1、,方程f(x)=0的根 亦称为函数f(x)的零点。,在科学研究和工程设计中, 经常会遇到的一大类问题是非线性方程f(x)=0 (2.1) 的求根问题，其中f(x)为非线性函数。,计算方法,2.1 二分法,当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程为非线性方程。如果f(x)是多项式函数，则称为代数方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。,计算方法,通常方程根的数值解法大致分为三个步骤进行 判定根的存在性。即方程有没有根？如果有根，有几个根？ 确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔离开来，这个过程实际上是获得方程各根的初始近似值。 根的精确化。将根的初始近似值按某种方法逐步精确化
2、，直到满足预先要求的精度为止。,计算方法,为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围，称为圈定根或根的隔离。,在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有 一定精度要求的初值。,对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次数相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无解，并没有什么固定的圈根方法。求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线 y=f (x)与x轴交点的横坐标。,计算方法,由高等数学知识知, 设f (x)为区间a,b上的单值连续函数, 如果f (a)f (b)0 , 则a,b中至少有一个实根。如果f (x)在a,b上还是单调递增或递减，则仅有一个实根。,y=f(x),a,b,y,x,计算方法,
3、由此可大体确定根所在区间，方法有：(1) 画图法(2) 逐步搜索法,计算方法,(1) 画图法,画出y = f (x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的大致位置。也可将f (x) = 0分解为1(x)= 2(x)的形式，1(x)与 2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。,计算方法,0,2,3,y,x,例如 xlogx-1= 0，可以改写为logx=1/x 画出对数曲线y=logx,与双曲线y= 1/x, 它们交点的横坐标位于区间2,3内。,计算方法,对于某些看不清根的函数，可以扩大一下曲线,y=f(x),y=kf(x),计算方法,(2) 逐步搜索法,对于给定的f (x),设有根区间为
4、a,b,从x0=a出发,以步长h=(b-a)/n(n是正整数),在a,b内取定节点:xi=x0ih (i=0,1,2,n),从左至右检查f (xi)的符号,如发现xi与端点x0的函数值异号,则得到一个的隔根区间xi-1,xi。,计算方法,步搜索法：（单击播放）,计算方法,例1 方程f(x)=x3-x-1=0 确定其隔根区间。 解：用试凑的方法，不难发现f(0)0在区间（0，2）内至少有一个实根设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的搜索,列表如下,x,f(x),0 0.5 1.0 1.5 2, + +,可以看出，在1.0,1.5内必有一根,计算方法,用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选取步
5、长h。要选择适当h ，使之既能把根隔离开来，工作量又不太大。 为获取指定精度要求的初值,可在以上隔离根的基础上采用二分法继续缩小该含根区间。二分法可以看作是搜索法的一种改进。,计算方法,二分法又称二分区间法也称对分法,是求解方程(2.1)的近似根的一种常用的简单方法。设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)f(b)0,根据连续函数的性质可知, f(x)= 0在(a,b)内必有实根,称区间a,b为有根区间。为明确起见,假定方程f(x)=0在区间a,b内有惟一实根。,计算方法,一、二分法的基本思想是: 首先确定隔根区间,将区间二等分, 通过判断f(x)的符号, 逐步将隔根区间缩小, 直至隔根
6、区间足够地小, 便可求出满足精度要求 的近似根。,具体过程如下：,计算方法,0,x,y,a,b,f(x),x1, 取隔根区间a,b之中点, 将它分为两半,分点 ,这样就可缩小隔根区间,计算方法, 对压缩了的隔根区间 ，取,0,x,y,a,b,f(x),x1,a1,b1,x2,然后再确定有根区间 ,其长度是 的二分之一。,a2,b2,得到新的隔根区间 ，施行同样的手法,即取中点 ,将区间 再分为两半,计算方法,上述每个区间都是前一个区间的一半,因此 的长度, 如此反复下去,若不出现 ,即可得出一系列有根区间序列：,当n时趋于零,这些区间最终收敛于一点 ，即为所求的根 。,计算方法,二分法区间变换
7、（单击播放）,计算方法,二分法中点变换（单击播放）,计算方法,只要二分足够多次(即n足够大),便有 这里为给定精度,由于 ,则,每次二分后,取隔根区间 的中点作为根的近似值，得到一个近似根的序列,该序列以根 为极限。,二、收敛性分析,计算方法,当给定精度0后,要想 成立, 只要满足 即可，亦即当:,做到第n+1次二分,计算得到的 就是满足精度要求的近似根 。,1,（先验估计）,计算方法,在程序中通常用相邻的 与 的差的绝对值或 与 的差的绝对值是否小于来决定二分区间的次数。,2,（事后估计）,例2 用二分法求 在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过,计算方法,f(1.5)0,(1.360,1.
8、368),f(2)=140,有根区间,-(1,2)+,中点,函数值符号,(1,1.5),f(1.25)0,(1.25,1.5),f(1.375)0,(1.25,1.375),f(1.313)0,(1.313,1.375),f(1.344)0,(1.344,1.375),f(1.360)0,(1.360,1.375),f(1.368)0,解： f(1)=-50,0.004,0.5,0.25,0.125,0.062,0.031,0.015,0.008,计算方法,，则,（事后估计）,计算方法,例 证明方程 在区间2, 3内有一个根, 使用二分法求误差不超过0.510-3 的根要二分多少次？,且f(x)在2, 3上连续,故方程f(x)=0在2,3内至少有一个根。,证明 令,又,当 时， ,故f(x)在2, 3上是单调递增函数,从而f(x)在2, 3上有且仅有一根。,计算方法,给定误差限 0.510-3 ,使用二分法时,误差限为 只要取n满足,亦即,所以需二分10次便可达到要求。,计算方法,二分法算法实现,计算方法,二分法的优点是不管隔根区间 多大,总能求出满足精度要求的根,且对函数f(x)的要求不高,只要连续即可,计算亦简单;它的局限性是只能用于求函数的实根,不能用于求复根及重根,它的收敛速度与比值为 的等比级数相同。,
