1、1垂径定理 模式介绍“探究式教学”是指学生在学习概念和原理时，教师 只是给他们一些事例和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去主动探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种教学方法它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成概念，建立自己的认知模型和学习方法架构探究式教学法能充分发挥了学生的主体作用探究式教学通常包括以下五个教学环 节：创设情境启发思考探究问题 形成结论 巩固提高 设计说明首先通过问题 1 由学生亲自动手操作得出“圆是轴对称
2、图形”的结论，为接下来证明垂径定理打下基础；问题 2 通过赵州桥拱的半径问题来激发学生学习兴趣，引发学生进一步探究的欲望问题 3 让学生回顾圆是轴对称图形及其对称轴是经过圆心的直线，问题 4显现垂径定理的条件，为即将探索与证明垂径定理作准备问题 5 和问题 6 探索并证明了垂径定理及其推论最后通过例、习题的巩固，突出了垂径定理及其推论的应用 教材分析本节是北师大版义务教育教科书数学九年级下册第三章圆的第 3 节垂径定理的教学内容，本节课是在学生学习了圆的相关概念和圆的对称性的基础上进行的，本节内容是根据圆的轴对称性研究了垂径定理及其有关的结论垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段或角相
3、等以及垂直关系的重要依据，同时也为有关圆的一些计算和作图问题提供了方法和依据对于垂径定理的学习，要帮助学生分析定理的条件和结论，加深学生对定理的理解垂径定理相关推论的学习，可以按条件画出图形，让学生通过观察、思考、亲自得出结论 教学目标【知识与能力目标】1、探索并证明垂径定理及其逆定理2、能够运用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及作图问题【过程与方法】经历探索垂径定理及其逆定理的 过程，发展推理能力【情感态度与价值观】历探索垂径定理及其逆定理的过程，让学生领会数学的严谨性，并体验发现的乐趣2 教学重难点【教学重点】垂径定理及其逆定理的证明【教学难点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理 课
4、前准备多媒体课件、教具等 教学过程【创设情境】问题 1 请拿出准备好的圆形纸片，将其沿圆心所在的任一条直线对折，你会发现什么？多折几次试一试追问 1：由折纸可知圆是轴对称图形吗？追问 2：如果是一个残缺的圆形纸片，你能找到它的圆心吗？问题 2 你知道赵州桥吗？它是 1300 多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为 37.4m， 拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到 0.1m）设计意图：问题 1 由学生亲自动手操作得出“圆是轴对称图形”的结论，为接下来证明垂径定理打下基础；问题 2 通过赵州
5、桥拱的半径问题来激发学生学习兴趣，引发学生进一步探究的欲望【启发思考】3问题 3 通过前面的折纸我们知道圆是轴对称图形，那么它有几条对称轴？分别是什么？结论：圆是轴对称图形；经过圆心的每条直线（注：提醒学生说不能说直径）都是它的对称轴；圆的对称轴有无数条问题 4 如图，对折 O 使圆的两半部分重合得到一条折痕 CD， 在 OC 上取一点 M，过点 M 再次对折 O，使 CM 与 MD 重合，新的折痕与 O 交于 A、 B 两点（1）观察图形，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由设计意图：问题 3 让学生回顾圆是轴对称图形及其对称轴是经过圆心
6、的直线，问题 4显现垂径定理的条件，为即将探索与证明垂径定理作准备【探究问题】问题 5 已知：如图 ， AB 是 O 的一条弦， CD 是 O 的一条直径，并且 CD AB，垂足M求证： AM=BM， ， ACBAD证明：连接 OA、 OB，则 OA=OB又 CD AB，直线 CD 是等腰 AOB 的对称轴 ，又是 O 的对称轴所以沿着直径 CD 折叠时， CD 两侧的两个半圆重合， A 点和 B 点重合， AM4和 BM 重合， 、 分别和 、 重合因此，ADCABDCAM=BM， ， B追问：你还有其他方法证明这个结论吗？说明 ：可以用全等三角形知识来证明问题 6 如图， AB 是 O 的
7、弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点M（1）观察图形，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由（3） AB 与 CD 的位置关系如何？说一说你的理由解： ， ， 理由如下：CDABCADB连接 OA、 OB，则 OA=OB又 AM=BM， AOM BOM， AMO= BMO=90， 直线 CD 是等腰 AOB 的对称轴，而 CD 又是 O 的对称轴所以沿着直径 CDCDAB折叠时， CD 两侧的两个半圆重合， A 点和 B 点重合， 、 分别和 、 重ADCABDC合因此， ， ， C【形成结论】你能文字语言叙述问题
8、5 和问 题 6 中的结论吗？问题 5 的结论（垂径定理）：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧问题 6 的结论（垂径定理的推论）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧追问：如果弦 AB 是直径，以上结论还成立吗？类似还有如下结论：（1）平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦；（2）弦的垂直平分线，必过圆心且平分弦所对的两条弧5【巩固提高】例 1 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ，点 O 是 的圆心)，其中ACDACD=600m， E 为 上一点，且 OE CD，垂足为 F， EF=90m求这段弯路的半径ACD解：连接 OC设弯路的半径为 Rm，则 OF=（
9、 R90） m OE CD， （ m）16032CFD在 Rt OCF 中，根据勾股定理，得 ，即 22OCF22903R解这个方程得 R545所以，这段弯道的半径是 545m追问：现在能解决课前提出的赵州桥问题了吗？解： 如图，由题意可知， AB=37m， CD=7.23m，所以 AD= AB18.5 m，217.23ODCR在 Rt OAD 中，由勾股定理，得 ，即 ，解得22AOD2218.573R（ m）27.3R因此，赵州桥的主桥拱半径为 27.3m学生练习 1 课本 76 页随堂练习第 2 题学生练习 2 如图，已知 ，请你利用尺规作图的方法作出 的中点，说出你的ABAB作法BA作法：(1)连接 AB；6(2)作 AB 的中垂线，交 于点 C，点 C 就是所求的点AB课堂小结：本节课你学到了哪些数学知识？在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？1、本节课我们探索了圆的轴对称性；2、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；3、垂径定理和 勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题布置作业：1、教科书习题 3.3 第 1 题、第 2 题（必做题）2、教科书习题 3.3 第 3 题、第 4 题（选做题） 教学反思略
