1、第2章 运动方程组的简化,引言：为什么要简化方程组？,1）不同形式运动具有不同的特征和性质，运动过程中起支配作用的物理因子（对应于支配方程中的某一项）也可能各不相同。 只有抓住了影响这种运动的“主要因素”（方程中的主要项），排除（略去）其他“次要因素”（方程中的次要项）的干扰，才能把握住特定运动的物理本质。这就是说，必须有针对性地对方程进行适当简化。,2）描述大气运动的基本方程组是涉及许多复杂物理过程的非线性偏微分方程组。至少目前数学上还无法求得非线性方程的解析解，即便是可求得完整方程组的解析解，它也必定是形式非常复杂、物理意义模糊不清的解，对我们未必真有实用价值。因此，针对具体问题，略去方程
2、中的次要（数量相对较小的）项，保留主要项，适当简化方程，从简单模型入手，既简化了数学求解，也便于阐明解的物理本质及其应用。,2.1 尺度分析方法与大气运动的分类,一、尺度与尺度分析方法 1、物理量的特征尺度（特征值）物理量的尺度指它的“一般大小”或“概量”。气象上称这种具有代表意义的值为物理量的“特征值”或“特征尺度”，又简称为“尺度”。 例如，某地地面气温的变动范围为273-313 (K) 之间，可表为2.731023.13102 (K)。这个“10的幂次”即所谓的“数量级”，此例中，我们称该地的地面气温的数量级为102 （K）。这是一具有代表意义的值，它代表了该地地面气温的“一般大小”或“
3、概量”。,空气运动的特征值符号：,运动水平尺度L 运动垂直尺度D 系统时间尺度 水平速度尺度U 垂直速度尺度W 气 压尺度P 温 度尺度T* 密 度尺度P,在大气运动中，物理量发生变化所历经的特征水平距离、铅直深度和时间间隔分别称为水平尺度(L)、垂直尺度(D)和时间尺度() :对于波状运动，可取水平尺度为其波长的1/4，即 ；对于圆形涡旋，则可取其半径为水平尺度，即 。运动的垂直尺度即运动系统在铅直方向上伸展的高度，一般可取为对流层厚度。运动系统的时间尺度指系统的寿命或生命期，即它由发生到消亡所经历的时间。,2、尺度分析方法,1）尺度分析方法是指：根据运动各要素本身及其导数的特征尺度估计方程
4、中各项的相对大小，并椐此简化方程的方法。 2）用尺度分析方法简化方程的步骤可概括为：（1）适当选择、确定场变量及其改变量的特征尺度；（2）分析、估计方程中各项的尺度和（3）比较方程中各项的相对大小，略去小项，保留大项，求得简化方程。,根据经验事实，在传统的尺度分析中，一般对场变量的改变量做如下假定： （1）经过水平特征距离或垂直特征距离，速度场的改变量可达到其本身的大小。例如（以水平速度分量为例）：,（2）经过垂直特征距离D，压力、温度和密度的改变量也可达到其本身的大小，但是，在水平特征距离L上，它们都达不到其本身的大小。即,其中 ， ， 分别为空气压力、温度和密度的水平改变量的尺度。,（3）
5、在时间尺度上 ，各物理量的改变量均与它们经过水平特征距离时的改变量有相同的大小。如：,二、大气运动的分类,对各种不同运动的分析表明，大气中各种运动的特征主要取决于运动的水平尺度，因此，常按照运动水平尺度的大小来进行分类：（1）大尺度运动：L106米，包括影响大范围天气变 化的主要天气系统，如大气长波、温带气旋、反气旋和副热带高压等；（2）中尺度运动：L105米，如低涡、飑线中尺度对流系统等；（3）小尺度运动：L104米，如龙卷风、对流单体等,表 2.1 各类运动的特征尺度,有些物理量本身及其改变量的尺度可由实际观测数据确定，如水平风速、气压和气温等；但是，另一些物理量如空气密度和垂直运动速度等
6、没有直接观测数据，其尺度则须由基本方程如状态方程或连续方程导出。（以大尺度的密度的量级估算为例：P-1000hPA、T-300K、R-287 J/(kg.K)）,2.2 运动方程的尺度分析和简化,一、 运动方程的简化任一物理量都可表为它的尺度与一个接近于“1”无量纲量（用带撇号“”的量表示）的乘积：,于是，不计湍流和分子粘性的作用，局地直角坐标系中x方向的运动方程可表为若把这些代表各项大小的作用力尺度单列出来，则原方程可表为： 10-4 10-4 10-5 10-3 10-3 10-6,据各项量级的大小可对方程上述式进行简化。若只保留方程中量级最大的项，略其他各项，所得结果则称为原方程的零级（
7、阶）简化或零级（阶）近似；如果除了最大项外，还保留比最大项小一个量级的项，略去其他项，则所得简化结果称为原方程得一级简化或一级近似。其余照此类推。对于大尺度运动，X方向的运动方程的零级和一级近似分别为：零级近似一级近似,对运动方程的另外两个分量方程可进行类似的尺度分析和简化。针对中尺度和小尺度运动的尺度分析和简化自然也可同样进行。归纳起来，大尺度运动的零级简化可表为：,一级简化：除了最大项外，还保留比最大项小一个量级的项。大尺度运动的一级简化方程为：,中尺度运动的零级简化可表为：,小尺度运动的零级近似为：,二、最低阶近似下的大气运动基本性质,从大、中、小尺度大气运动的最低阶近似 方程，可总结大
8、气运动的若干基本性质： （1）准静力平衡。静力平衡关系对各类运动均成立。表明在最低阶近似下，静力平衡近似是一个相当精确的近似。但应注意，在水平尺度很小（例如 米）的情况下，静力平衡近似可能不再是一个可靠的近似。,（2） 准定常。各类运动的零阶近似中，含时间导数（ ）的项都不出现，这表明，大气运动随时间的演变是缓慢的，即具有准定常的特征。但是，零阶近似方程都是某些物理量之间的诊断关系，或称为诊断方程，这些诊断方程不能用于预报问题。换言之，要处理预报问题，至少必须考虑原方程的一阶或更高阶近似。,（3）准水平。各类运动的零阶简化都不包括 这种项。表明大气运动基本上可视为准水平运动。但是，大气的垂直运
9、动 对于天气（如成云致雨）具有十分重要的意义。在中、小尺度运动中，有时垂直运动 会很大，甚至可以达到与水平风速同样的大小，以致于破坏静力平衡。这时，我们不能忽略垂直运动的影响。,（4）在不同尺度的运动中，零阶近似下水平方向上力的平衡关系有显著差异。在大尺度运动中，水平方向呈现气压梯度力与科氏力两个力的平衡，称为“地转平衡”；对于中尺度运动，水平方向表现为气压梯度力、科氏力和惯性力（源于平流加速度）三个力之间的平衡，称为“梯度风平衡”；在小尺度运动中，水平方向上变为气压梯度力与惯性力两个力的平衡，称为“旋转风平衡”。,三、简化的合理性,尺度分析方法是一种半经验半理论的方法。由此所得结果是否合理？
10、还要看它1）是否符合基本数学和物理原则，2）是否符合观测事实。1）例如，一个合理的简化方程中至少应有两个大项，如果只保留一个大项，则会得出一个不可能平衡得矛盾结果。从物理上说，科氏力不会做功，因此，它不应影响运动的能量平衡性质，合理的简化就必须保证“科氏力不做功”这一物理原则。比如，若忽略了水平运动方程中的项，则必须同时略去铅直运动方程中的项，否则，将导致简化模式中有虚假的能量制造，破坏能量守恒原理。,2）除了数学和物理上必须合理外，简化的结果还必须符合观测事实，经得起实践的检验。否则，如果简化的结果不合理，应修正有关的前提性假定，重新进行分析。,上述尺度分析结果表明，除了水平尺度很大（如 米
11、）或很小（如 米）且不包括极地的情形，运动方程通常可近似地表为 ：和 代表由于空气湍流运动引起的湍流摩擦力分量。,2.3 连续方程和热力学方程的简化,一、连续方程的简化 在局地直角坐标系中，连续方程及大尺度运动中各项的量级可表为：10-10 10-10 10-9 10-8 10-9,对大、中尺度运动，连续方程的零级简化都为：小尺度的零级简化则可表为:各种尺度运动的一级简化都与小尺度运动的零级简化相同。,从连续方程的简化结果可见大气运动的另两个基本特征： （1）零到一级简化中都不包含密度的局地变化项，即密度是高度准定常的； （2）在最低阶近似下，大、中尺度运动均具有准水平无辐散的特征。,在实际应
12、用中，考虑到相对于垂直运动的垂直变化而言，密度的垂直变化是比较小，于是各种尺度运动的一级简化方程：可以进一步简化为：此即所谓的不可压缩连续方程，或布西内斯克（Boussinesq）近似下的连续方程。,二、热力学方程的简化,在局地直角坐标系中，绝热情况下的热力学方程可表为 10-6 10-6 10-7 10-8 10-8 其中， 为静力稳定度参数， 和 分别为空气的铅直层结减温率和干绝热减温率。对于大尺度运动，取,零级简化：,大尺度,中尺度,小尺度,可见，在最低阶近似下，大气运动的热力平衡有如下基本特征： （1）在大尺度运动中，温度的局地变化等于水平温度平流; （2）在中、小尺度运动中，水平温度
13、平流与垂直温度变化相平衡，以致于温度维持为准定常的。,2.4 无量纲动力学参数与大气运动的动力学分类,考虑无辐散情形的分子应力，在任意直角坐标系O (x,y,z)中，x方向的运动方程分量式可表为 ：引入无量纲变量，但是，由于现在坐标轴的指向是任意的，故不再有水平与垂直轴向之分，三各空间方向的距离尺度都用 L表示，三个速度分量的尺度都记为U。上可改写为,用平流惯性力（左边第二项）的尺度U2/L除全式，则上式可改写为：上式中出现了五个无量纲参数，它们的定义与含义可分别说明如下：,（1） ，称为单时数。它代表了“平流惯性力”与“局地惯性力”之比。当 ，即运动的时间尺度（ ）与“平流时间”尺度（ ）相
14、等时，平流惯性力与局地惯性力有相同的大小，运动是非定常且非线性的；当 时，局地惯性力相对于平流惯性力为小量，可以略而不计，运动具有准定常的特征；当 时，则相反，平流惯性力可略去，运动具有准线性的特征。,2） ，称为欧拉（Euler）数，表示气压梯度力与平流惯性力的比。大气中欧拉数总是较大，即气压梯度力总是重要的。3） ，称为弗劳德（Froude）数，它是平流惯性力与重力之比。大气中，弗劳德数通常较小，即重力相对较重要，但它只在铅直方向上起作用。,（4） ，称为罗斯贝（Rossby）数，代表惯性力与科氏力之比。其大小主要取决于运动速度尺度U和空间尺度L的大小。 （5） ，称为雷诺（Reynold
15、s）数，表示惯性力与分子粘性力之比。对于大尺度高速流， 较大。除了贴近地面的薄层外，大气中雷诺数通常总是很大，即分子粘性力一般不重要。,上述X方向运动方程 中各项的大小取决于上述五个无量纲参数的大小。换言之，这五个无量纲参数的大小与运动的动力性质密切相关。在大气中，弗劳德数（Fr）一般总是较小，雷诺数（Re）和欧拉数（Eu）一般总是较大，只有罗斯贝数（ Ro）变化范围较大。因此，运动的动力学差异主要取决于罗斯贝数的大小。,罗斯贝数的大小由运动的速度尺度U和空间尺度L决定， 在实际大气中，运动速度（水平速度分量占优）U的变化范围不大（1015.0101m/s）, 但是，水平空间尺度L则可有很大的变化范围。所以，罗斯贝数的大小主要是由运动的空间尺度L决定。于是，动力学上可将大气运动按照罗斯贝数的大小（也即是按照运动的水平尺度的大小）分为三类：,当,时， 对应为,正如前面讨论运动方程的零级简化是指出的一样，三种类型的运动中，力的平衡关系很不相同。大尺度运动中，Ro1，意未着科氏力相对于惯性力较不重要，主要是气压梯度力与惯性力的平衡。,
