1、1,第六章 线性方程组的迭代解法,计算方法, 迭代法基本概念,2,本章内容,迭代算法基本概念,矩阵分裂迭代算法,共轭梯度算法,3,本讲内容,迭代算法的构造收敛性与收敛速度分析,矩阵分裂迭代算法,4,线性方程组迭代解法,运算量大，不适合大规模的线性方程组求解无法充分利用系数矩阵的稀疏性,直接法的缺点：,从一个初始向量出发，按照一定的迭代格式，构造出一个趋向于真解的无穷序列,只需存储系数矩阵中的非零元素运算量不超过 O(kn2)，其中 k 为迭代步数,迭代法,迭代法是目前求解大规模线性方程组的主要方法,5,矩阵分裂迭代法,矩阵分裂迭代法基本思想,Ax = b,k = 0, 1, 2, ,给定一个初
2、始向量 x(0)，可得 迭代格式,其中 B = M-1N 称为迭代矩阵,6,矩阵分裂迭代法,k = 0, 1, 2, ,7,向量序列的极限,定义：设向量序列 ， ，若存在向量 ，使得,i = 1, 2, , n,则称向量序列 收敛到 x，记作,相类似地，可以定义矩阵序列的极限与收敛,8,向量序列的极限,9,向量序列的极限,10,收敛性分析,定理：对任意初始向量 x(0)，上述迭代格式收敛的充要条件是,证明：板书,例：考虑迭代法 x(k+1) = Bx(k) + f 的收敛性，其中,11,收敛性分析,B = M-1N,12,收敛速度,第 k 步的误差：,平均每次迭代后的误差压缩率约为：,若要求 k 步迭代后上述误差比值不超过 ，则,13,收敛速度,(B) 越小，收敛越快,
