1、第四章 解析函数的级数表示,4.1 复数项级数,一、复数序列,1. 基本概念,极限,如果对任意给定的 e 0，相应地存在自然数 N，,设 为一复数序列，又设 为一确定的复数，,当 n N 时，总有 | zn - a | e 成立，,或,则称复数序列,记作,使得,一、复数序列,2. 复数序列极限存在的充要条件,若,则,当 时，,则 的充要条件是,一、复数序列,2. 复数序列极限存在的充要条件,定理,设,证明,充分性 “ ”,若,解,由 或 发散，,即得 也发散。,故序列 收敛。,根据复数模的三角不等式有,解,即序列 收敛。,二、复数项级数,1. 基本概念,(1) 称 为复数项级数，,(2) 称
2、为级数的部分和；,并且极限值 s 称为级数的和；,(3) 如果序列 收敛，即,则称级数收敛，,(4) 如果序列 不收敛，则称级数发散。,简记为,二、复数项级数,2. 复数项级数收敛的充要条件,级数 和 都收敛。,则级数 的部分和,即得级数 收敛的充要条件是 和 都收敛。,由于序列 收敛的充要条件是 和 都收敛，,二、复数项级数,3. 复数项级数收敛的必要条件,等价于,因此 收敛的必要条件是,而实数项级数 和 收敛的必要条件是：,但级数 发散，,因此级数 发散。,(几何级数 时收敛),( p 级数 时发散),解,故有级数 和 均收敛，,即得级数 收敛。,在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢？,4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛,二、复数项级数,(2) 若 发散， 收敛，则称 条件收敛。,收敛，,又,根据正项级数的比较法可得，,和 均收敛，,和 均收敛，,收敛。,即 绝对收敛，,故 收敛。,分析,由于 发散，,( p 级数，比阶法),因此不能马上判断 是否收敛。,解,故级数 收敛。,收敛，,
