1、1第四章 解析函数的幂级数表示法1.复级数的基本性质=1=1+2+()=1()1.（定理4.1）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。2.（定理4.2）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的 0，存在正整数N( )， 当nN且p为任何正整数时，|+1+2+|0以及给定的 ，存在正整数N=N( ,z)，当nN时， 有2|()()|0，存=1() 在正整数N=N( )，使当nN时，对一切 ，均有 |+1()+2()+()|0，且 在收=0() ()=0()敛圆周C：|z-a|R上至少有一奇点（不可能处处解析）注：找收敛半径=找最近奇点5.一些初等函数的泰勒展式：（1） （2）cosz（3）si
2、nz（4）多值函数 (ln(1+z)0， (ln(1+z)（5） (1+)例题：（1）将 在 z=0展成泰勒级数1（2）求 的展式+( =1+2)4.解析函数零点的孤立性及唯一性定理1.m阶零点定义：， ，m=1称为单零点。()()0注：泰勒展开第一项即为m阶导2.（定理4.17）：不恒为零的解析函数f(z)以a为m阶零点的充要条件为：()=()()6在a的邻域内解析，且 0() ()3.（定理4.18）：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的4.（推论4.19）：设（1）函数f(z)在邻域K:|z-a|R内解析；（2）K内有f(z)的一列零点 ( a)收敛于a， f(z)在K内必恒为零 5.（定
3、理4.20 唯一性定理）：（1）函数 在区域D内解析；1()， 2()（2）D内有一个收敛于 的点列 ( a)，其上 等值 1()， 2()在D内恒等 1()， 2()6.（推论4.21）设在区域内解析的函数 在D内的某一子区域（或一小段弧）1()， 2()上相等在D内恒等 1()， 2()7.（推论4.22）一切在实轴上成立的恒等式，只要等式两边在z平面上都是解析的等式在z平面上也成立 8.（定理4.23 最大模原理 等价于最小模原理）：函数f(z)在D内解析 |f(z)|在D内 任何点都不能达到最大值，除非在D内f(z)恒等于常数9.（推论4.24）：设：（1）f(z)在有界区域D内解析，在闭域 上连续；=+（2） |()|， ()则除f(z)为常数的情形外， |()| （ ）即：最大值一定在边界上取到，除非是常值函数。
