第2章 非线形方程及其非线性方程组解法

1、1,第2章非线性方程与方程组的数值解法,2,本章重点介绍求解非线性方程 的几种常见和有 效的数值方法,同时也对非线性方程组 求解,简单介绍一些最基本的解法.无论在理论上,还是在 实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突 破性开拓和补充,许多问题的求解,在解析方法无能为力 时,数值方法则可以借助于计算机出色完成.,3,2.1二分法,求非线性方程,确定方程的有根区间计算根的近似值,的根的方法,分为两步：,4,首先确定有限区间：依据零点定理。设 ，且 ，则方程 在区间 上至少有一个根。如果 在 上恒正或恒负，则此根唯一。,5,等步长扫。

2、3.2 矩阵的三角分解法,我们知道对矩阵进行一次初等变换，就相当于用相应的初等矩阵去左乘原来的矩阵。因此我们这个观点来考察Gauss消元法用矩阵乘法来表示，即可得到求解线性方程组的另一种直接法：矩阵的三角分解。,3.2.1 Gauss消元法的矩阵形式,3.2.2 Doolittle分解,Doolittle分解,若矩阵A有分解：A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，则称该分解为Doolittle分解，可以证明，当A的各阶顺序主子式均不为零时，Doolittle分解可以实现并且唯一。,A的各阶顺序主子式均不为零，即,Doolittle分解,Doolittle分解,Doolittle分解,Doolittle。

3、3.2 矩阵的三角分解法,我们知道对矩阵进行一次初等变换，就相当于用相应的初等矩阵去左乘原来的矩阵。因此我们这个观点来考察Gauss消元法用矩阵乘法来表示，即可得到求解线性方程组的另一种直接法：矩阵的三角分解。,3.2.1 Gauss消元法的矩阵形式,3.2.2 Doolittle分解,Doolittle分解,若矩阵A有分解：A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，则称该分解为Doolittle分解，可以证明，当A的各阶顺序主子式均不为零时，Doolittle分解可以实现并且唯一。,A的各阶顺序主子式均不为零，即,Doolittle分解,Doolittle分解,Doolittle分解,Doolittle。

4、第2章 线性方程组的直接解法,n阶线性方程组:,记:,则:,若,由Cramer法则,需计算n+1个行列式, 若采用逐行、逐列展开法, 需执行n! 次乘法. 若n较大, Cramer法则在实际计算时是不可行的.,解线性方程组的实用方法有两类：直接法, 迭代法.,本章介绍直接法.,一. 高斯(Gauss) 消去法,普通的Gauss消去法,先将方程组化为同解的上三角方程组 (称为消元过程);,第2章 线性方程组的直接解法,基本思想,再按 xn,xn-1,x2,x1的顺序求出各个解 (称为回代过程).,例, , ,消元过程:,例（续）,第2章 线性方程组的直接解法,回代过程:,n阶线性方程组的Gauss消去法求。

5、第二章线性方程组的数值解法 2 1消去法2 2矩阵分解法2 3向量与矩阵范数2 4经典迭代法 给定一个线性方程组 A为系数矩阵 b为右端向量 x为需求解的未知向量 直接法 按求精确解的方法运算求解 有Gauss消去法及修正 矩阵分解法 等 。

6、1,第二章 方程(组)的迭代解法,1 引言,2 迭代解法,3 迭代公式的改进,4 联立方程组的迭代解法,5 联立方程组的延拓解法,6 联立方程组的牛顿解法,2,求 f (x) = 0 的根,1 引言,1.1 涉及到的概念,f (x)既可以是代数多项式,也可以是超越函数,f(x)=a0xn+a1xn-1+ + an-1x+ an (a00),如三角函数,指数函数的复合函数等,方程的根: 满足f(x)=0的x,重根和单根:如果f(x)=(x-)mg(x)且g()0,则称为f(x)=0的m重根.m=1称为单根,m1称为重根.,3,1 引言,1.2 本章重点,介绍求方程实根的迭代解法(适用于求解代数方程和超越方程),代数方程:根的个数与其最高次数相同,。