1、1,第2章非线性方程与方程组的数值解法,2,本章重点介绍求解非线性方程 的几种常见和有 效的数值方法,同时也对非线性方程组 求解,简单介绍一些最基本的解法.无论在理论上,还是在 实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突 破性开拓和补充,许多问题的求解,在解析方法无能为力 时,数值方法则可以借助于计算机出色完成.,3,2.1二分法,求非线性方程,确定方程的有根区间计算根的近似值,的根的方法,分为两步：,4,首先确定有限区间：依据零点定理。设 ，且 ，则方程 在区间 上至少有一个根。如果 在 上恒正或恒负，则此根唯一。,5,等步长扫描法求有根区间,用计算机求有根区间：等步长扫描法。 设h0
2、是给定的步长，取 ， 若 则扫描成功；否则令，继续上述方法，直到成 功。如果 则扫描失败。再将h 缩小， 继续以上步骤。,6,等步长扫描算法,算法：（求方程 的有根区间） (1) 输入 ； (2) ； (3) ，若 输出失败信息，停机。 (4)若 。输出 ，已算出方程的一个根，停机。,7,等步长扫描算法,(5) 若 。输出 为有根区间，停机 (6) ，转 3） 注：如果对足够小的步长h扫描失败。说明： 在 内无根 在 内有偶重根,8,二分法,用二分法(将区间对平分)求解。令 若 ，则 为有根区间，否则 为有根区间记新的有根区间为 ， 则且,9,二分法,对 重复上述做法得且,10,二分法,设 所
3、求的根为 ，则即 取 为 的近似解,11,求方程f(x)=0的根的二分法算法,12,求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法,13,求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法,14,例题,例1 设方程解：取h=0.1,扫描得：又即 在 有唯一根。,15,2.2一般迭代法,2.2.1 迭代法及收敛性对于 有时可以写成 形式如：,16,迭代法及收敛性,考察方程 。这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值 ， 代入 中的右端得到 ，再以 为一个猜测值，代入 的右端得 反复迭代得,17,迭代法及收敛性,若 收敛，即 则得 是 的一个根,18,迭代法的几何意义,交点的横坐标,y
4、=x,19,简单迭代法,将 变为另一种等价形式 。 选取 的某一近似值 ，则按递推 关系 产生的迭代序列。这种方法算为简单迭代法。,20,例题,例2.2.1 试用迭代法求方程 在区间(1，2)内的实根。解：由 建立迭代关系k=10,1,2,3.计算结果如下:,21,例题,精确到小数点后五位,22,例题,但如果由 建立迭代公式仍取 ，则有 ， 显然结果越来越大， 是发散序列,23,迭代法的收敛性,定理2.2.1（压缩映像原理） 设迭代函数 在闭区间 上满足 （1） （2） 满足Lipschitz条件 即 有 且 。,24,压缩映像原理,则 在 上存在 唯一解 ， 且对 ，由 产生 的序列 收敛于
5、 。,25,压缩映像原理,证明：不失一般性,不妨设否则 为方程的根。 首先证明根的存在性令,26,压缩映像原理,则 ， 即 由条件2） 是 上的连续函数是 上的连续函数。 故由零点定理 在 上至少有一根,27,压缩映像原理,再证根的唯一性设有 均为方程的根则 因为 0L1 ，所以只可能 ，即根是唯一的。,28,压缩映像原理,最后证迭代序列的收敛性与n 无关，而0L1即,29,压缩映像原理,误差估计 若 满足定理2.2.1条件，则这是事后估计，也就是停机标准。L越小，收敛速度越快。这是事前估计。选取n，预先估计迭代次数。,30,例题,例2.2.2 证明函数 在区间1，2上满足迭代收敛条件。 证明
6、：,31,例题,32,例题,若取迭代函数 ，不满足压缩映像原理，故不能肯定 收敛到方程的根。,33,简单迭代收敛情况的几何解释,34,2.2.2 Steffensen加速收敛法,迭代法收敛的阶定义2.2.1 设序列 收敛到 ，若有实数 和非零常数C，使得其中， ，则称该序列是p 阶收敛的，C 称为渐进误差常数。,35,迭代法收敛的阶,当p=1时，称为线性收敛； 当p1时，称为超线性收敛； 当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。,36,迭代法收敛的阶,定理2.2.2 设 是方程 的不动点， 若为足够小的正数 。如果 且 ，则从任意 出发，由 产生的序列 收敛到 ，当 时敛速是线性的。,37,迭代法
7、收敛的阶,证明： 满足压缩映像原理,38,迭代法收敛的阶,敛速是线性的线性收敛到 。,39,Steffensen迭代格式,由线性收敛知当n充分大时有即,40,Steffensen迭代格式,展开有：,41,Steffensen迭代格式,已知 ，则 ， 改成,n=0，1，2，,42,Steffensen迭代格式,也可以改写成其中迭代函数,43,Steffensen迭代法收敛的充要条件,定理2.2.3,44,Steffensen迭代法收敛的充要条件,证明：必要性,45,Steffensen迭代法收敛的充要条件,充分性,46,Steffensen算法的收敛速度,47,Steffensen算法的收敛速度
8、,定理2.2.5 在定理2.2.3假设下，若 产生的序列 至少平方收敛到 。,48,Steffensen算法的收敛速度,49,Steffensen算法的收敛速度,50,Steffensen算法的收敛速度,51,Steffensen算法的收敛速度,由定理2.2.4知 至少以平方速度收敛到 。也就是说：简单迭代法是线性收敛；Steffensen迭代至少平方以上收敛（加速收敛）。,52,例题,例2.2.3试用Steffensen算法求解方程解法一、取 ，由,n = 0，1，2，,53,例题,取初值 ，计算结果如下：,54,例题,解法二、取 ，由对于该迭代函数在一般迭代法中是发散的，而Steffens
9、en格式却是收敛的。,n=0，1，2，,55,例题,取初值 ，计算结果如下：,56,Steffensen迭代格式几何解释,57,Steffensen迭代算法,58,Steffensen迭代算法,59,2.3 Newton迭代法,设x * 是方程f (x ) = 0的根，又x0 为x * 附近的一个值 ，将f (x ) 在x0附近做泰勒展式令 ，则,60,Newton迭代法,去掉 的二次项，有：即以x1代替x0重复以上的过程，继续下去得：,61,Newton迭代法,以此产生的序列Xn得到f(x)=0的近似 解，称为Newton法，又叫切线法。,62,Newton迭代法几何解释,几何意义,63,例
10、题,例2.3.1 用Newton法求 的近似解。 解：由零点定理。,64,例题,65,例题,例2.3.2 用Newton法计算 。 解：,66,Newton迭代法算法框图,67,Newton迭代法算法,68,Newton迭代法收敛性,定理2.3.1 设函数 ，且满足若初值 满足 时，由Newton法产生的序列收敛到 在a,b上的唯一根。,69,Newton迭代法收敛性,证明： 根的存在性根的唯一性,70,Newton迭代法收敛性,收敛性,71,Newton迭代法收敛性,72,Newton迭代法收敛性,73,Newton迭代法收敛性,推论 在定理2.3.1条件下， Newton迭代法具有平方收敛
11、速度。,74,代数方程的Newton迭代法,代数方程的Newton迭代法推导设n次代数方程用Newton迭代法求有限区间的实根，则要计算，一般采用秦九韶算法。,75,代数方程的Newton迭代法,由Taylor展式,76,代数方程的Newton迭代法,77,78,代数方程的Newton迭代法,同理,79,代数方程的Newton迭代法,比较x的同次幂系数得：故代数方程的Newton迭代公式,80,代数方程的Newton迭代法算法,81,82,2.4弦截法,Newton迭代法有一个较强的要求是且存在。因此，用弦的斜率近似的替代 。,83,弦截法,令y=0,解得弦与x轴的交点是坐标x2,84,弦截法,85,弦截法的几何解释,86,例题,例2.4.1 用快速弦截法求方程 在区间（1，2）内的实根。 解：取x0=1,x1=2,代入公式2.4.2计算结果,如表2.4.1所示。,87,88,弦截法收敛定理,89,弦截法收敛定理,90,求解方程f(x)=0的快速弦截法,
