1、1直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 定义法 利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线和此平面垂直 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也这个平面,相交,垂直,(2)直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面，则垂直于平面内直线 垂直于同一个平面的两条直线 垂直于同一直线的两平面,任意,平行,平行,2斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角,3平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 定义法 利用判定定理：一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直 (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面
2、内垂直于的直线垂直于另一个平面,一条垂线,交线,4二面角的平面角 从二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱 的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角,垂直,1给出下列四个命题： 若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直； 若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直； 若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线； 若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线,A1个 B2个 C3个 D4个 解析：与线面垂直的定义及判定定理相对照，为真，中两线可能不相交，中两线不相交，故不正确，应选B. 答案：B,2如果一个二面角的两个半
3、平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是() A相等 B互补 C相等或互补 D大小不确定,解析：如右图所示，l为直二面角，a为另一个二面角，且，. 把平面固定不动，使平面绕a转动时，满足条件，但a的度数不能确定，应选D. 答案：D,3已知直线m、n和平面、满足mn，m，则() An Bn，或n Cn Dn，或n 解析：n与的位置关系各种可能性都有，A、B都不对当n时，作nn，且nmO，则n与m确定平面，设l，则有ml，又mn，所以ln，ln，n；当n时，显然成立故C不对，D正确 答案：D,4已知a、b是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： 若
4、a，a，则； 若，则； ，a，b，则ab； 若，a，b，,则ab.其中正确命题的序号是() A B C D 解析：根据线面、面面平行与垂直的判定与性质可知正确 答案：D,证明：(1)由题意知，CO平面ABD. CO平面ABC，平面ABC平面ABD. 又ADAB，平面ABC平面ABDAB， AD平面ABC，ADBC. (2)BCCD，BCAD，BC平面ADC. 又BC平面DBC.平面DBC平面ADC.,【例1】直角三角形ABC所在平面外一点S，且SASBSC，D为斜边AC中点 (1)求证：SD面ABC； (2)若ABBC，求证：BD面SAC.,证明：(1)如右图，取AB中点E，连结SE，DE，
5、在RtABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DEBC，且DEAB，,SASB，SAB为等腰三角形，SEAB. SEAB，DEAB，SEDEE，AB面SDE. 而SD面SDE，ABSD. 在SAC中，SASC，D为AC中点，SDAC. SDAC，SDAB，ACABA，SD面ABC.,(2)若ABBC，则BDAC， 由(1)可知，SD面ABC，而BD面ABC， SDBD， SDBD，BDAC，SDACD，BD面SAC.,线面垂直的定义，拓展了线线垂直的范围，线垂直于面，线就垂直于面内所有直线，这也是线面垂直的必备条件，利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化，就完成了空间问题与平面问题的转化
6、.,变式迁移 1如右图所示，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，ABC90，AEPB于E，AFPC于F.求证： (1)BC平面PAB； (2)AE平面PBC； (3)PCEF.,证明：(1)PA平面ABC，BC平面ABC， PABC.ABBC，ABPAA，BC平面PAB. (2)BC平面PAB，AE平面PAB，BCAE. PBAE，BCPBB，AE平面PBC. (3)AE平面PBC，PC平面PBC，AEPC. AFPC，AEAFA，PC平面AEF. 而EF面AEF，PCEF.,思路分析：(1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一定直线垂直于平面PAD，考虑证明BD平面
7、PAD. (2)四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离,解：(1)在ABD中， AD4，BD8，AB AD2BD2AB2. ADBD. 又面PAD面ABCD，面PAD面ABCDAD， BD面ABCD， BD面PAD. 又BD面BDM， 面MBD面PAD.,(2)过P作POAD， 面PAD面ABCD， PO面ABCD， 即PO为四棱锥PABCD的高 又PAD是边长为4的等边三角形， PO. 在底面四边形ABCD中，ABDC，AB2DC， 四边形ABCD为梯形，,当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角的平面角或得到
8、点到面的距离等.,变式迁移 2(2009浙江高考)如下图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足设AKt，则t的取值范围是_,【例3】 三棱锥PABC中，PC、AC、BC两两垂直，BCPC1，AC2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点 (1)证明：平面GFE平面PCB； (2)求二面角BAPC的正切值； (3)求直线PF与平面PAB所成角的正弦值,思路分析：(1)利用三角形的中位线性质； (2)利用定义作出二面角BAPC的平面角； (3)利用线面垂直构造直线与
9、平面所成角 解：(1)因为E、F、G 分别是AB、AC、AP的中点， 所以EFBC，GFCP. 因为EF，GF平面PCB，而BC，CP平面PCB. 所以EF平面PCB，GF平面PCB. 又EFGFF， 所以平面GFE平面PCB.,(2)过点C在平面PAC内作CHPA，垂足为H. 连接HB. 因为BCPC，BCAC， 且PCACC， 所以BC平面PAC，所以HBPA. 所以BHC是二面角BAPC的平面角,(3)如右图，设PB的中点为K， 连接KC，AK， 因为PCB为等腰直角三角形，所以KCPB. 又ACPC，ACBC， 且PCBCC， 所以AC平面PCB，所以AKPB， 又因为AKKCK，所以
10、PB平面AKC. 又PB平面PAB，所以平面AKC平面PAB.,变式迁移 3如右图，四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，SBA45，SBC60，M为AB的中点求： (1)BC与平面SAB所成的角； (2)SC与平面ABC所成的角的正切值,解：(1)SCSB，SCSA，SBSAS， SC平面SAB， BC在平面SAB上的射影为SB. SBC为BC与平面SAB所成的角 又SBC60，故BC与平面SAB所成的角为60.,(2)连接MC，在RtASB中，SBA45， ASB为等腰直角三角形， SMAB，又ABSC， AB平面SMC， 平面SMC平面ABC. 过点S作SOMC于点O，SO平面AB
11、C. SCM为SC与平面ABC所成的角 由(1)知SC平面SAB，,【例4】如右图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)求证：ADPB； (2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论,解：如右图(1)取AD的中点G，连结PG，BG，BD. PAD为等边三角形，PGAD， 又平面PAD平面ABCD，PG平面ABCD. 在ABD中，DAB60，ADAB， ABD为等边三角形，BGAD，AD平面PBG， ADPB.,(2)连结CG，DE，且CG与DE相交于H点， 在PGC中作H
12、FPG，交PC于F点，连结DF， FH平面ABCD， 平面DHF平面ABCD. H是CG的中点，F是PC的中点， 在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF平面ABCD.,近年来开放型问题不断在高考试题中出现，这说明高考对学生的能力要求越来越高，这也符合新课标的理念，因而在复习过程中要善于对问题进行探究立体几何中结合垂直关系，设计开放型试题将是新课标高考命题的一个动向.,变式迁移 4如下图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱是底面边长的2倍，P是侧棱CC1上的一点 (1)求证：不论P在侧棱CC1上的任何位置，总有BDAP； (2)当P点在侧棱CC1上何处时，AP在平面B1AC上
13、的射影是B1AC的平分线？,解：(1)依题意，不论P在侧棱CC1上的什么位置，AP在底面ABCD内的射影都是AC，因为BDAC，BDCC1，又ACCC1C，所以BD平面ACC1，又AP平面ACC1，所以BDAP.,1垂直关系的转化,在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，使之转化为线线垂直故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键,3证明线线垂直的方法 (1)定义：两条直线所成的角为90 (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a，bab； (4)三垂线定理及其逆定理； (5)线面垂直的性质：a，bab.,4证明面面垂直的方法 (1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a，a.,
