1、1 2 2空间中的平行关系 1 一 平行直线 1 平行直线的定义 同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 2 平行公理 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行 3 公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行 此性质又叫做空间平行线的传递性 公理4的符号表述为 a c b ca b 公理4反映了两条直线的位置关系 公理4主要用来证明两条直线平行 它是证明两直线平行的重要依据 4 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同 那么这两个角相等 已知 如图所示 BAC和 B1A1C1的边AB A1B1 AC A1C1 且射线AB与A1B1同向 射线AC与A1C1同向 求证 BAC
2、B1A1C1 证明 对于 BAC和 B1A1C1在同一个平面内的情形 在初中几何中已经证明 下面证明两个角不在同一平面内的情形 分别在 BAC的两边和 B1A1C1的两边上截取线段AD A1D1和AE A1E1 因为 所以AA1D1D是平行四边形 所以 同理可得 所以DD1E1E是平行四边形 在 ADE和 A1D1E1中 AD A1D1 AE A1E1 DE D1E1 于是 ADE A1D1E1 所以 BAC B1A1C1 5 空间四边形的有关概念 1 顺次连结不共面的四点A B C D所构成的图形 叫做空间四边形 2 四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点 3 所连结的相邻顶点间的线段叫做空间
3、四边形的边 4 连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线 如图 空间四边形ABCD中 AC BD是它的对角线 空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托 如下图中的两种空间四边形ABCD和ABOC 6 异面直线所成的角 已知两条异面直线a b 经过空间任意一点O作直线a a b b 由于a b 所成的角的大小与点O的选择无关 我们就把a 与b 所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角 若两条异面直线所成角为90 则称它们互相垂直 异面直线a与b垂直也记作a b 异面直线所成角 的取值范围 空间两条直线的位置关系有三种 例1 已知 如图 空间四边形ABCD中 E F G H分别是边AB BC CD
4、DA的中点 求证 四边形EFGH是平行四边形 证明 在 ABD中 因为E H分别是AB AD的中点 所以 EH BD EH BD 同理 FG BD FG BD 所以EH FG EH FG 所以四边形EFGH是平行四边形 例2 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 已知E F分别是AB BC的中点 求证 EF A1C1 证明 连结AC 在 ABC中 E F分别是AB BC的中点 所以EF AC 又因为AA1 BB1且AA1 BB1BB1 CC1且BB1 CC1 所以AA1 CC1且AA1 CC1 即四边形AA1C1C是平行四边形 所以AC A1C1 从而EF A1C1 例3 如图 已知E
5、E1分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱AD A1D1的中点 求证 C1E1B1 CEB 分析 设法证明E1C1 EC E1B1 EB 1 下列结论正确的是 A 若两个角相等 则这两个角的两边分别平行B 空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C 空间四边形的两条对角线可以相交D 空间四边形的两条对角线不相交 D 练习题 2 下面三个命题 其中正确的个数是 三条相互平行的直线必共面 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 若四边形有一组对角都是直角 则这个四边形是圆的内接四边形A 1个B 2个C 3个D 一个也不正确 D 4 若空间四边形的对角线相等 则以它的四条边的中点为顶点的四边形是 A 空间四边形B 菱形C 正方形D 梯形 3 空间两个角 与 的两边对应平行 且 600 则 等 A 60 B 120 C 30 D 60 或120 D B 5 设AA1是正方体的一条棱 这个正方体中与AA1平行的棱共有 条 3 C 7 如图 已知AA1 BB1 CC1 不共面且AA1 BB1 BB1 CC1 AA1 BB1 BB1 CC1 求证 ABC A1B1C1
