1、模块基本信息一级模块名称 微分学 二级模块名称 基础模块三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数 公式 模块编号 2-10先行知识 导数的概念 模块编号 2-2知识内容 教学要求 掌握程度1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导3、莱布尼兹公式 3、掌握隐函数高阶导的求解（一般是二阶）4、隐函数的高阶导数 4、掌握参数方程高阶导的求解（一般是二阶）5、参数方程的高阶导数 5、熟记正弦、余弦等常见函数的 n阶导数公式一般掌握1、提高学生的观察分析能力能力目标2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力时间分配 45 分钟 编撰 黄小枚 校对 方玲
2、玲 审核 危子青修订 肖莉娜 二审 危子青一、正文编写思路及特点：思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义，然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。二、授课部分1.引例（1） 变速直线运动的速度 是位置函数 对时间 t 的导数，)(tv)(ts即或)(tsdt)(（2） 速度函数 对时间 t 的变化率就是加速度 ，即v )(ta是 对 t 的导数：)(tav或 )()(tstva)(dtsta（3）加速度 就是位置函数 对时间 t 的
3、导数的导数，称t为 对 t 的二阶导数，记为 或)(s )(ts2ds2高阶导数的定义设 y=f(x)在某区间上可导，即有 存在，如果 也xf xf可导，则称 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。记 , xf y或 , , )(f2dyxf)(2根据导数的定义可知： 0()()limxffxfA类似地 二阶导数的导数 叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数 一般地 (n1)阶导数的导数叫做 n 阶导数 分别记作y y (4) y (n) 或 3dx4yndxy函数 f(x)具有 n 阶导数 也常说成函数 f(x)为 n 阶可导 注：（1）如果函数 f(x)在 点 x 处具有 n 阶导数 那么
4、函数f(x)在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于 n 阶的导数 （2）二阶及二阶以上的导数 y y y (4) y(n)统称高阶导数 3.常见初等函数的高阶导数例 1 已知 求 （一级） 3yxn解 42;6;0;,.nyy课堂练习：已知 yex 求它的 n 阶导数 例 2 已知 求它的 n 阶导数 （一级）si解 )2n(coxy )2sin()2 sin()2 co( xxxy 3i i )24sin()2 3cos()4( xxy一般地 可得 即 )sin()(xy )2sin()(i(x用类似方法 可得 cos)(xn（选讲） 例 3 已知 求它的 n 阶导数 （一级）1y解： 21
5、;yx342;yx一般的，可得 11!.nnn课堂练习：求函数 的 n 阶导数 lx常见初等函数的高阶导数1111,02sini23cos4ln!5l11n nnxxnxxRxxnaax A4.莱布尼茨公式如果函数 及 都在点 处具有 阶导数 那么uxvxn显然函数 ，也在点 处具有 阶导数 且,vnnn nkkvuCv0)()(此式称为莱布尼茨公式 例 4 求 ) （二级）2xye20y解 设 则,uv 21,20kxe,3,4kvv代入莱布尼茨公式 得200219218317200020uCuCuvCvu8202xxxeee95x5.隐函数的高阶导数例 1. 是由方程 所确定的隐函数,试求
6、 ,yyex/y0。 （二级）/0解: 方程两边对 求导：xy/e0方程两边再对 求导：2y/yx由原方程知，当 时， ，代入得0x1/1(0)ye再将 ， ， 代入式，x1y/()e得 /2(0)e注：隐函数的高阶导数就是对方程两边多求几次导，然后把低价导数代入等式。6.参数方程的高阶导数 例 1 求方程 所确定的函数的一阶导tbyaxsinco20数 及二阶导数 . （二级）dxy2dxy解： tabtcosintbtdtxytdx 3222 sinsi/注：求参数方程的高阶导数应注意在求导数的时候找准函数的自变量.三、能力反馈部分1、 （考查函数的二阶导数的掌握程度）已知 ，求sinxyey2、 （考查隐函数的 n 阶导数的掌握程度）已知 ，求6yxe()ny3、 （考查参数方程的高阶导数的掌握程度）.3cosinxatyb已 知 2dyx求
