1、第二章线性方程组的数值解法 2 1消去法2 2矩阵分解法2 3向量与矩阵范数2 4经典迭代法 给定一个线性方程组 A为系数矩阵 b为右端向量 x为需求解的未知向量 直接法 按求精确解的方法运算求解 有Gauss消去法及修正 矩阵分解法 等 迭代法 给一个初始近似解 按一定法则逐步求更精确的近似解的过程 有经典与现代迭代法 解线性方程组数值解法有两类 2 1Gauss消去法 EliminationMethod 2 1 1三角形方程组的解法 三角形方程组是最容易求解的 而Gauss消去法是把一般线性方程组化成两个三角形方程组来求解的 现在考虑上三角形方程组 2 1 1 2 1 1三角形方程组的解法
2、 由于主对角元 所以 2 1 1 的解是唯一的 由第i个方程得 2 1 2 同理对于下三角形方程组 2 1 3 2 1 4 2 1 2Gauss消去法 初始增广矩阵为 2 1 6 第一步消元过程 假设 把第1列第2 n个元素变成0 2 1 7 计算公式为 第2步消元过程 假设 把第2列的后n 2个元素变成0 第k步消元过程 假设前面k 1步消元得到如下形式 计算公式 2 1 10 与 2 1 11 第n 1步消元过程完得到 经过上述消元过程后 原方程组化为一个和它完全等价的上三角形方程组 用公式 2 1 2 得 例2 1试用高斯消去法求解线性方程组 消元过程为 解 即把原方程组等价约化为 通过
3、回代解得 2 1 3列主元Gauss消去法 在消元过程中 常出现主对角元绝对值较小或为0的情况 克服这一困难的办法是列主元消去法 列主元消去法的思想 每次消元过程先在当前变换的列元素中选绝对值最大的为主元 并根据需要交换相关的行 然后再消元 例2 2试用列主元消去法解线性方程组 解 用列主元高斯消去法 回代解得 2 2矩阵分解法 2 2 1 三角分解法 对于给定的线性方程组 矩阵Crout分解法的基本思想是 1 分解 2 化成两个三角方程组 用2 1 1节公式先求y后解x 设已求出U的第1到k 1行于L到第1到k 1列元素 比较两边第k列与第k行的元素 用待定系数法 通过比较A LU的两端得求
4、解公式 比较等式两边第1列和第1行元素得 比较第k列 j k k 1 n 比较第k行 i k 1 n 再解Ux y 先解Ly b 例2 4试用Crout分解法解线性方程组 解 2 2 2对称正定矩阵分解法 若A为对称正定矩阵 则容易证明存在下三角矩阵L 使得 这称为矩阵的乔里斯基 Cholesky 分解 同样存在一个单位下三角矩阵L和对角矩阵D使得 推导Cholesky分解法的计算公式 由此得递推计算公式如下 j 1 2 n 应用于解方程组 则把Ax b化为等价方程 相应的求解公式为 为了去掉平方根运算 考虑分解得 从而可建立分解法的递推计算公式 对于j 1 2 n依次计算 把分解法应用于解方
5、程组 则Ax b化为等价方程 相应的求解公式为 例2 5试用分解法求对称线性方程组 解 由此 可先由上三角形线性方程组 再由下三角形线性方程组 例试用Cholesky分解法求对称线性方程组 解 由此 可先由上三角形线性方程组 再由下三角形线性方程组 2 3向量范数与矩阵范数 定义2 1从向量到实数的实值函数满足下列3个条件称为向量范数 三个常用向量范数 定义2 2设 是Rn上向量范数 A为Rn n中的矩阵 称矩阵范数 三个常用矩阵范数为 三个常用矩阵范数的计算公式为 例2 6设 求常用的向量与矩阵范数 解 2 4经典迭代法 ClassicIterativeMethods 迭代法思想 2 4 1
6、Jacobi迭代法 以对角元为分母 将上述过程一般化 建立迭代格式 将初值代入后迭代得 以分量表示方程组得 对角元对应的量移到左边 其它量在右边便得 从而可建立迭代格式 雅可比迭代格式 2 4 2 可用矩阵表示为 迭代法的矩阵表示 2 4 2 Guass Seidali迭代法 及时更新计算值 将例2 7中对Jacobi迭代格式修改得 将上述过程一般化 用矩阵表示为 例2 7与2 8用Jacobi迭代法和Gauss Seidel迭代法求解线性方程组 解 Gauss Seidel迭代 Jacobi迭代 令取四位小数迭代计算 由Jacobi迭代得 由Gauss Seidel迭代得 相应的迭代公式为
7、2 4 3一般迭代法的收敛性 定义3 2设 其精确解为x 相应的迭代格式为 如果存在某个向量范数使得 则称由 2 4 9 确立的迭代法收敛 否则称发散 定理2 1设方程组Ax b的精确解为x 如果存在一个矩阵范数使得 2 4 9 中的迭代矩阵满足条件 则由 2 4 9 确立的迭代任何初始向量均收敛 且 证 定理得证 迭代式相减取范数得 进一步递推得 则由 2 4 9 确立的迭代法收敛 推论2 1若 2 4 9 迭代矩阵满足条件 推论2 2若Jacobi Gauss Seidel 迭代法的迭代矩阵满足条件 利用定理2 1很容易判别迭代法的收敛性 以常用矩阵范数为例 有下列结论 则Jacobi Gauss Seidel 迭代法对任何初始向量均收敛 定理2 2迭代格式确定的迭代法对任何初始向量均收敛的充分必要条件为其迭代矩阵的谱半径小于1 即
