1、第四节 解析函数零点的孤立性及唯一性定理,1. 解析函数零点的孤立性,2. 唯一性定理,第十六讲,一 解析函数的零点的孤立性,证明:,“必要性”,由假设,只要令,“充分性”,故由Taylor定理,从而,例1,解,例2,解,故,由,即,也即,得,因为,注:,一个实函数的零点不一定是孤立的.,如,但在复变函数中,解析函数的零点不可能是聚点，这是实变量函数与复变量函数的重大区别之一。,定理4.18,证明,则,定理4.18的逆否命题：,推论4.19,证明,注2,如,注1,二、 解析函数的唯一性,定理4.20,证明,对于一般情形可用“圆链法”来证明:,a0=a,an=b,a1,at-1,a2,at,K0
2、,K1,Kt-1,Kt,L,=D,D,K2,Kn,由推论4.19有,这样连续下去,可依次证明在,推论4.21,例3,证明:,由惟一性定理,例4,解,则,由惟一性定理知:,故不存在.,(2) 由于函数值点列有,显然它在原点解析,故合条件的函数存在且为,推论4.22,例5,解,故由惟一性定理,注2,定理4.20,推论4.21,4.22统称为惟一性定理,它提示了解析函数一个非常深刻的性质,函数在区域D内的局部值确定了函数在区域D内整体值,即局部与整体之间有着十分密切的关系.,数分中常见的一些初等函数的幂级数展开式都可推广到复数域上来.,如,注1,作 业,P180习题(一) 8, 11(2), (4),
