1、P6566 6(5) 8(7、8） 9(1),2,3,第四节 高阶导数,一、高阶导数的概念 二、二阶导数的力学意义,了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数及加速度,4,如果函数 的导函数 仍是 的可导函数，就称 的导数为函数 的二阶导数,记作,或,即,类似地，这个定义可推广到的更高阶的导数,一、高阶导数,仍是x的函数，还可以进一步考虑 有三阶导数 或 ， 四阶导数 或 ， n阶导数 或,5,二阶及二阶以上的导数统称高阶导数,6,注意：对于形式较为复杂的函数，求出一阶导数一定要化简，养成“化简整理”的好习惯,问题：如何求函数的高阶导数？,一步一步来，将函数逐次求导，利用已知 函数的一阶导数公
2、式及前面介绍的导数运算 法则,7,例1 设 ，求,解,特别地，,例2 设 ，求,解,8,例3 设 ，求,解,即,同理可得,9,而加速度 是速度对时间的导数,是位置函数对时间的二阶导数,即 ,二阶导数有明显的物理意义:考虑物体的直线运动，设位置函数为,则速度为,二、二阶导数的力学意义,10,例4 已知物体作变速直线运动，其运动方程为,是常数)，,求物体运动的加速度。,解：物体运动的速度为,物体运动的加速度为,11,第五节 微分及其应用,一、微分的概念 二、微分的运算法则 三、微分的近似计算,理解微分的概念，会求函数的微分，会用公式求微分的近似计算,预习中的问题,12,例1 设有一个边长为 的正方
3、形金属片，受热后它的边长伸长了 ，问其面积增加了多少？,受热后，当边长由 伸长到 时，面积 相应的增量为,一、微分的概念,13,从上式可以看出, 可分成两部分:,这表明，当 很小时，(2)的绝对值要比(1)的绝对值小得多，可以忽略不计，即可用（2)作为 的近似值：,14,定义 设函数 在点 处的导数与自变量的改变量 的积，则称函数在点 处的微分，简称为函数y的微分，记作,由此引进函数微分的概念：,可微函数：如果函数 在区间 内每一点都可微，则称该函数在 内可微，或称函数 是在 内的可微函数,15,导数一种比值的极限，即函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限.,微分函数增量的近似值，
4、即自变量取得微小增量时函数值增量的近似值.,那么，导数与微分之间存在什么样的联系呢？,16,函数 在 内任意一点 处的微分记 为 ，即,由此有，,因此，通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法在高等数学中，把研究导数和微分的有关内容称为微分学,即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数，导数也叫“微商”,17,例2求函数 当 ， 时的微分,解 函数在任意点的微分,于是所求微分,解：,18,1基本初等函数的微分公式,二、微分公式及运算法则,19,2函数的和、差、积、商的微分运算法则,设函数 ， 均可微，则,（ 为常数）,20,3复合函数的微分法则,而,于是,设函数 都是可导函数，则复
5、合函数 的微分为,21,例5 求函数,的微分,22,例6 求,的微分,23,例7 求,的微分,24,解：对方程两边同时求微分，,例8 求由方程,所确定的隐函数y的微分,25,应用近似公式,当 很小时,有,（x为弧度）,三、微分近似计算,26,例9 根据近似公式，计算下列各式的近似值：,解：,例10根据近似公式，计算下列各式的近似值：,解：,27,解：,练习：,28,作业,P71 3(1) 4(3) P77 3(4，5) 6(5),小结,1.微分的定义：,2.微分的基本公式与法则,3、常用近似公式P76,预习第三章第一节二、洛必达法则,29,练习,由1变到1.02时的增量和微分,增量,函数微分,所求微分,解：,自变量微分,30,练习：,31,练习：,解：,32,33,34,
