1、第 59 讲 函数的极限-函数的连续性（第 2 课时）5函数的连续性的描述性定义 在一点连续 设函数 在点 处及其附近有定义，且 ，那么就称函数 在)(xf0 )(lim00xffxn)(xf点 处连续。0x这一定义包含三个意思： 在点 处有定义； 在点 处有极限； 在点)(xf0)(f0f处的极限值等于该点的函数值。这三者缺一不可。 左连续和右连续如果函数 在点 处及其左侧有定义，且 ，那么就称函数 在)(xf0 )(li00xffxn)(xf点 处左连续。0x如果函数 在点 处及其右侧有定义，且 ，那么就称函数 在f0 lim00ffxn f点 处右连续。0 函数 在点 处连续的充要条件是
2、在点 处既左连续也右连续，即 )(xf0 0x)(lim)(li 000fxfxnn例函数 在点 处不连续是指下面三种情况之一： 在点 处没有定义。例如 在 处。)(f0 1)(xf 在点 处虽然有定义，但没有极限。例如 ， )(xf0 )0(1)(xf 1)(lim0xf， ，二者不相等，故 不存在。1lim0fx )(lim0xf 在点 处极限不等于 。例如 ， ，但 )(0xa)(0x1)(li0fx， 。f )(liffx 在区间上连续如果函数 在开区间（ ， ）内的每一点都连续，则称函数 在开区间)(fb)(f（ ， ）内连续。ab如果函数 在开区间（ ， ）内连续，且在点 处右连续
3、，在点 处左连续，则称函xaab数 在闭区间 ， 上连续。)(f注意：上面粗体字“内”和“上”的使用是有区别的，只有在闭区间上才能使用后者。对于开区间或是半开半闭区间，只能使用前者。例讨论下列函数在指出点或区间的连续性：考点热点 一定掌握！ ，点 ； ，区间 0，2；)0(1)()(1xexfx 0x2)(xf ，点 。42)(xf 1x分析：对于分段函数在分界点处的极限，一定要注意它的左右极限是否存在，是否相等；对于分式函数，分子分母约分后得到的新函数与原来的函数是否仍为同一函数。解： 当 ， ， ，0x10lim1xe ，而 ，1lim10xe 1li1li00 xxxee 在 处的极限不
4、存在， 在 处不连续。)(f )(f 中，如果 ，则分母为零， 在 处无定义，22)(xf2 在区间 0，2 处不连续。)(xf ， ，3)(lili11x 34lim)(li11xfx又 2f ， 在 处连续。3)(lim1fx(f点评：对于函数 在给定点 处的连续性，关键是判断函数当 时的极限是否等0 0x于 ；对于函数 在给定区间上的连续性，则要看它在给定区间上任一点是否都有意(0ff义，是否都连续，特别要注意端点处的情况。6连续函数的性质 如果 在闭区间 ， 上连续，那么 在闭区间 ， 上有最大值和最小值。)(xfab)(xfab 如果函数 、 在某一点 处连续，那么它们的和差积（包括
5、乘以常数）商在)(xg0此点也连续。 五种基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及由他们经过有限次四则运算得到的函数在它的定义域内都是连续函数。例求证：方程 至少有一个正根，且它不大于 。bxasin),(ba证明：设 ，xf)(则 ， ，0b 01)sin(i)( abaf又 在 内是连续函数，所以存在一个 ，使 的根也, ,0x(xf就是方程 的根，asin方程 至少有一个正根，且它不大于 。x例已知函数 ，试求：nnxxf1lim)( 的定义域，并画出 的图像；)(f )(f 求 ， ， ；li1fxli1x)(li1xf 在哪些点不连续？f解： 当 ，即 时
6、， ，0linnx当 ， 不存在，1xnnxlim当 ，即 或 时， ，11limlinnnx ，)1(1)20)(xxf或 的定义域为 ，其图像如右。f ,(）， ， ，lim)li11xx 0limli11xxf ， 不存在，(f)(f ) 在点 及 处不连续，) 在点 处无意义，而在点 处， ， ，f 0)(li1xf 1)(lim1xf不存在。(li1x1 2 3 4 5 6 7 8在一点连续 在区间上连续 函数的连续性的描述性定义 连续的充要条件 最大值和最小值、 连续，则其和)(xfg差积商连续连续函数的性质五种基本初等函数及其和差积商连续能力测试 认真完成！参考答案 仔细核对！2
7、-1 1oyx1函数 ，则 在 （ ) 2(113)(2xxf )(xf）. 点 处不连续； . 点 处不连续；AB2. 点 和 处不连续； . 处处连续。C1x D解： ， ， 不存在，故应选 。0)(limf 1)(li1xf )(lim1xfA2讨论函数 在区间 上的连续性。30,解：由于 在点 处无定义， 在点 处不连续，从而 在区间)(xf )(f3)(xf上不连续，而仅在区间 内连续。0,3 ,(3已知条件甲为“ 在 处有定义且极限存在” ，条件乙为“ 在 处连续” ，则)f0x )(f0甲是乙的 （ ）. 充分不必要条件； . 必要不充分条件； . 充要条件； . 既不充分又不必要条ABCD件。解： 在 处连续的充要条件是“在 处有定义，极限存在，极限等于该点的函)(xf0 0x数值” ，故应选 。4已知函数 ，若 在点 处连续，则 )3(9)(2xpf )(f3xp。解： ，6lim)(li323 xfx又根据函数连续的充要条件有 )(ff 6)(f由函数表达式可知 ， 。pf)(5讨论函数 在区间 上的连续性。12x),(解： 是初等函数，其定义域为 ，根据连续函数的性质可知，函数 在区间 上连续。)1()2xf ),(
