1、,方程f(x)=0的根 亦称为函数f(x)的零点。,在科学研究和工程设计中, 经常会遇到的一大类问题是非线性方程 f(x)=0 (2.1) 的求根问题，其中f(x)为非线性函数。,计算方法,2.1 二分法,当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程为非线性方程。如果f(x)是多项式函数，则称为代数方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。,计算方法,通常方程根的数值解法大致分为三个步骤进行 判定根的存在性。即方程有没有根？如果有 根，有几个根？ 确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔 离开来，这个过程实际上是获得方程各根的 初始近似值。 根的精确化。将根的初始近似值按某种方法
2、逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止。,计算方法,为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围，称为圈定根或根的隔离。,在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有 一定精度要求的初值。,对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次数相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无解，并没有什么固定的圈根方法。 求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线 y=f (x)与x轴交点的横坐标。,计算方法,由高等数学知识知, 设f (x)为区间a,b上的单值连续函数, 如果f (a)f (b)0,有根区间,-(1,2)+,中点,函数值符号,(1,1.5),f(1.25)0,(1.25,1.375),f(1.313)
3、0,(1.313,1.375),f(1.344)0,(1.344,1.375),f(1.360)0,解： f(1)=-50,0.004,0.5,0.25,0.125,0.062,0.031,0.015,0.008,计算方法,，则,（事后估计）,计算方法,例 证明方程 在区间2, 3内有一个根, 使用二分法求误差不超过0.510-3 的根要二分多少次？,且f(x)在2, 3上连续,故方程f(x)=0在2,3内至少有一个根。,证明 令,又,当 时， ,故f(x)在2, 3上是单调递增函数,从而f(x)在2, 3上有且仅有一根。,计算方法,给定误差限 0.510-3 ,使用二分法时,误差限为 只要取n满足,亦即,所以需二分10次便可达到要求。,计算方法,二分法算法实现,计算方法,二分法的优点是不管隔根区间 多大,总能求出满足精度要求的根,且对函数f(x)的要求不高,只要连续即可,计算亦简单;它的局限性是只能用于求函数的实根,不能用于求复根及重根,它的收敛速度与比值为 的等比级数相同。,
