1、第三章 点的复合运动,3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动 3.2 点的速度合成定理 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 3.4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理,第八章 点的复合运动,3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动,第三章 点的复合运动,不同的观察者观察的结果不同。车上的人以车厢为参考系观察到车轮边缘一点在做圆周运动。站在地面上的人以大地为参考系观察到车轮边缘一点的轨迹如图中所示。,运动的相对性, 3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动,第三章 点的复合运动,Theoretical Mechanics,运动的分类,绝对运动：动点相对静系的运动。,两套参考坐标系：静(定)参考系静
2、系、定系，固结在地球上的坐标系； 以Oxyz表示。动参考系动系，固定在相对于地球运动的参考体上的坐标系；以Oxyz表示。,返回首页, 3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动,第三章 点的复合运动,动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度，称为绝对轨迹、绝对速度（ va ）和绝对加速度（ aa ）。,相对运动：动点相对动系的运动。,动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度，称为相对轨迹、相对速度 （ vr ）和相对加速度（ ar ）。,牵连运动：动系相对于静系的运动。, 3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动,第三章 点的复合运动,注：1、动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动，它可 能作直线运动或曲线运动
3、；牵连运动则是指参考体 （或参考系）的运动，实际上是刚体的运动，它可能作平动、转动或其他较复杂的运动。 2、动系是无限延伸的。,牵连点：在任意瞬时，与动点相重合的动系上的点。,在运动的不同瞬时，动点与动系上不同的点重合，而这些点在不同瞬时的运动状态往往不同 。动点和牵连点是一对相伴点，在运动的同一瞬时，它们是重合在一起的。牵连点是动系上的几何点 。,Theoretical Mechanics,返回首页, 3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动,第三章 点的复合运动,牵连速度（ ve ）：牵连点的速度。牵连加速度（ ae ）：牵连点的速度。,Theoretical Mechanics,返回首页,实
4、例分析,静坐标系？,动坐标系？,绝对运动？,相对运动？,牵连运动？,大梁不动时,动点: A,Theoretical Mechanics,返回首页, 3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动,第三章 点的复合运动,Theoretical Mechanics,实例分析,静坐标系？,动坐标系？,绝对运动？,相对运动？,牵连运动？,动点：水滴,返回首页, 3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动,第三章 点的复合运动,水流从喷管射出，喷管又绕O轴转动，转动角速度为，角加速度为 。试分析水滴的运动。,点的复合运动, 3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动,第三章 点的复合运动,3.2 点的速度合成定理,第三章 点
5、的复合运动,Theoretical Mechanics, 3.2 点的速度合成定理,动点在一个任意运动的刚体K上沿弧AB相对于刚体K运动。,动坐标系固结在刚体K上，静坐标系固结在地面上。,瞬时t，动点位于M处 t后，动点运动到 处,返回首页,第三章 点的复合运动,Theoretical Mechanics,速度合成定理,矢量方程中包含绝对速度、牵连速度和相对速度的大小、方向六个量，已知其中四个量可求出其余两个量。,返回首页, 3.2 点的速度合成定理,第三章 点的复合运动,Theoretical Mechanics,分析：凸轮为定轴转动，AB杆为直线平移，只要求出A点的速度就可以知道AB杆各点
6、的速度。由于A点始终与凸轮接触，因此，它相对于凸轮的相对运动轨迹为已知的圆。,例3-1 偏心圆凸轮的偏心距 ，半径 ，设凸轮以匀角速度O绕轴O转动，试求OC与CA垂直的瞬时，杆AB的速度。,返回首页, 3.2 点的速度合成定理,第三章 点的复合运动,Theoretical Mechanics,解：动点：顶杆AB上的A点 动系：固结在凸轮上 静系：机架,绝对运动：直线运动,相对运动：以C为圆心的圆周运动,牵连运动：动坐标系绕O轴的定轴转动,方向如图,返回首页,由速度合成定理,作速度平行四边形,，则求得, 3.2 点的速度合成定理,第三章 点的复合运动,Theoretical Mechanics,
7、返回首页, 3.2 点的速度合成定理,第三章 点的复合运动,Theoretical Mechanics,关于动点动系选择的讨论,本题中，选择AB杆的A点为动点，动坐标系与凸轮固结。因此，三种运动、特别是相对运动轨迹十分明显、简单已知的圆，使问题得以顺利解决。若选凸轮上的点（例如与A重合之点）为动点，而动坐标系与AB杆固结，这样，相对运动轨迹不仅难以确定，而且其曲率半径未知。因而相对运动轨迹变得十分复杂，这将导致求解（特别是求加速度）的复杂性。,返回首页, 3.2 点的速度合成定理,第三章 点的复合运动,Theoretical Mechanics,例3-2 急回机构中，曲柄OA的一端与滑块A用铰
8、链连接。当曲柄OA以匀角速度 绕定轴O转动时，滑块在摇杆上滑动，并带动摇杆绕固定轴O1来回摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离 ，求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相对摇杆O1B的相对速度。,返回首页, 3.2 点的速度合成定理,第三章 点的复合运动,Theoretical Mechanics,解：,动点：滑块 A,动系：与摇杆O1B固连,绝对运动：圆周运动,牵连运动：摇杆绕O1轴的转动,相对运动：滑块沿滑槽的直线运动,A,返回首页,由速度合成定理,作速度平行四边形,，则求得, 3.2 点的速度合成定理,第三章 点的复合运动,Theoretical Mechanics,又
9、因为,摇杆此瞬时的角速度为,其转向为逆时针,返回首页, 3.2 点的速度合成定理,第三章 点的复合运动,Theoretical Mechanics,例3-3 火车车厢以速度v1沿直线轨道行驶。雨滴M铅垂落下，其速度为v2。求雨滴相对于车厢的速度。,绝对运动：雨滴相对地面铅垂落下,相对运动 ：雨滴相对于车厢的运动,牵连运动：车厢的运动（平动）,解：动点:雨滴M，动系：Oxy与车厢固结，静系：Oxy,返回首页, 3.2 点的速度合成定理,第三章 点的复合运动,Theoretical Mechanics,绝对速度为va= v2,vr的方向可由vr与铅垂线的夹角决定,返回首页,由速度合成定理,作速度平
10、行四边形,，则求得, 3.2 点的速度合成定理,第三章 点的复合运动,Theoretical Mechanics,总结：（1）选取动点、动系和静系。动点、动系的选取原则：a）动点相对动系有运动，即，因此，动点和动参考系不能选在同一个物体上；b）动点相对运动轨迹清楚、简单，以便于确定。经验：动点选始终为接触点的点为动点，被接触的部分则为相对运动轨迹。（不是绝对的）（2）分析三种运动和三种速度。相对运动是怎样的一种运动（直线运动、圆周运动或其它某一种曲线运动）？牵连运动是怎样的一种运动（平动、转动或其它某一种刚体运动）？绝对运动是怎样的一种运动（直线运动、圆周运动或其它某一种曲线运动）？各种运动的
11、速度都有大小和方向两个要素，只有已知4个要素时才能画出速度平行四边形。（3）应用速度合成定理，作出速度平行四边形。必须注意，作图时要使绝对速度成为平行四边形的对角线。（4）利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。,返回首页, 3.2 点的速度合成定理,第三章 点的复合运动,Theoretical Mechanics,返回首页, 3.2 点的速度合成定理,第三章 点的复合运动,Theoretical Mechanics,返回首页, 3.2 点的速度合成定理,第三章 点的复合运动,Theoretical Mechanics,返回首页, 3.2 点的速度合成定理,第三章 点的复合运动,3.3 牵连
12、运动为平动时点的加速度合成定理,第三章 点的复合运动,Theoretical Mechanics, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,动点：M动系：Oxyz为一平动参考系静系：Oxyz,返回首页,由点的速度合成定理,对上式等号两端关于时间t求导数，得,在动系Oxyz中,Theoretical Mechanics,动系作平移时，动点的牵连速度和牵连加速度等于动系原点O的速度和加速度，即,返回首页, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,牵连运动为平动，单位矢量i、j、k大小、方向不变 ，显然有,牵连运动为平移时的点的加速度合成定理：当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速
13、度与相对加速度的矢量和。,Theoretical Mechanics,例 题,例3-4 平行四连杆机构的上连杆BC与一固定铅直杆EF相接触，在两者接触处套上一小环M，当BC杆运动时，小环M同时在BC、EF杆上滑动。曲柄AB=CD=r，连杆BC=AD=l，若曲柄转至图示角位置时的角速度为，角加速度为，试求小环M的加速度。,动点：小环M,解：,静系：固连在地面上,动系：固连在连杆BC上,返回首页, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,Theoretical Mechanics,绝对运动沿EF的直线运动，aa方向沿EF。,动点M,将加速度合成定理的矢量方程向y轴投影,相对运动沿BC的直线运动
14、，ar方向沿BC。,例 题,返回首页, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,例3-5 图示一往复式送料机，曲柄OA长l，它带动导杆BC和送料槽D作往复运动，借以运送物料。设某瞬时曲柄与铅垂线成角。曲柄的角速度为0，角加速度为0，方向如图所示，试求此瞬时送料槽D的速度和加速度。,Theoretical Mechanics,例 题,返回首页, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,运 动 演 示,Theoretical Mechanics,例 题,返回首页, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,解：,1. 选择动点，动系与定系。,动系：O xy，固连于导杆BC,2. 运动分析
15、,绝对运动以O为圆心的圆周运动,相对运动沿导杆滑槽的铅垂直线运动,牵连运动导杆BC 沿水平直线的平动,动点：滑块A,定系：固连于机座,Theoretical Mechanics,例 题, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,返回首页,3. 速度分析。,绝对速度va：va= l 0 ，方向与OA垂直。,相对速度vr：大小未知，方向沿导杆滑槽向上,牵连速度ve：所求的送料槽的速度，方向水 平向右。,应用速度合成定理,求得：,Theoretical Mechanics,例 题, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,返回首页,4. 加速度分析。,绝对加速度法向分量aan： aan =
16、l 02 ，沿着AO。,相对加速度ar：大小未知，方向沿O y 轴,牵连加速度ae：大小未知，为所要求的量 方向水平，假设向右。,绝对加速度切向分量aat： aa t= l0，方向与OA 垂直， 指向左下方。,Theoretical Mechanics,例 题, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,返回首页,应用加速度合成定理,投影到O x轴，得到,于是，求得,即为导杆和送料槽D的加速度aD，其中负号表示在此瞬时ae的指向与图中所假设的相反。,Theoretical Mechanics,例 题, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,返回首页,例3-6 曲柄OA绕固定轴O转动，丁
17、字形杆BC沿水平方向往复平动，如图所示。铰链在曲柄端A的滑块，可在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度作匀角速转动，OA=r，试求杆BC 的加速度。,Theoretical Mechanics,例 题, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,返回首页,运 动 演 示,Theoretical Mechanics,例 题, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,返回首页,解：,1. 选择动点，动系与定系。,动系:Bxy，固连于丁字形杆,2. 运动分析。,绝对运动以O为圆心的圆周运动,相对运动沿槽CD的直线运动,牵连运动丁字形杆BC 沿水平方 向平动。,动点:滑块A,定系:固连于机
18、座,Theoretical Mechanics,例 题, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,返回首页,应用加速度合成定理,3. 加速度分析。,绝对加速度aa： aa = OA 2 ，沿着 OA，指向O。,相对加速度ar：大小未知，方向沿 铅直槽DE。,牵连加速度ae：大小未知，为所要 求的量，沿水平方向,得杆BC 的加速度,Theoretical Mechanics,例 题, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,返回首页,例3-7 凸轮在水平面上向右作减速运动，如图所示，设凸轮半径为R，图示瞬时的速度和加速度分别为v和a，求杆AB在图示位置时的加速度。,Theoretical
19、 Mechanics,例 题, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,返回首页,解：,1. 选择动点，动系与定系,动系:Oxy，固连于凸轮,2. 运动分析,绝对运动直线运动,牵连运动水平平动,动点: AB的端点A,相对运动沿凸轮轮廓曲线运动,A,B,v,a,n,R,定系:固连于机座,Theoretical Mechanics,例 题, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,返回首页,3. 速度分析。,绝对速度va：大小未知，方向沿杆AB 向上。,相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮 圆周的切线,牵连速度ve： ve= v ，方向水平向右,根据速度合成定理,可求得：,Theoretic
20、al Mechanics,例 题, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,返回首页,4. 加速度分析。,绝对加速度aa：大小未知，为所要求的量 方向沿直线AB。,相对加速度切向分量art：大小未知，垂直于 OA，假设指向右下,牵连加速度ae： ae= a ，沿水平方向,相对加速度法向分量arn： aen = vr 2 / R，沿 着OA，指向O。,A,B,v,a,n,R,O,Theoretical Mechanics,例 题, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,返回首页,根据加速度合成定理,上式投影到法线 n 上，得,解得杆AB在图示位置时的加速度,Theoretical Me
21、chanics,例 题, 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,返回首页,3.4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理,第三章 点的复合运动,Theoretical Mechanics,动点M沿动坐标系Oxyz中的相对轨迹曲线AB运动,而动坐标以角速度矢 和角加速度矢 绕静坐标系Oz轴转动。,动系作定轴转动时，由转动刚体内各点的速度和加速度,速度合成定理为,返回首页, 3.4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理,Theoretical Mechanics,加速度,返回首页, 3.4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理,Theoretical Mechanics,动点的绝对加速度,当牵连运动
22、为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和 。,结论,返回首页, 3.4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理,Theoretical Mechanics,方向垂直于与vr所决定的平面，它的指向按右手定则决定。,科氏加速度的大小为,若vr，则有,若vr，则有,返回首页, 3.4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理,河流冲刷问题,河水对堤岸的冲刷,水流方向右岸冲刷的强度比左岸大，因此右岸比左岸陡,长江三峡,Theoretical Mechanics,例3-8 大圆环固定不动，其半径为R。AB杆绕A端在圆环平面内转动，其角速度为，角加速度为。杆用小圆环M套在大圆环上。求
23、图所示位置时M的绝对加速度。,动点：M点动系：与AB相固接定系：与机架相固接绝对运动：圆周运动相对运动：沿AB杆的直线运动牵连运动：AB杆作定轴转动速度分析：速度合成定理,解：,其中va垂直于OM，大小未知；vr沿AB，其大小未知；ve的大小veAM，方向垂直于AM。,例 题,返回首页, 3.4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理,Theoretical Mechanics,解：,va垂直于OM，大小未知；vr沿AB，其大小未知；ve的大小veAM，方向垂直于AM。,作速度平行四边形，解得,例 题,返回首页, 3.4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理,Theoretical Mechanics,加速度合成,将上式向方向投影：,，方向沿OM指向O,的方向垂直OM，大小未知,，方向沿AB指向A,，方向垂直于AB,ar的方向沿AB，大小未知,，方向垂直于AB,例 题,返回首页, 3.4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理,
