线性方程组的直接解法课件

1、解线性方程组的直接方法1.1 主元的选取与算法的稳定性1.1.1 问题提出Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保 Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。1.1.2 实验内容考虑线性方程组 nnRbAbx,编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的 Gauss消去过程。1.1.3 实验要求（1）取矩阵 ，则方程有解 。1457,6816 bA Tx)1。

2、第二章 解线性方程组的直接法,主要内容： 高斯消去法； 高斯主元消去法； 直接三角分解法； 解对称正定方程组的平方根法； 行列式和矩阵的求逆运算； 方程组的状态和条件数.,2.1 高斯消去法,线性代数方程组的求解问题：各种各样的科学与工程问题往往最终都要归结为一个线性方程组的求解问题，例如结构分析、网络分析、大地测量、数据分析、最优化及非线性方程组和微分方程组数值解等，常遇到线性方程组的求解问题.,求解线性方程组的数值方法大体上可分为直接法和迭代法两大类，其中直接法是指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得。

3、1淮 海 工 学 院实 验 报 告 书课程名称： 数学实验 实验名称： 线性方程组的数值解法与非线性方程求解 班 级 数学 091 姓 名： 耿萍 学号： 090911107 日 期： 2012.4.27 地点 数学实验室 指导教师： 曹卫平 成绩： 2数 理 科 学 系31. 实验目的：（1） 掌握线性方程组的常用数值解法，包括高斯消去法、LU 分解法以及校正法。 （2） 体验数值计算的时间复杂度和计算规模的关系。（3） 加深对数值计算误差的理解。（4） 学习使用迭代法等算法，求解非线性方程。（5） 学习如何使用 MATLAB 解非线性方程组和方程组。2. 实验内容：、（1）输。

4、引言,快速、高效地求解线性方程组是数值线性代数研究中的核心问题，也是目前科学计算中的重大研究课题之一。,各种各样的科学和工程问题，往往最终都要归结为求解一个线性方程组。,线性方程组的数值解法有：直接法和迭代法。,直接法：在假定没有舍入误差的情况下，经过有限次运算可以求得方程组的精确解；,迭代法：从一个初始向量出发，按照一定的迭代格式，构造出一个趋向于真解的无穷序列。,线性方程组直接解法,举例（一）,解：,例：直接法解线性方程组,我们知道，下面有3种方程的解我们可以直接求出：,n次运算,（n1）n/2次运算,（n1）n/。

5、实 验 报 告实验名称（教师填写）求解线性方程组实验目的（教师填写）掌握求解线性方程组的直接法与迭代法。实验题目（教师填写）完成以下两题：（1） 用追赶法求 Ax=b 的解，其中210241,.35367Ab（2） 用 Jacobi 方法求方程组 Ax=b 的解，要求 （p=1()(1)3120,kpx或 2 或 ） ，其中123,2.Ab实验报告要求（教师填写）1.在实验内容与步骤中，填写基本的公式推导，之后根据推导出的公式编写程序，填入此栏。2. 程序中应尽量写注释语言（中英文均可） ，例如：a = 0; 对 a 附初值 0for i = 1:100 %循环体从 1 到 100，步长为 1，开始循环a = 。

6、文 科 数 学,1 线性方程组的消元解法,第三章 线性代数初步,2 矩阵及其运算,文 科 数 学,线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。,最古老的线性代数问题是线性方程组的求解，在中国古代的数学著作九章算术方程章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。,文 科 数 学,线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，比如“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的想法。此外，很。

7、非线性有限元 第四章 非线性方程组的解法1第四章 非线性方程组的解法4.1 非线性方程组的一般形式从上面两章中，我们研究了离散化结构中任一单元在 的时间增量步内，由tt材料非线性引起的单元切线刚度阵是线性的， （如第三章得出的增量平衡方程 (7) pqkt（假定 时刻的状态已知） ） ，由此集合而成结构的增量平衡方程也是线性的 ，t PKT这就为求解整个的非线性过程准备了条件。即只要确定每一步的切线刚度，通过求解一系列的线性方程组，累加起来就得到了解的全过程。结构总的平衡方程是非线性的：(1) PqK)(i.e 。令 1qKR)(1) 0)(F分段线。

8、1,第六章 线性方程组的迭代解法,计算方法, 迭代法基本概念,2,本章内容,迭代算法基本概念,矩阵分裂迭代算法,共轭梯度算法,3,本讲内容,迭代算法的构造收敛性与收敛速度分析,矩阵分裂迭代算法,4,线性方程组迭代解法,运算量大，不适合大规模的线性方程组求解无法充分利用系数矩阵的稀疏性,直接法的缺点：,从一个初始向量出发，按照一定的迭代格式，构造出一个趋向于真解的无穷序列,只需存储系数矩阵中的非零元素运算量不超过 O(kn2)，其中 k 为迭代步数,迭代法,迭代法是目前求解大规模线性方程组的主要方法,5,矩阵分裂迭代法,矩阵分裂迭代法基。

9、1第 5 章 线性方程组的迭代解法本章主要内容1.向量和矩阵范数的概念及其性质. 谱半径、条件数和线性方程组的性态2.雅可比迭代法，3.高斯-塞德尔迭代法.4.收敛性的判定.重点、难点一、 向量的范数和性质1. 向量的范数和性质n 维向量 X 的范数 是一个非负实数。常用的三种向量的范数为：XxXxXxninii ,3,2,ma1 1221 向量范数的性质：(1) 向量的范数满足的不等式：（2） 任意两个向量的范数等价即若 是向量 X 的两个范数，则存在正常数 m，M.使得对),21,(,baXa任意非零向量 X，恒有 abMm3.向量序列的收敛（1）若 是任一向量序列， ，k TknkkxX。

10、第二章,线性方程组的数值解法,线性方程组,对于线性方程组Ax=b, 其中若系数阵A非奇异，则方程组有唯一解.,计算机上求解线性方程组的有效数值方法,直接法直接解法是解线性方程组的重要方法. 它是指 通过有限步的算术运算求出精确解的方法（若计 算过程没有舍入误差）. 其基本思想是通过等价 变换将线性方程组化为结构简单、易于求解的形 式，从而求解.,迭代法迭代法的基本思想是用某种极限过程逐次逼近方程组的解的方法，是解线性方程组的重要方法.它具有占有储存单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变的优点，但需考虑收敛性。

11、1 第三章 线性方程组 2 线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之一 是解决很多实际问题的的有力工具 在科学技术和经济管理的许多领域 如物理 化学 网络理论 最优化方法和投入产出模型等 中都有广泛应用 第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数与未知量个数相同 且系数行列式非零的线性方程组 本章研究一般线性方程组 主要讨论线性方程组解的判定 解法及解的结构等问题 还要讨论与此密切相关的向量线性。

12、第二章 线性方程组的解法,设有n元线性方程组,或记为,其中,(2.1),(2.2),设系行列式,则方程组(2.1)有唯一解。,解线性方程组的两类方法,直接法,如果不计运算过程的舍入误差，,经过有限,次运算后可得到方程组的精确解的方法。,迭代法,从解的某个近似值出发，,通过构造一个无穷序,列去逼近精确解的方法。,迭代法一般在有限步内得不到方程组的精确解。,Cramer法则,由Cramer(克莱姆)法则，方程(2.1)的解为,阵。,如果用按照某行(或某列)展开的方法计算,行列式，,那么用Cramer法则求解一个 n 元线性,方程组所需的乘法运算次数为,加,法运算次数为,当。

13、2012 2013 学年第 2 学期 计算方法 教案 计 1101/02，1181 开课时间：2013-02计算方法引论、徐翠薇，高等教育出版社 2008 年 4 月第三版 第六章解线性方程组的直接法 2h 1第六章 线性方程组的解法-直接法知识点：顺序 Gauss 消去法，列主元法，全主元法，高斯-约当消去法，范数及误差概念1.概 念考察线性方程组则线性方程组可简记为AX=B.如果 det(A)0,则可采用克来姆法则或矩阵求逆来解方程组，但二者工作量都很大，因此，就有了寻求数值解考虑。直接法和 迭代法都是求解线性方程组数值解的常用方法。直接法是经过有限步算术运算求方程组。

14、线性方程组的解法,解线性方程组的迭代法 Iterative Methods for Linear Systems Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代 迭代法的矩阵表示 Matrix form of the Iterative Methods,线性方程组的解法在计算数学中占有极其重要的地位。 线性方程组的解法大致分为迭代法与直接法两大类,雅可比(Jacobi)迭代法,举例说明雅可比迭代法的基本思路,例4.1,特点:系数矩阵主对角元均不为零,取迭代初值x1(0) =0， x2(0) =0， x3(0) =0,将方程改写成如下等价形式,据此建立迭代公式,x(0)000,x(1) 0.77780.80000.8667,x(2) 0.9630 0.9644 0.9778,x(3) 0.9929 0.9935 。

15、求解线性方程组的直接解法5.2 LU 分解 Gauss 消去法实现了 LU 分解顺序消元结束时的上三角矩阵 U 和所用的乘数,严格下三角矩阵。将下三角矩阵的对角元改成 1,记为 L,则有 A=LU,61321254273这事实是一般的,我们不难从消去的第 k 个元素时的矩阵 k 行及 k 列元素的历史得到这一点.因为从消元的历史有ukj=akj-mk1u1j- mk2u2j - mk,k-1uk-1,j, j=k,k+1,nmik=(aik-mi1u1k- mi2u2k -mi,k-1uk-1,k)/ukk i=k+1,k+2,n于是 akj=mk1u1j+mk2u2j+mk,k-1uk-1,j+ukj, j=k,k+1,naik=mi1u1k+mi2u2k+mi,k-1uk-1,k+mikukk i=k+1,k+2,n从前面两个式子我们可以。

16、1、编写判断一个方程组是否有解的函数，并调用之。functionRA,RB,n=jiepb(A,b)B=A b;n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica0disp(无解)return endif RA=RBif RA=ndisp(唯一解)elsedisp(无穷解)endend A=1 2 3 4;2 3 4 5;3 4 5 6;4 5 6 7; b=6 7 8 9; RA,RB,n=jiepb(A,b)无穷解RA =2RB =2n =4 A=1 -1 1 -3;0 -1 -1 1;2 -2 -4 6;1 -2 -4 1; b=1 0 -1 -1; RA,RB,n=jiepb(A,b)唯一解RA =4RB =4n =42、编写用列主元消去法解线性方程组的函数，并调用之。functionRA,RB,n,X=gaus(A,b)B=A b;n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B)。

17、4.1 Gauss消去法,4.1.4 Gauss-Jordan消元法,4.1.3 主元素消去法,4.1.2 矩阵的三角分解,4.1.1 Gauss消去法的计算过程,第4章 线性方程组的直接解法,教学目的 1. 掌握解线性方程组的高斯消去法、高斯选主元素消去法； 2. 掌握用直接三角分解法解线性方程组的方法； 3. 了解解对称正定矩阵线性方程组的平方根法与解三对角线方程组的追赶法； 4. 掌握向量，矩阵范数，矩阵的条件数等概念及方程组的扰动分析。 教学重点及难点 重点是 1. 解线性方程组的高斯消去法、高斯选主元素消去法； 2. 直接三角分解法解线性方程组的方法； 3. 向量，矩阵范。

18、1. 7 线性方程组的直接解法在求解线性方程组(System of Linear Equations)的算法中，有两类最基本的算法，一类是直接法，即以消去为基础的解法。如果不考虑误差的影响，从理论上讲，它可以在固定步数内求得方程组的准确解。另一类是迭代解法，它是一个逐步求得近似解的过程，这种方法便于编制解题程序，但存在着迭代是否收敛及收敛速度快慢的问题。在迭代过程中，由于极限过程一般不可能进行到底，因此只能得到满足一定精度要求的近似解。本章我们主要介绍几种直接法，迭代法将在下一章讨论。1.1 高斯消去法解线性方程组在直接方法中最主。