置换）， 而每一项，费米子处于这 个单态上的分布都 交 ! N N 是不同的，因此各项之间是正交的。 ! N A d d 2
20、 2 ! N A r d r d 2 N 1 2 所以，对于 个无相互作用的全同费米子 体系的归 化反对称波函数为 N 体系的归一化反对称波函数为 ) ( ) ( ) ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( 1 ) ( N 2 1 N 2 1 A 2 2 2 1 1 1 ) r ( ) r ( ) r ( ! N ) r r r ( N 2 1 N 2 1 A 2 2 2 N 2 1 个全 玻色 ) r ( ) r ( ) r ( N 2 1 N N N B 个全同玻色子的波函数 由于玻色子波函数相对两全同玻色子对换是 N 由于玻色子波函数相对两全同玻色子对
21、换是 对称的，即不变号：) r ( ) r ( ) r ( P A ) r r r ( N 2 1 N 2 1 ) r ( ) r ( ) r ( P A ) r r r ( N 2 1 N 2 1 N 2 1 N 2 1 所有置换 由于玻色子不受泡利原理限制，因此处于同 单态上的玻色子可以是任意多个 一单态上的玻色子可以是任意多个。 所以，如果态 中具有相同的 N 2 1 , , 所以，如果态 中具有相同的 有 个；具有相同单态 有 个 具有 相同单态 中的玻色子有 个 N 2 1 , , 1 1 n 2 2 n 相同单态 中的玻色子有 个。 N N n N N n n n N 2 1 E
22、n n n N N 2 2 1 1 于是上述置换虽具有 项，但有些项是相 ! N 同的。 如 个态的 粒子进行置换 所得项是 1 n 如 个态的 粒子进行置换，所得项是 相同的，而这相同项有 ，同理 个态的 1 n 1 ! n 1 2 n 2 粒子进行置换，所得项是相同的，而这相同项有 所以 个玻色子的某 种排列有 2 2 ! N 。所以， 个玻色子的某一种排列有 ! n 2 N ! n ! n ! n N 2 1 个相同项。 N 2 1所以，不同单态交换的排列的数应为 ! N ! n ! n ! n ! N N 2 1 N 2 1 ! N ) ! n ! n ! n ( A r d r d
23、2 N 2 1 2 N 1 2 ! n ! n ! n ) ! n ! n ! n ( A r d r d N 2 1 N 2 1 N 1 ! n ! n ! n ! N 1 ) r r r ( N 2 1 N 2 1 S N 2 1 ! n ! n ! n ! N N 2 1 ) r ( ) r ( ) r ( P N 2 1 ) r ( ) r ( ) r ( P N 2 1 s N 2 1 所有置换) ( ) ( P ) ! ! ! ( 1 ) r ( ) r ( P ) ! n ! n ! n ( ! n ! n ! n ! N N 1 N 2 1 N 2 1 N 1 不同单态间 仅对
24、处于 粒子置换 ! n ! n ! n N 2 1 ) r ( ) r ( P ! N ! n ! n ! n N 1 N 2 1 N 1 不同单态间 例如 有 个在态 个在态 粒子置换 3 N 例如： 有二个在态 ，一个在态 。 3 N 1 2 3 ! 3 ! N 3 ! 0 ! 1 ! 2 ! n ! n ! n N 2 1 所以，有三个不同分布 。 ! 1 ! 2 ) r ( ) r ( ) r ( P ! 3 ! 1 ! 2 3 2 1 S E 2 1 1 不同态 ! 3 间置换 不同态 1 ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( 3 1 1 2 3 3
25、 2 1 2 1 1 2 1 1 ) r ( ) r ( ) r ( 2 3 1 2 1 1 另一种写法： 有 6 项 ! 3 ! N 另 种写法： 有 6 项 ! 3 ! N) r ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( ! 1 ! 2 ! 3 1 3 1 2 3 2 1 s E 2 1 1 2 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ! 1 ! 2 ! 3 3 1 2 3 2 1 E 2 1 1 2 1 1 ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( 1 3 2 1 2 3 ) r ( ) r ( ) r ( ) r (
26、) r ( ) r ( 1 3 2 1 2 3 2 1 1 2 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( 2 1 3 2 3 1 2 1 1 2 1 1 123 123 123 123 123 123 123 213 321 231 132 312) r ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( 1 1 2 3 3 2 1 ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( 3 1 2 3 3 2 1 2 1 1 2 1 1 ) r ( ) r ( ) r ( 2 3
27、 1 ) r ( ) r ( ) r ( 2 3 1 2 1 1 （3）全同粒子的交换不变性的后果 （3）全同粒子的交换不变性的后果 A两全同粒子的波函数 两 同粒子的波函数 若两全同粒子，它们的相互作用是变量可 分离型的 即 分离型的，即 S Sm 2 1 z 2 2 z 1 1 ) r , r ( u ) s , r , s , r ( 可以证明：若粒子自旋为 ，则 在 两粒子自旋交换时的对称性为 若两 s S Sm S s 2 ) 1 ( 两粒子自旋交换时的对称性为 。若两 粒子都处于 态，而总角动量为 ，其交 S s ) 1 ( lm nl Y R L 换对称性为 ，则 应满足 L l
28、 2 ) 1 ( S L Sm Lm u L S 2 L S s 2 ) 1 ( 偶 B 由于全同粒子交换不变性 而使体系可 L S B由于全同粒子交换不变性，而使体系可 能处的状态数目不同. 能状数 目同 例：设有三个粒子处于（不同量子数单态）3 2 1 , , a. 玻色子 玻子 3个处 2个处 各处 10 1 2 3 3 3个处 2个处 各处 同一态 同一态 一个态 同态同态 个态 b. 费米子 1 各处一个态 各处 个态C. 由于全同粒子交换不变性，而使体系的 几率分布不 样 几率分布不一样。 例：2个粒子（无妨设体系的自旋处于对称态） a.玻色子 1 s 3 2 2 1 2 1 s
29、) r ( ) r ( ) r ( ) r ( 2 1 ) r , r ( 2 1 2 1 b. 费米子 s 0 2 2 1 2 1 A ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( 2 1 ) r , r ( 2 1 2 1 2 2 1 2 1在时 ， 0 2 1 r r r 2 2 0 2 0 2 0 0 s ) r ( ) r ( ) r , r ( 2 1 0 0 0 0 2 1 2 A 0 ) r , r ( 2 0 0 A D由于全同粒子交换不变性，在散射时， 散射截面不 样 散射截面不一样。 当两粒子散射时，粒子 散射到处， 1 当两粒子散射时，粒子 散射到处， 即偏转角 的散
30、射几率为 ；粒子 1 1 2 ) ( f 如散射到处，其偏转角为 ，散射几率 为 2 ) ( f 为 a.玻色子（自旋为0） 2 ) ( f 散射几率为 2 2 ) ( f ) ( f （即 ， 分不出。由于， 偶 1 2 0 S L ,为 偶） 如自旋为1，非极化散射几率为 0 S L 如自旋为1，非极化散射几率为2 2 2 ) ( f ) ( f 9 5 ) ( f ) ( f 9 3 ) ( f ) ( f 9 1 9 9 9 ) ( f ) ( f ) ( f ) ( f 3 1 ) ( f ) ( f * * 2 2 b 费米子（自旋 ） ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) (
31、) ( 2 1 b.费米子（自旋 ） 非极化的自旋为 的费米子散射几率 2 1 2 1 2 2 ) ( f ) ( f 4 3 ) ( f ) ( f 4 1 4 4 ) ( f ) ( f ) ( f ) ( f 1 ) ( f ) ( f * * 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) (自旋 ， 自旋 自旋 90 2 1 0 1 2 ) ( f 2 ) ( f 4 2 ) ( f 8 ) 2 ( f ) 2 ( f 4 ) 2 ( f 3 E由于全同粒子交换不变性，使体系所处 的状态结构也不同 元素周期表的规律正是由于电子为费米子 元素周期表的规律正是由于电子为费米子,
32、Pauliexclusion Principle起作用的结果。 p 起作用 结果例：粒子处于一维谐振子势中。单粒子波 函数 ) r ( u 函数 相应能量为 s sm n ) r ( u ) 2 1 n ( E n 对 个玻色子（ ），基态是所有粒 子都处于 态 n N 0 s 0 n 子都处于 态 , 0 n 1 N E 每个粒子平均能量为 2 N E g 每个粒子平均能量为 1 21 但对 个无相互作用的费米子（ ）。 基态是二个处于 二个处于 N 2 1 s 0 n 1 n 基态是二个处于 , 二个处于 , 0 n 1 n 为奇 个处于 N 1 N 1 为奇 个处于 2 N N 2 1
33、为偶 个处于 N 2 2 N 2 N为偶 ) 2 1 2 2 N ( 2 3 2 1 2 E g 2 2 2 2 ) 1 N 1 ( 1 N 1 2 ) 2 2 ( 2 2 2 N 2 4 N为奇 ) 2 1 2 1 N ( ) 2 1 2 3 N ( 2 3 2 1 2 E g ) 2 2 ( ) 2 2 ( 2 2 g N ) 2 N 1 ( 1 3 N 1 2 2 ) 2 2 ( 2 2 2 1 N 2 所以 每个粒子平均能量为 4 所以，每个粒子平均能量为 N 4 N 4第八章 量子力学中的近似方法 我们在这章中，介绍一些常用的近似处理方 法。也就是说，当将量子力学原理用于实际问题 中
34、 我们必须进行 些近似处理 才能得到所要 中，我们必须进行一些近似处理，才能得到所要 的结果，才能将问题解决。 8.1 定态微扰论 本节讨论的是 与 无关 H t设： ，要求其本征值和本征函数 ) P , r ( H H E H 1 0 H H H 其中 很接近 ，且有解析解。而 是小量， 0 0 H H 1 H 其中 很接近 ，且有解析解。而 是小量， 为易于表达其大小的量级，无妨令 0 1 H 1 0 H H ) ( H 0 0 ) ( H H （1）非简并能级的微扰论 的本 值 本 数为 0 0 设： 的本征值和本征函数为 ， 0 H 0 k E 0 k 0 0 0 E H 0 k 0
35、k 0 k 0 E H 0 构成一正交，归一完备组。 现求解 0 k 现求解 k k k E H 即 k k k 1 0 E ) H H ( k k k 1 0 E ) H H ( 求 ， 的步骤是通过逐级逼近来求 精确解 即将 对 展开（即对 k E k E k H 精确解，即将 ， 对 展开（即对 矩阵元展开）。 k E k 1 H 从， ，。 0 k E 0 k k E k 当， 0 即， 0 H 1 0 k k 0 k k E E 非简并微扰论就是处理的那一条能级是非简 并的（或即使有简并 但相应的简并态并不影响 并的（或即使有简并，但相应的简并态并不影响处理的结果）。 们将 我们可将
36、 ) 2 ( 2 ) 1 ( 0 ) ( N ) 2 ( k 2 ) 1 ( k 0 k k ) a a ( N ) 2 ( ik 0 i 2 ) 1 ( ik 0 i 0 k ik i i ik i i k 0 ) i ( 求和号上的撇表示求和不包括 态，即 是与 0 k ) i ( k 正交的 0 正交的 其中 为归一化常数，它随准确到那一级而定 0 k N 其中 为归 化常数 它随准确到那 级而定 代入上式得 2 2 1 0 2 k 2 1 k 0 k k E a E E E ) )( H H ( ) 2 ( k 2 ) 1 ( k 0 k 1 0 ) )( E E E ( ) 2 (
37、k 2 ) 1 ( k 0 k 2 k 2 1 k 0 k 于是有 于是有 0 0 0 0 0 0 k 0 k 0 k 0 E H 1 0 k 1 k ) 1 ( ik i 0 i 0 k 0 k 1 ) 1 ( ik i 0 i 0 E a E H a H i i 2 0 k 2 k ) 1 ( ik 0 i 1 k ) 2 ( ik 0 i 0 k ) 1 ( ik 0 i 1 ) 2 ( ik 0 i 0 E a E a E a H a H k k ik i i k ik i i k ik i i 1 ik i i 0A. 一级微扰近似 0 1 ) 1 ( 0 0 0 ) 1 ( 0 0
38、 k 1 k ) 1 ( ik i 0 i 0 k 0 k 1 ) 1 ( ik i 0 i 0 E a E H a H 以标 积 i i 0 k 0 k 1 0 k 0 k 1 * 0 k 1 k H r d H E 以 （ ）标积 0 i k i ) 1 ( ik 0 k 0 k 1 0 i ) 1 ( ik 0 i a E H a E ik k k 1 i ik i 0 1 0 H 0 0 ik 1 0 0 k 1 i ) 1 ( ik E E ) H ( E E H a 因此 在级 近 似 下 i k i k E E E E 因此，在一级近似下 0 0 0 ) ( 0 k 1 0 0 k kk 1 0 k k H H ) H ( E E ) ( 0 0 ik 1 i 0 i 0 k ) 1 ( k 0 k k E E ) H ( i k i E E (归一化 准至一级) 所以 在 这条能级为非简并时 其能 1 N 0 E 所以，在 这条能级为非简并时，其能 量的一级修正恰等于微扰项 在无微扰状态 0 k E 1 H 0 k 量的 级修正恰等于微扰项 在无微扰状态 的平均值。 1 k 例1 考虑 个粒子在位势 例1：考虑一个粒子在位势 a x x m 1 2 2 1 a x x m 2 ) x ( V 2 2 a x a m 2 1 2 2
