1、第七章点的合成运动 返回总目录 TheoreticalMechanics 第二篇运动学 第十六章点的合成运动 7 1点的绝对运动 相对运动和牵连运动 7 2点的速度合成定理 7 3牵连运动为平移时 点的加速度合成定理 7 4牵连运动为转动时 点的加速度合成定理 目录 车刀加工工件时刀尖的运动分析 16 1点的绝对运动 相对运动和牵连运动 一个动点 不考虑质量而运动的几何点 车刀刀尖 16 1点的绝对运动 相对运动和牵连运动 两个参考坐标系 静坐标系 固结在地球上的坐标系 动坐标系 固定在相对于地球运动的参考体上的坐标系 工件 机架 16 1点的绝对运动 相对运动和牵连运动 三种运动 动点对于定
2、参考系的运动 称为绝对运动 动点对于动参考系的运动 称为相对运动 动参考系对于定参考系的运动 称为牵连运动 16 1点的绝对运动 相对运动和牵连运动 绝对运动 直线运动 牵连运动 定轴转动 相对运动 曲线运动 螺旋线运动 动点 车刀刀尖动系 工件 16 1点的绝对运动 相对运动和牵连运动 绝对速度 相对速度 牵连速度 绝对加速度 相对加速度 牵连加速度 回转仪的运动分析 动点 点动系 框架 相对运动 圆周运动 牵连运动 定轴转动 绝对运动 空间曲线运动 塔式起重机 两点重要结论 运动的相对性 物体对于不同的参考系 运动各不相同 绝对运动与相对运动都是指点的运动 牵连运动则是刚体的运动 16 1
3、点的绝对运动 相对运动和牵连运动 16 2点的速度合成定理 16 2 1绝对速度 相对速度和牵连速度 绝对速度 动点相对于静坐标系运动的速度 相对速度 动点相对于动坐标系运动的速度 牵连速度 某瞬时 与动点相重合的动坐标系上的点 牵连点 相对于静坐标系运动的速度 牵连点 在任意瞬时 与动点相重合的动坐标系上的点 动坐标系是一个包含与之固连的刚体在内的运动空间 除动坐标系作平移外 动坐标系上各点的运动状态是不相同的 在任意瞬时 只有牵连点的运动能够给动点以直接的影响 为此 定义某瞬时 与动点相重合的动坐标系上的点 牵连点 相对于静坐标系运动的速度称为动点的牵连速度 讨论 16 2点的速度合成定理
4、 16 2 1绝对速度 相对速度和牵连速度 例如 直管OB以匀角速度 绕定轴O转动 小球M以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动 如图示 将动坐标系固结在OB管上 以小球M为动点 随着动点M的运动 牵连点在动坐标系中的位置在相应改变 设小球在t1 t2瞬时分别到达M1 M2位置 则动点的牵连速度分别为 16 2点的速度合成定理 16 2 1绝对速度 相对速度和牵连速度 动点与牵连点 动点和牵连点是一对相伴点 在运动的同一瞬时 它们是重合在一起的 动点是与动系有相对运动的点 牵连点是动系上的几何点 在运动的不同瞬时 动点与动坐标系上不同的点重合 而这些点在不同瞬时的运动状态往往不同 16 2点
5、的速度合成定理 16 2 1绝对速度 相对速度和牵连速度 16 2点的速度合成定理 16 2 2速度合成定理 动坐标系固结在曲线上 静坐标系固结在地面上 瞬时t 动点位于A处 t后 动点运动到B处 例 小球在金属丝上的运动 速度合成定理 矢量方程中包含绝对速度 牵连速度和相对速度的大小 方向六个量 已知其中四个量可求出其余两个量 动点的绝对速度等于它的牵连速度与相对速度的矢量和 16 2点的速度合成定理 16 2 2速度合成定理 16 2点的速度合成定理 例题 解 凸轮为定轴转动 AB杆为直线平移 只要求出A点的速度就可以知道AB杆各点的速度 由于A点始终与凸轮接触 因此 它相对于凸轮的相对运
6、动轨迹为已知的圆 例7 1偏心圆凸轮的偏心距 半径 设凸轮以匀角速度 O绕轴O转动 试求OC与CA垂直的瞬时 杆AB的速度 选A为动点 动坐标系Ox y 固结在凸轮上 绝对运动 直线运动 相对运动 以C为圆心的圆周运动 牵连运动 动坐标系绕O轴的定轴转动 方向如图 16 2点的速度合成定理 例题 例 矿砂从传送带A落入到另一传送带B上 如图所示 站在地面上观察矿砂下落的速度为 方向与铅直线成300角 已知传送带B水平传动速度 求 矿砂相对于传送带B的速度 解 1 动点 矿砂M动系 传送带B 本题中 选择AB杆的A点为动点 动坐标系与凸轮固结 因此 三种运动 特别是相对运动轨迹十分明显 简单且为
7、已知的凸轮轮廓曲线 使问题得以顺利解决 若选凸轮上的点 例如与A重合之点 为动点 而动坐标系与AB杆固结 这样 相对运动轨迹不仅难以确定 而且其曲率半径未知 因而相对运动轨迹变得十分复杂 这将导致求解 特别是求加速度 的复杂性 关于动点动系选择的讨论 例题 16 2点的速度合成定理 例7 2急回机构中 曲柄OA的一端与滑块A用铰链连接 当曲柄OA以匀角速度 绕定轴O转动时 滑块在摇杆上滑动 并带动摇杆绕固定轴O1来回摆动 设曲柄长OA r 两轴间距离求曲柄在水平位置瞬时 摇杆O1B绕O1轴的角速度 1及滑块A相对摇杆O1B的相对速度 例题 16 2点的速度合成定理 解 该机构在运动过程中 滑块
8、A相对于摇杆O1B的相对运动轨迹为已知 动点 滑块A 动系 与摇杆O1B固连 绝对运动 圆周运动 牵连运动 摇杆绕O1轴的转动 相对运动 滑块沿滑槽的直线运动 A 例题 16 2点的速度合成定理 又因为 摇杆此瞬时的角速度为 其转向为逆时针 例题 16 2点的速度合成定理 16 3牵连运动为平移时 点的加速度合成定理 16 3 1动点的绝对加速度 相对加速度和牵连加速度 绝对加速度aa 动点相对于静坐标系运动的加速度 相对加速度ar 动点相对于动坐标系运动的加速度 设 动点M在动坐标系中的坐标为x y z 牵连运动为平移 单位矢量i j k 大小 方向不变 牵连加速度ae 指某瞬时动坐标系上与
9、动点相重合之点 牵连点 相对于静坐标系运动的加速度 动坐标系作平移时 动点的牵连速度和牵连加速度等于动坐标系原点O 的速度和加速度 16 3牵连运动为平移时 点的加速度合成定理 16 3 1动点的绝对加速度 相对加速度和牵连加速度 16 3 2牵连运动为平移时 点的加速度合成定理 设动点在动坐标系O x y z 上沿相对轨迹曲线AB运动 而动坐标相对静坐标系Oxyz作平行移动 当牵连运动为平移时 动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和 这是牵连运动为平移时 点的加速度合成定理 16 3牵连运动为平移时 点的加速度合成定理 16 3牵连运动为平移时 点的加速度合成定理 例题 例7 3
10、平行四连杆机构的上连杆BC与一固定铅直杆EF相接触 在两者接触处套上一小环M 当BC杆运动时 小环M同时在BC EF杆上滑动 曲柄AB CD r 连杆BC AD l 若曲柄转至图示 角位置时的角速度为 角加速度为 试求小环M的加速度 动点 小环M 解 静系 固连在地面上 动系 固连在连杆BC上 绝对运动沿EF的直线运动 aa方向沿EF 动点M 将加速度合成定理的矢量方程向y 轴投影 方向如图 相对运动沿BC的直线运动 ar方向沿BC 16 3牵连运动为平移时 点的加速度合成定理 例题 解 取杆上的A点为动点 动系与凸轮固连 例 已知 凸轮半径求 j 60o时 顶杆AB的加速度 绝对速度va 方
11、向 AB 相对速度vr 方向 CA 牵连速度ve v0 方向 由速度合成定理 做出速度平行四边形 如图示 绝对加速度 aa 方向 AB 待求 相对加速度 art 方向 CA 方向沿CA指向C 牵连加速度 ae a0 方向 因牵连运动为平动 故有 作加速度矢量图如图示 将上式投影到法线上 得 整理得 注 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影 与静平衡方程的投影关系不同 16 4牵连运动为转动时 点的加速度合成定理 16 4 1加速度合成定理 当牵连运动为转动时 加速度合成的结果和牵连运动为平动时加速度合成的结果不同 由于动坐标系为转动 牵连运动和相对运动的相互影响而产生了一个附加的加速度 称为科
12、里奥利加速度 简称科氏加速度 用表示 于是动点的加速度为 即 当牵连运动为转动时 动点的绝对加速度等于其牵连加速度 相对加速度与科氏加速度的矢量和 这就是牵连运动为转动时的加速度合成定理 16 4牵连运动为转动时 点的加速度合成定理 16 4 2科氏加速度的计算 方向垂直于 与vr所决定的平面 它的指向按右手定则决定 方向 将v r顺着 的转向转过90 即得aC的方向 科氏加速度的大小为 若vr 则有 若vr 则有 16 4牵连运动为转动时 点的加速度合成定理 例题 例7 4图中偏心圆凸轮的偏心距半径 设凸轮以匀角速度 O绕轴O转动 试求OC与CA垂直的瞬时 杆AB的加速度 A为动点 动坐标系
13、固结在凸轮上 绝对运动 沿AB方向的直线运动 相对运动 以C为圆心的圆周运动 牵连运动 动坐标系以O为定轴转动 方向已知 沿AB 垂直于AC方向 例题 16 4牵连运动为转动时 点的加速度合成定理 根据加速度合成定理 将矢量方程向Ox 轴投影 aA为负值 说明aA的方向与图假设的方向相反 在此瞬时 aA的实际方向铅直向下 例题 16 4牵连运动为转动时 点的加速度合成定理 例7 5大圆环固定不动 其半径为R AB杆绕A端在圆环平面内转动 其角速度为 角加速度为 杆用小圆环M套在大圆环上 求图所示位置时M的绝对加速度 动点 M点 动系 与AB相固接 定系 与机架相固接 绝对运动 圆周运动 相对运
14、动 沿AB杆的直线运动 牵连运动 AB杆作定轴转动 解 其中va垂直于OM 大小未知 vr沿AB 其大小未知 ve的大小ve AM 方向垂直于AM 例题 16 4牵连运动为转动时 点的加速度合成定理 解 va垂直于OM 大小未知 vr沿AB 其大小未知 ve的大小ve AM 方向垂直于AM 如图 解得 例题 16 4牵连运动为转动时 点的加速度合成定理 加速度合成 将上式向 方向投影 方向沿OM指向O 的方向垂直OM 大小未知 方向沿AB指向A 方向垂直于AB ar的方向沿AB 大小未知 方向垂直于AB 例题 16 4牵连运动为转动时 点的加速度合成定理 解 动点 O点 动系 与AB相固接 定
15、系 与机架相固接 不选接触点为动点 相对轨迹不明显 绝对运动 圆心为O1的圆周运动 相对运动 动点O相对于AB杆作直线运动 牵连运动 AB杆作定轴转动 例7 6半径为R的圆盘 绕通过边缘上一点O1垂直于圆盘平面的轴转动 AB杆的B端用固定铰链支座支承 当圆盘转动时AB杆始终与圆盘外缘相接触 图示瞬时 已知圆盘的角速度为 O 角加速度为 尺寸如图示 求该瞬时AB杆的角速度及角加速度 例题 16 4牵连运动为转动时 点的加速度合成定理 速度分析速度合成定理为 va大小为R 0 方向垂直于OO1 vr平行于AB 其大小未知 ve的大小未知 方向垂直于OB 作速度平行四边形 解得 则AB杆在图示瞬时的
16、角速度 例题 16 4牵连运动为转动时 点的加速度合成定理 加速度分析牵连运动为定轴转动 则加速度合成定理为 方向指O1 方向 OO1 方向指向B 大小未知 方向 OB ar大小未知 方向 AB 2 vr 方向 AB 例题 16 4牵连运动为转动时 点的加速度合成定理 TheoreticalMechanics 选取Oxy坐标如图 对y轴投影 例题 16 4牵连运动为转动时 点的加速度合成定理 例在水面上有两只舰艇A和B均以匀速度v 36km h行驶 A舰艇向东开 B舰艇沿以O为圆心 半径R 100m的圆弧行驶 在图示瞬时 两艇的位置S 50m 30 试求 1 B艇相对A艇的速度 2 A艇相对B
17、艇的速度 1 求B艇相对于是A艇的速度 以B为动点 动系固连于A艇 由图 b 的速度矢量 2 求A相对于B的速度 以A为动点 动系固连于B艇 可见 A相对B的速度并不一定等于B相对A的速度 例如图车A沿半径为150m的圆弧道路以匀速行驶 车B沿直线道路以匀速行驶 两车相距30m 求 1 A车相对B车的速度 2 B车相对A车的速度 解 1 以车A为动点 静系取在地面上 动系取在车B上 动点的速度合成矢量图如图 由图可得 2 以车B为动点 静系取在地面上 动系取在车A上 动点的速度合成矢量图如图 例图示曲杆OBC绕O轴转动 使套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动 已知OB 10cm OB与BC垂直 曲杆的角速度为0 5rad s 求当 60 时小环M的速度和加速度 解 选取小环M作为研究的动点 动参考系随曲杆OBC一起绕O轴转动 点A的绝对运动是小环M沿OA杆的直线运动 相对运动是沿着BC的直线运动 牵连运动则是曲杆绕O轴的转动 于是 由三角关系求得小环的绝对速度为 小环M的加速度分析如图所示 可得 向y方向投影 有
